【苏教版选修1-1教案】3.3.1单调性1

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3.3.1 导数的单调性
内容分析：
?以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单
教学过程：
一、复习引入：
1. 常见函数的导数公式：
；；；
2.法则1 　．
法则2 ,
法则3
3.对数函数的导数：
4.指数函数的导数：
二、讲解新课：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像
可以看到：
y=f(x)=x2－4x+3 切线的斜率 f′(x)
(2，+∞) 增函数 正 ＞0
(－∞，2) 减函数 负 ＜0
在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2.用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.
三、讲解范例：
例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.
令2x－2＞0，解得x＞1.
∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x
令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.
∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.
证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.
f(x1)－f(x2)=
∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴＞0
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.
证法二：(用导数方法证)
∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－，x＞0，
∴x2＞0，∴－＜0. ∴f′(x)＜0，
∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.
点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间.
解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)
=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)
令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜. ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)
令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.
∵为拐点，
∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)
例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.
分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.
证明：令f(x)=e2x－1－2x. ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)
∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0
∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.
∵f(0)=e0－1－0=0.
∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.
∴1+2x＜e2x
点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.
例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
解：y′=(x+)′
=1－1·x－2=
令＞0. 解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
四、课堂练习：
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－)=－3(x+)(x－)
令－3(x+)(x－)＞0，解得－＜x＜.
∴y=x－x3的单调增区间是(－，).
令－3(x+)(x－)＜0，解得x＞或x＜－.
∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－)和(，+∞)
2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.
解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b＞0，解得x＞－
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－，+∞)
令2ax+b＜0，解得x＜－.
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－)
3.求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x
(1)解：y′=()′=
∵当x≠0时，－＜0，∴y′＜0.
∴y=的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)
(2)解：y′=()′
当x≠±3时，－＜0，∴y′＜0.
∴y=的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).
(3)解：y′=(+x)′.
当x＞0时+1＞0，∴y′＞0. ∴y=+x的单调增区间是(0，+∞)
五、小结 ： f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f′(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：
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