【苏教版必修五课时训练】3.4.1基本不等式的应用

3.4.2 基本不等式的应用
一、填空题
1．函数y＝log2 (x>1)的最小值为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为
3．若xy是正数，则2＋2的最小值是
4．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
5．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
6．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为________．
二、解答题
7．求下列函数的最小值．
(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；
(2)设x>－1，求y＝的最小值．
8．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?

9.已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值．
10　如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
答案
1答案　3
2答案　4
解析　∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4.
3答案　4
解析　2＋2＝x2＋y2＋＋＋
＝＋＋≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
4答案　1 760
解析　设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么
y＝120·4＋2·80·＝480＋320
≥480＋320·2＝1 760(元)．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
5答案　8
解析　∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．
故＋的最小值为8.
6答案　
解析　设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.
7解　(1)2x＋y＝＝(2x＋y)
＝≥(2＋4)＝.
当且仅当＝时取“＝”，即y2＝4x2，∴y＝2x.
又∵＋＝3，求出x＝，y＝.∴2x＋y的最小值为.
(2)∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.
8解　设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝，
即y＝1＋＋(x∈N*)．
由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
解　方法一　∵a＋b＋3＝ab≤，设a＋b＝t，t>0，则t2≥4t＋12.
解得：t≥6 (t≤－2舍去)，∴(a＋b)min＝6.
方法二　∵ab＝a＋b＋3，∴b＝>0，∴a>1.
∴a＋b＝a＋＝a＋＋1＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6.
当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号．
10解　(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x+6y=36，即2x+3y=18.
设每间虎笼面积为S，则S=xy.
方法一 由于 ，
得
即 当且仅当 等号成立 ，由
解得 故每间笼长为4.5m,宽为 3m, 可使面积最大，
方法二 由 ，得
x>0, 0当且仅当 即 时，等号成立，此时
(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l，则l=4x+6y.
方法一
当且仅当 时 等号成立，
由 解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．