【苏教版必修五课时训练】1.2 余弦定理

1.2余弦定理
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　　一、填空题
　　1．已知△ABC中， A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．
　　2．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值是________．
　　3．若△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝1，则面积S的取值范围是________．
　　4．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则＝________．
　　5．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________．
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　　三、解答题
　　1．已知a＝3，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．
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　　2．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b-c＝2，求a．
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　　3．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，且，a2＋b2＝c2＋ab，求A．
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　　4．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．
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　　5．已知a、b、c为△ABC的三边，且a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．
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参考答案
　1、填空题
　　1．　分析：∵　 A＝60°，∴　最大边和最小边所夹的角为A，AB、AC为x2-9x＋8＝0的两个正实数根，则AB＋AC＝9，AB×AC＝8
　　∴　BC2＝AB2＋AC2-2×AC×AB×cosA
　　＝(AB＋AC)2-2×AC×AB×(1＋cosA)
　　＝92-2×8×＝57
　　2．-　分析：先由c2＝a2＋b2-2abcosC求出c＝3，∴　最大边为b，最大角为B，
　　∴　cosB＝．
3．(0，　分析：S△ABC＝absinC＝ab＝
(0　　4．1　分析：∵　∠C＝60°，∴　cosC＝，
　　∴　a2＋b2＝c2＋ab，
　　∴　a2＋ac＋b2＋bc＝c2＋ab＋ac＋bc
　　∴　a(a＋c)＋b(b＋c)＝c(c＋a)＋b(a＋c)
　　∴　a(a＋c)＋b(b＋c)＝(c＋a)(b＋c)
　　∴　＝1
　　5．4或5　分析：设BC＝x，则5＝x2＋25-2·5·x·，即x2-9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5．
　　2、解答题()
　　1．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(3)2＋22-2·2·2·(-)＝49．
　　∴　b＝7，
　　S△＝acsinB＝×3×2×＝．
　　2．解：由S△ABC＝bcsinA，得
　　12＝×48×sinA
　　∴　sinA＝
　　∴　A＝60°或A＝120°
　　a2＝b2＋c2-2bccosA
　　＝(b-c)2＋2bc(1-cosA)
　　＝4＋2×48×(1-cosA)
　　当A＝60°时，a2＝52，a＝2
　　当A＝120°时，a2＝148，a＝2
　　3．解：∵　a2＋b2＝c2＋ab
　　∴　
　　∴　cosC＝
　　∴　C＝45°
　　由正弦定理可得
　　
　　∴　sinBcosC＝2sinAcosB-sinCcosB
　　∴　sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB
　　∴　sin(B＋C)＝2sinAcosB
　　∴　sinA＝2sinAcosB
　　∵　sinA≠0
　　∴　cosB＝
　　∴　B＝60°，∴　A＝180°-45°-60°＝75°
　　4．解：∵　S＝a2-(b-c)2
　　又S＝bcsinA
　　∴　bcsinA＝a2-(b-c)2
　　∴　(4-sinA)
　　∴　cosA＝(4-sinA)
　　∴　sinA＝4(1-cosA)
　　∴　2sin
　　∴　tan
　　∴　sinA＝
　　∴　c＝b＝4时，S最大为
　　5．解：∵　a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0
　　由上述两式相加，相减可得
　　c＝(a2＋3)，b＝(a-3)(a＋1)
　　∴　c-b＝(a＋3)
　　∵　a＋3＞0，∴　c＞b
　　c-a＝(a2＋3)-a＝(a2-4a＋3)＝(a-3)(a-1)
　　∵　b＝(a-3)(a＋1)＞0，∴　a＞3
　　∴　(a-3)(a-1)＞0
　　∴　c＞a
　　∴　c边最大，C为最大角
　　∴　cosC＝
　　
　　∴　△ABC的最大角C为120°