求数列通项公式的几类问题（一）
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
求数列通项公式的几类问题
曲靖市第二中学 陈世忠
数列是高中代数的重要内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的高考试题中占有较大的比重，而数列问题在很多情形下，又是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，通项公式的求解问题往往是解题的突破口、关键点，是解决数列难题的瓶颈。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，还要具备多种能力，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强，既考察学生的基础，又考查学生的抽象推理能力，逻辑思维能力及学生的潜能，这使得求通项是近年来高考命题的热点及必考点．
第一类 已知数列前几项，写通项公式
已知数列前几项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．
〖例1〗 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
① 9，99，999，9999，… ② ，…
③ 2,-5,10,-17,26, … ④ 7，0，-7，0，7，…
⑤ ，… ⑥ 1，5，1，5，1，5，…
〖解析〗 ① 注意到项接近整10，100，1000，…，原数列可变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，所以通项公式为；
② 符号问题可通过或来调整，其各项的绝对值的排列的规律为：分子是正整数列，分母比分子多1，故通项公式为；
③ 符号问题可通过或来调整，其各项的绝对值变化速度非常快，联想1，4，9，16，25，36，…，，…，不难发现其各项的绝对值的排列的规律为：项数的平方加1，故通项公式为；
④ 联想1，0，-1，0，1，… 得通项公式为或，；
⑤ 观察偶数项发现分子比分母大3，整数问题分数化，将奇数项改写为分数也有同样规律，所以通项公式为；
⑥ 奇数项均为1，偶数项均为5，所以
〖妙解〗 这是摆动数列，要寻找摆动平衡位置与摆动的振幅。平衡位置：1与5的平均数3，振幅：用或来调节．于是前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2，所以．
〖归纳警示〗 （ⅰ）符号问题可通过或来调整；
（ⅱ）变化速度非常快联想幂；
（ⅲ）分式形式的数列，分子找规律，分母找规律，还要充分借助分子分母的关系；
（ⅳ）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．
〖练习〗根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
① 6，66，666，6666，… 通项公式
② … 通项公式
③ 1,3,7,15,31,… 通项公式
④ 5，0，-5，0，5，… 通项公式为，
⑤ … 通项公式
⑥ ,1, ,1, ,… 通项公式
⑦ … 通项公式
⑧ 2，6，12，20，30，42，… 通项公式
你能得到数列 9，99，999，9999，…的通项公式吗？．
思
考
① 符号数列：
1，-1，1，-1，… 通项公式；
② 循环数列：
9，99，999，9999，… 通项公式；
③ 三角数列：
1，0，-1，0，1，0，-1，0，… 通项公式；
④ 奇、偶项数列：
1，0，1，0，… 通项公式
或 或
⑤ 其他数列：
非零自然数列——1，2，3，…，，…
正偶数列——2，4，6，8，…，，…
正奇数列——1，3，5，7，…，，…
正方形数——1，4，9，16，25，36，…，，…
，，，，，…，，…
几个常用
基础数列
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
求数列通项公式的几类问题
曲靖市第二中学 陈世忠
数列是高中代数的重要内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的高考试题中占有较大的比重，而数列问题在很多情形下，又是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，通项公式的求解问题往往是解题的突破口、关键点，是解决数列难题的瓶颈。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，还要具备多种能力，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强，既考察学生的基础，又考查学生的抽象推理能力，逻辑思维能力及学生的潜能，这使得求通项是近年来高考命题的热点及必考点．
第一类 已知数列前几项，写通项公式
已知数列前几项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．
〖例1〗 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
① 9，99，999，9999，… ② ，…
③ 2,-5,10,-17,26, … ④ 7，0，-7，0，7，…
⑤ ，… ⑥ 1，5，1，5，1，5，…
〖解析〗 ① 注意到项接近整10，100，1000，…，原数列可变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，所以通项公式为；
② 符号问题可通过或来调整，其各项的绝对值的排列的规律为：分子是正整数列，分母比分子多1，故通项公式为；
③ 符号问题可通过或来调整，其各项的绝对值变化速度非常快，联想1，4，9，16，25，36，…，，…，不难发现其各项的绝对值的排列的规律为：项数的平方加1，故通项公式为；
④ 联想1，0，-1，0，1，… 得通项公式为或，；
⑤ 观察偶数项发现分子比分母大3，整数问题分数化，将奇数项改写为分数也有同样规律，所以通项公式为；
⑥ 奇数项均为1，偶数项均为5，所以
〖妙解〗 这是摆动数列，要寻找摆动平衡位置与摆动的振幅。平衡位置：1与5的平均数3，振幅：用或来调节．于是前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2，所以．
〖归纳警示〗 （ⅰ）符号问题可通过或来调整；
（ⅱ）变化速度非常快联想幂；
（ⅲ）分式形式的数列，分子找规律，分母找规律，还要充分借助分子分母的关系；
（ⅳ）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．
〖练习〗根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
① 6，66，666，6666，… 通项公式
② … 通项公式
③ 1,3,7,15,31,… 通项公式
④ 5，0，-5，0，5，… 通项公式为，
⑤ … 通项公式
⑥ ,1, ,1, ,… 通项公式
⑦ … 通项公式
⑧ 2，6，12，20，30，42，… 通项公式
你能得到数列 9，99，999，9999，…的通项公式吗？．
思
考
① 符号数列：
1，-1，1，-1，… 通项公式；
② 循环数列：
9，99，999，9999，… 通项公式；
③ 三角数列：
1，0，-1，0，1，0，-1，0，… 通项公式；
④ 奇、偶项数列：
1，0，1，0，… 通项公式
或 或
⑤ 其他数列：
非零自然数列——1，2，3，…，，…
正偶数列——2，4，6，8，…，，…
正奇数列——1，3，5，7，…，，…
正方形数——1，4，9，16，25，36，…，，…
，，，，，…，，…
几个常用
基础数列
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网