【苏教版必修五课时训练】3.4.2基本不等式的证明

3.4.1 基本不等式的证明
一、填空题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为
2．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
3．设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_______________________.
4．若a,b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga·lgb的最大值是
5．在三个结论：①，②
③，其中正确的是　　 　 　　
6．已知a、b为不等的正数，且，试将四个数按从小到大
的顺序排列 。
二、解答题
7．求下列函数的最小值．
(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；
(2)设x>－1，求y＝的最小值．
8.9已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值．
9．已知，求证：≥．
10．设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：．
答案
1答案　4
解析　∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4.
2答案　8
解析　∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．
故＋的最小值为8.
3答案：2-4lg2。解析：∵x>0,y>0,5=x+y≥2,∴xy≤()2. 当且仅当x=y=时等号成立. 故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2.
4答案： 1.解析：。
5答案：1,2,3。解析：可以证明3个不等式都成立。
6答案：
（1）当时，，得，且，
此时
（2）当时，，得，且，
此时
（3）当时，与题设矛盾
7解　(1)2x＋y＝＝(2x＋y)
＝≥(2＋4)＝.
当且仅当＝时取“＝”，即y2＝4x2，∴y＝2x.
又∵＋＝3，求出x＝，y＝.∴2x＋y的最小值为.
(2)∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.
8解　方法一　∵a＋b＋3＝ab≤，设a＋b＝t，t>0，则t2≥4t＋12.
解得：t≥6 (t≤－2舍去)，∴(a＋b)min＝6.
方法二　∵ab＝a＋b＋3，∴b＝>0，∴a>1.
∴a＋b＝a＋＝a＋＋1＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6.
当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号．
9答案:∵，∴≥，
两边同加上得，≥．
又≥，两边同加上得，≥≥，
∴≥．
10答案：∵ ∴ ∴
∴