第3章 圆
3.1.1 圆的对称性（第1课时）
教学目标
【知识与技能】
理解圆、圆心和半径、弦、直径的含义。
掌握圆的两种对称性。
理解垂径定理是圆的对称性的体现，掌握垂径定理。
【过程与方法】在探索圆的对称性以及垂径定理的性质中，培养学生观察、比较、归纳，概括的能力。
【情感态度与价值观】通过对圆的进一步认识，加深学生对圆的完美性的体会，陶冶美育情操。激发学习热情。
教学重点和难点
【重点】
理解圆的有关概念。
利用圆的对称性引出两个定理。
【难点】垂径定理的严谨性。
教学过程
一 创设情境，导入新课
导语
1.如图汽车的车轮和方向盘是什么形状？
2.观看动画：单车的两个转盘和链条之间有什么关系？两个车轮有什么关系呢？
圆是现实生活中最重要的一种图形，下面我们从数学的角度来研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系。
这节课学习----圆的对称性。
二合作交流，探究新知
1.观察圆形成过程的动画，了解圆和圆的一些概念
（1）什么叫圆？什么叫圆的半径？直径？弦？
圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
这个定点叫作圆心，定长叫作半径
圆也可以看成是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作圆心.
定点与动点的连线段叫作半径.如图：点O是圆心.线段OA的长度是一条半径.线段OA的长度也叫作半径.以点O为圆心的圆叫作圆O，记作⊙O
连结圆上任意两点的线段叫作弦如图，线段AB是一条经过圆心的弦叫作直径如图线段EF是⊙O的一条直径，线段EF的长度也称为直径.
圆的旋转不变性
探究：（1）用一块硬纸板和一张薄的白纸分别画一个圆，它们的半径相等，把白纸放在硬纸板上面，使两个圆的圆心重合，观察这两个圆是否重合？
能够重合的两个圆叫作相等的圆，或等圆
（2）用一根大头针穿过这两个圆的圆心，让硬纸板保持不动，让白纸绕圆心旋转任意角度，观察旋转后，白纸上的圆是否仍然与硬纸板上的圆重合？
思考：这体现圆具有什么样的性质？
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合.特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
（3）在白纸的圆上面画任意一条直径，把白纸沿着这条直径所在的直线折叠．观察圆两
部分是否互相重合？
思考：这体现圆具有什么样的对称性？
圆是轴对称图形，任意直径所在的直线是它的对称轴。
思考：这是为什么呢？我们先来证明下面定理：
定理1 垂直于弦的直径平分这条弦．
已知：如图：⊙O中，直径CD与弦AB垂直，垂足为E。
求证：AE=BE.
证明: ∵OA=OB, ∴△OAB是等腰三角形, 又OE是底边AB上的高,因而OE也是底边AB上的中线，从而AE=BE
现在你能说出圆是轴对称图形任意一条直径所在的直线是它的对称轴的道理吗？
分析：要说明圆是轴对称图形，就需要说明圆上任意一点关于直径的对称点也在圆上。于是设EF是圆O的直径，P是圆上任意一点，过P作EF的垂线，垂足为M，交圆O于Q，只要说明P、Q关于直线EF对称就可以了。你会说明吗？
根据定理1，EF平分弦PQ，从而直线EF是线段PQ的垂直平分线．
于是点P与点Q关于直线EF对称，因此，圆O关于直线EF对称．
三 应用迁移，巩固提高
1.圆的有关概念
例1.下列说法错误的是（ ）
A 圆上的任意点到圆心的距离相等。 B 圆的任意直径是圆的对称轴。
C 直径是也是圆的弦。 D 半径相等的圆是等圆。
2.垂径定理的应用
例2. （玉溪市2010） 如图，在半径为10的⊙O 中，OC垂直弦AB于点D，
AB＝16，则CD的长是 ．
【分析】构造直角三角形求解。
【解：】连接OA,∵OC⊥AB,OC是半径，∴AD=DB=?AB=8，
∵OA=10，∴,CD=OC-OD=10-6=4.
【点评】遇到垂直弦的直径（或半径）要想到“垂直弦的直径平分弦”，利用
勾股定理解题。
变式练习：
1.如图，圆O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一点，那么OP的取值范围是_____.
【解】作OC⊥AB于C，则AC=?AB=4，又OA=5，
∴,∴3≤OP≤5
2.在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆与C、D两点，求证：
AC=BD.
【证明】：作OE⊥AB于E，由垂径定理得AB=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD
四 总结反思，拓展升华
1知识要点总结：（1）圆、半径、直径、弦的概念。（2）圆的旋转不变性质 (3)垂径定理
2、方法总结：解决与圆有关的问题，常需要过圆心作弦的垂线，利用“垂直弦的直径平分弦”。再利用勾股定理求解。
作业：P69-A组-1，2题
