【苏教版选修1-1教案】3.1.2 瞬时变化率-导数

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3.1.2瞬时变化率-导数
教学过程
一、复习：函数平均变化率的概念
二、引入新课
1、速度问题：
平均速度：一汽车三小时走了120公里，则它的平均速度为公里/小时。即在时间内，物体运动了距离，则它的平均速度为 。
平均速度比较粗略，为了精确起见，还需要求物体的瞬时速度。瞬时速度怎么定义，又如何求出呢？我们研究以下例子。
自由落体运动物体下落高度公式为。求下落秒时的瞬时速度我们可以现求出1秒到秒间的平均速度
，
当时，平均速度的极限值我们就定义它为秒时的瞬时速度，于是
。
一般地，求时刻的速度，可以考虑当变到时平均速度的极限值。这时平均速度为
用记号 ，，它们分别叫变量的改变量和变量的改变量。
当时，相当于，这时
。
2. 切线问题：
的图形为曲线。是上一点，坐标为,为了求出点处的曲线的切线，我们应先求出该点的切线斜率即可。为此，我们任取上另一点，它的横坐标为。作割线，它与轴夹角用来表示，则的斜率为。由于，，，，因此
＝。
当点沿曲线接近点时，割线逐渐变到切线的位置，这时角也逐渐接近角，其极限就认为是切线的斜率，即
。
也就是函数的瞬时变化率
3、导数的定义：
许多科学和社会问题都可以归结为求函数改变量与自变量改变量之比的极限问题，这个概念就是导数概念。
定义：在点附近有定义，对自变量任一改变量，函数改变量为 ，若极限
存在，称该极限值为在点的导数。
如果在某区间内每点的导数都存在，则的每点均可唯一的确定导数值，这时导数可以看作的函数，称之为导函数或简称为导数
4、例子：
1、 平均速度
例1． 运动员从10米高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对于水面的高度为，试求出时运动员的速度。
2、 瞬时速度
例2．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度。求时轿车的加速度。
3、 瞬时加速度
例3．自由落体运动的位移与时间的关系为。
⑴求时的瞬时速度；
⑵求时的瞬时加速度；呢？
例4．加速度（单位：）的一辆赛车在直道上行驶。若路程关于时间的函数的图象在处的切线斜率为，则=＿＿＿。
例题5在曲线C上一点P处找到最逼近曲线的直线。
结论：1、曲线C上点P（x,f(x)）处的切线的斜率为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、若在区间上连续下降，则＿＿＿＿0。
若在区间上连续上升，则＿＿＿＿0。
（填“＞”或“＜”）反之有类似的结论吗？
例6．已知函数，求曲线在处的切线的斜率。
思考：1、你能写出此时切线的方程吗？
2、在曲线上有一动点Q（点Q的横坐标＞0），当点Q沿曲线向
点P（2，4）靠近时，直线PQ的斜率的变化趋势如何？
3、已知曲线在P点处的切线过点（1，-3），你能求出点P的坐标吗？
小结：本节课学习了函数的瞬时变化率，导数概念.
课堂练习：第66页练习1、2
课后作业：第67页1、2、3
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