必修1 第二章 函数 2.1.3 函数的单调性 教案

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第二章 函数
2.1.3 函数的单调性
本节教材分析
一 三维目标
1知识与能力目标
（1） 理解函数的单调性及其几何意义。
（2） 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.。
（3） 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别。
2 过程与方法目标
（1）逐步借助图像、表格、自然语言和数学符号语言，建立增（减）函数的概念。
（2）学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养
（3）培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力。
3情感态度与价值观目标
（1） 通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯.
（2） 通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣；学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习的信心。
二 教学重点
函数单调性的概念和判断。
三 教学难点
利用函数单调性的定义判断具体函数的单调性。
四 教学建议
函数的单调性是函数的一个重要性质，在讲解函数单调性的概念时要结合图形进行分析说明，是抽象的概念直观化，加深概念的理解。同时也要注意培养学生应用图形解决问题的能力。
新课导入设计
导入一：分别画y=2x,y=-2x和y= +1的函数图像，引导学生观察图像的升降变化，体会不同函数在不同区间上的变化差异，从而导入新课。
导入二：列举生活中的例子 比如
(1)近六届世界杯进球数如下表： 画成折线图：
年份 进球数
1990 115
1994 137
1998 171
2002 161
2006 147
2010 145
　　　　　　　　　　　　　
问题1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？
(2)某市某天的气温变化曲线图：
问题2：随着时间的变化，温度的
变化趋势是？（上升？下降？）
通过分析这些例子导入新课。
函数的单调性
教学过程
四、教学过程：
（一）问题情境：
(1)近六届世界杯进球数如下表： 画成折线图：
年份 进球数
1990 115
1994 137
1998 171
2002 161
2006 147
2010 145
　　　　　　　　　　　　　
　　　
　　　　 　　　　　　　　　　　
问题1：随着年份的不同，进球数有什么变化？进球数的变化和图象的变化有什么联系？
(2)绵阳市某天的气温变化曲线图：
问题2：随着时间的变化，温度的
变化趋势是？（上升？下降？）
事实上，在生活中，有很多数据的变化是有规律的，了解这些数据的变化
规律，对我们的生活很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的，这就是我们今天要研究的函数的单调性。
（板书课题）
（二）建构定义:
1、引入直观性定义：
观察下列函数的图象,由学生讨论交流并回答下列问题（几何画板动态展示）
问题3:这两个函数图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）
问题4:函数在区间　　　内y随x的增大而增大，在区间　　　内　　
y随x的增大而减小；
总结到一般情况下：
在区间D内 在区间D内
图象
图象特征 从左到右，图象上升 从左到右，图象下降
数量特征 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
教师说明直观性定义：称左边的函数在区间D上单调递增函数，右边的函数则称为区间I上单调递减函数。
2、严格数学语言定义：
多媒体展示：图象在区间D内呈上升趋势
当x的值增大时，函数值y也增大
区间内有两个点、，当时，有
问题5：若区间内有两点时，有，能否推出是单调递
增函数？
构造反例，动画演示，引导学生对自变量取值的“任意性”的深刻理解。
定义：一般地，设函数的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递增函数。
由学生类比得到减函数的定义：
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是单调递减函数。
注:
(1)三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定；
(2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。
举例：在上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。
(三)定义应用:
例1、下图是定义在[－5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
分析：动画演示，帮助学生理解。
解：的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5]。
其中在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；
在[－2，1）， [3，5）上是增函数。
强调单调区间的写法：
问题6：可否写成[－5，－2）U[－2，1）？
问题7：写成[－5，－2）还是写成[－5，－2]？
多媒体展示构造反例说明：
（1）单调区间一般不能求并集；
（2）当端点满足单调性定义时，可开可闭。
例2、试判断函数 在区间（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。
分析：问1：除了图象法判定函数单调性还有什么方法？
2：如何用定义法判定函数单调性？
3：用定义判定函数单调性的关键是什么？（提示如何比较3和2的大小，从而引入作差法）
证明：函数 在（0，＋∞）上是增函数
设 是(0,＋∞)上的任意两个值,且，
则
又，故，
则，即：
因此，函数 在（0，＋∞）上是增函数。
总结定义法证明函数单调性的步骤：
1、取值:设任意属于给定区间，且；
2、作差变形:变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；
3、定号:确定的正负号；
4、下结论:由定义得出函数的单调性。
思考题：
在上面证明中，你能理解的任意性的意义吗？
解答：有了“任意性”在区间内不管取哪两个值，其证明过程都是一样的。
四、课堂练习：
（1）课本P65页1，
（2）证明:函数在上是减函数。（动画演示帮助理解）
课堂思考：
函数
单调区间
单调性
课后思考：
函数在R上单调递增，那么，的符号有什么规律？若单调递减，又该如何
五、回顾小结：
1、函数单调性的定义；
2、判定函数单调性：
（1）方法：图象法，定义法；
（2）定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论。
六、课后作业：
1、必做题：课后练习1，4，6，
2、选做题: 课后练习7
七、板书设计
函数单调性
一、函数单调性概念1、单调递增函数2、单调递减函数3、单调区间 (主板书) 二、例题及解答例1例2 (副板书) 议练活动 (辅助性板书)
4
y
y
1
-1
x
1
o
1
x
0
-1
1
-2
2
2
-4
2
1
5
4
3
1
-1
-2
-1
-5
-3
-2
3
x
o
取值
作差变形
定号
下结论
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