【苏教版选修1-1教案】3.2.1 常见函数的导数
文档属性
| 名称 | 【苏教版选修1-1教案】3.2.1 常见函数的导数 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 56.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-03-01 16:32:00 | ||
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文档简介
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3.2.1 常见函数的导数
教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.
Ⅱ.讲授新课
［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.
1.y=C(C是常数)，求y′.
［学生板演］解：y=f(x)=C，
∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,
=0.
y′=C′==0,∴y′=0.
2.y=xn(n∈N*),求y′.
［学生板演］解：y=f(x)=xn,
∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)n-xn
∴y′=(xn)′
.
∴y′=nxn-1.
3.y=x-n(n∈N*),求y′.
［学生板演］
解：Δy=(x+Δx)-n-x-n
∴
=-nx-n-1.
∴y′=-nx-n-1.
※4.y=sinx,求y′.(叫两位同学做)
［学生板演］
［生甲］解：Δy=sin(x+Δx)-sinx
=sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx,
,
∴
=-2sinx·1·0+cosx=cosx.
∴y′=cosx.
［生乙］Δy=sin(x+Δx)-sinx
=2cos(x+)sin，
,
∴
=cosx.
∴y′=cosx.
(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)
※5.y=cosx,求y′.(也叫两位同学一起做)
［生甲］解：Δy=cos(x+Δx)-cosx
=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx,
=-2cosx·1·0-sinx=-sinx,
∴y′=-sinx.
［生乙］解：?
=-sinx,
∴y′=-sinx.
［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n∈N*的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.
［板书］
(一)公式1 C′=0(C是常数)
公式2 (xn)′=nxn-1(n∈R)
公式3 (sinx)′=cosx
公式4 (cosx)′=-sinx
(二)课本例题
［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:
(1)(x3)′；(2)()′;(3)()′.
［学生板演］(1)解：(x3)′=3x3-1=3x2.
(2)解：.
(3)解：.
(还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)
(三)变化率举例
［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t)，瞬时速度v=s′(t).
［板书］物体按s=s(t)作直线运动，则物体在时刻t0的瞬时速度v0=s′(t0).
v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率.
［师］我们引入了变化率的概念，函数f(x)在点x0的导数也可以叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？
［板书］函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.
［生］例如角速度、电流等.
［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？
［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.
［师］下面来看两道例题.
［例1］已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J，绝对温度T的单位是K)，求热量对温度的变化率C(即热容量).
［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q(T)对T求导.
解：C=Q′(T),即热容量为Q′(T)J/K.
［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？
［生］比热容是Q′(T) J/(kg·K).
图3-9
［例2］如图3-9，质点P在半径为10 cm的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.
［学生分析］要求时刻t时M点的速度，首先要求出在y轴的运动方程，是关于t的函数，再对t求导，就能得到M点的速度了.
解：时刻t时，∵角速度为1 rad/s,
∴∠POA=1·t=t rad.
∴∠MPO=∠POA=t rad.
∴OM=OP·sin∠MPO=10·sint.
∴点M的运动方程为y=10sint.
∴v=y′=(10sint)′=10cost，
即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)求下列函数的导数.
(1)y=x5;(2)y=x6;(3)x=sint;(4)u=cosφ.
［生］(1)y′=(x5)′=5x4.
［生］(2)y′=(x6)′=6x5.
［生］(3)x′=(sint)′=cost.
［生］(4)u′=(cosφ)′=-sinφ.
2.求下列函数的导数.
(1);(2).
(1)解：y′=()′=(x-3)′=-3x-3-1=-3x-4.
(2)解：.
3.质点的运动方程是s=t3(s单位：m,t单位：s),求质点在t=3时的速度.
解：v=s′=(t3)′=3t3-1=3t2,
当t=3时，v=3×32=27(m/s),
∴质点在t=3时的速度为27 m/s.
4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=(s单位：m,t单位：s,g=9.8 m/s2),求t=3时的速度.
解：,
当t=3时，v=g·3=9.8×3=29.4(m/s),
∴t=3时的速度为29.4 m/s.
［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf(x)］′=Cf′(x)(C是常数).
这由极限的知识可以证得.
=Cf′(x).
5.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.
解：y′=(x4)′=4x4-1=4x3.
∴y′|x=2=4×23=32.
∴点P(2，16)处的切线方程为y-16=32(x-2),
即32x-y-48=0.
Ⅳ.课时小结
［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C′=0(C是常数)，②(xn)′=nxn-1(n∈R),③(sinx)′=cosx,④(cosx)′=-sinx)以及变化率的概念:v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率，函数y=f(x)在点x0的导数f′(x0)叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.
Ⅴ.课后作业
(一)课本习题3.2 2，4，5.
(二)1.预习内容：课本和(或差)、积的导数.
2.预习提纲：
(1)和(或差)的导数公式、证明过程.
(2)积的导数 公式、证明过程.
(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.
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3.2.1 常见函数的导数
教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.
Ⅱ.讲授新课
［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.
1.y=C(C是常数)，求y′.
［学生板演］解：y=f(x)=C，
∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,
=0.
y′=C′==0,∴y′=0.
2.y=xn(n∈N*),求y′.
［学生板演］解：y=f(x)=xn,
∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)n-xn
∴y′=(xn)′
.
∴y′=nxn-1.
3.y=x-n(n∈N*),求y′.
［学生板演］
解：Δy=(x+Δx)-n-x-n
∴
=-nx-n-1.
∴y′=-nx-n-1.
※4.y=sinx,求y′.(叫两位同学做)
［学生板演］
［生甲］解：Δy=sin(x+Δx)-sinx
=sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx,
,
∴
=-2sinx·1·0+cosx=cosx.
∴y′=cosx.
［生乙］Δy=sin(x+Δx)-sinx
=2cos(x+)sin，
,
∴
=cosx.
∴y′=cosx.
(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)
※5.y=cosx,求y′.(也叫两位同学一起做)
［生甲］解：Δy=cos(x+Δx)-cosx
=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx,
=-2cosx·1·0-sinx=-sinx,
∴y′=-sinx.
［生乙］解：?
=-sinx,
∴y′=-sinx.
［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n∈N*的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.
［板书］
(一)公式1 C′=0(C是常数)
公式2 (xn)′=nxn-1(n∈R)
公式3 (sinx)′=cosx
公式4 (cosx)′=-sinx
(二)课本例题
［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:
(1)(x3)′；(2)()′;(3)()′.
［学生板演］(1)解：(x3)′=3x3-1=3x2.
(2)解：.
(3)解：.
(还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)
(三)变化率举例
［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t)，瞬时速度v=s′(t).
［板书］物体按s=s(t)作直线运动，则物体在时刻t0的瞬时速度v0=s′(t0).
v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率.
［师］我们引入了变化率的概念，函数f(x)在点x0的导数也可以叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？
［板书］函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.
［生］例如角速度、电流等.
［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？
［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.
［师］下面来看两道例题.
［例1］已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J，绝对温度T的单位是K)，求热量对温度的变化率C(即热容量).
［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q(T)对T求导.
解：C=Q′(T),即热容量为Q′(T)J/K.
［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？
［生］比热容是Q′(T) J/(kg·K).
图3-9
［例2］如图3-9，质点P在半径为10 cm的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.
［学生分析］要求时刻t时M点的速度，首先要求出在y轴的运动方程，是关于t的函数，再对t求导，就能得到M点的速度了.
解：时刻t时，∵角速度为1 rad/s,
∴∠POA=1·t=t rad.
∴∠MPO=∠POA=t rad.
∴OM=OP·sin∠MPO=10·sint.
∴点M的运动方程为y=10sint.
∴v=y′=(10sint)′=10cost，
即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s.
［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)求下列函数的导数.
(1)y=x5;(2)y=x6;(3)x=sint;(4)u=cosφ.
［生］(1)y′=(x5)′=5x4.
［生］(2)y′=(x6)′=6x5.
［生］(3)x′=(sint)′=cost.
［生］(4)u′=(cosφ)′=-sinφ.
2.求下列函数的导数.
(1);(2).
(1)解：y′=()′=(x-3)′=-3x-3-1=-3x-4.
(2)解：.
3.质点的运动方程是s=t3(s单位：m,t单位：s),求质点在t=3时的速度.
解：v=s′=(t3)′=3t3-1=3t2,
当t=3时，v=3×32=27(m/s),
∴质点在t=3时的速度为27 m/s.
4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=(s单位：m,t单位：s,g=9.8 m/s2),求t=3时的速度.
解：,
当t=3时，v=g·3=9.8×3=29.4(m/s),
∴t=3时的速度为29.4 m/s.
［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf(x)］′=Cf′(x)(C是常数).
这由极限的知识可以证得.
=Cf′(x).
5.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.
解：y′=(x4)′=4x4-1=4x3.
∴y′|x=2=4×23=32.
∴点P(2，16)处的切线方程为y-16=32(x-2),
即32x-y-48=0.
Ⅳ.课时小结
［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C′=0(C是常数)，②(xn)′=nxn-1(n∈R),③(sinx)′=cosx,④(cosx)′=-sinx)以及变化率的概念:v0=s′(t0)叫做位移s在时刻t0对时间t的变化率，函数y=f(x)在点x0的导数f′(x0)叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.
Ⅴ.课后作业
(一)课本习题3.2 2，4，5.
(二)1.预习内容：课本和(或差)、积的导数.
2.预习提纲：
(1)和(或差)的导数公式、证明过程.
(2)积的导数 公式、证明过程.
(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.
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