1.3.2 含有一个量词的命题的否定
一、填空题
1.命题“ax2+2x+1=0至少有一个负实根”的否定是________.
2.命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是________.
3.有四个关于三角函数的命题:
p1:x∈R,sin2+cos2=;
p2:x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny;
p3:x∈[0,π], =sinx;
p4:sinx=cosy?x+y=.
其中的假命题是________.
4.对下列命题的否定说法错误的是________.
①p:能被3整除的整数是奇数;﹁p:存在一个能被3整除的整数不是奇数
②p:每一个四边形的四个顶点共圆;﹁p:存在一个四边形的四个顶点不共圆
③p:有的三角形为正三角形;﹁p:所有的三角形都不是正三角形
④p:x∈R,x2+2x+2≤0;﹁p:当x2+2x+2>0时,x∈R
5.下列各命题的否定中真命题的个数是________.
①p:当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)无实根;②p:存在一个整数b,使函数f(x)=x2+bx+1在[0,+∞)上是单调函数;③p:存在x∈R,使x2+x+1≥0不成立.
6.给出下列四个命题:①有理数是实数;②有些平行四边形不是菱形;③对任意x∈R,x2-2x>0;④有一个素数含有三个正因数.以上命题的否定为真命题的是________.
7.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下命题:
①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;
②不存在φ,使f(x)既是奇函数,又是偶函数;
③存在φ,使f(x)是奇函数;
④对任意的φ,f(x)都不是偶函数.
其中假命题的序号是______.
8.存在性命题:存在一个被7整除的整数不是奇数的否定为________.
9.命题“α,β∈R,cos2α=2cosβ”的否定是________.
二、解答题
10.写出下列命题p的否定p,并判断p与p的真假.
(1)p:x∈R,|x|>x;
(2)p:x、y∈R,x2+y2>0.
11.写出下列命题的否定:
(1)若2x>4,则x>2;
(2)若m≥0,则x2+x-m=0有实数根;
(3)可以被5整除的整数,末位是0;
(4)被8整除的数能被4整除;
(5)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.
12.若命题p:x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0是假命题,求实数a的取值范围.
答案
1答案:ax2+2x+1=0没有负实根
2答案:对任意的x∈R,2x>0
3解析:对于p1:因为sin2+cos2=1,所以对于x∈R,不存在x满足sin2+cos2=.
对于p2:当x=,y=0时,sin=sin-sin0=1.
对于p3:当x∈[0,π]时,sinx≥0,所以 ===sinx.
对于p4:sinx=cosy?x+y=2kπ+(k∈Z).
答案:p1,p4
4答案:④
5解析:①中p为真命题,则p的否定为假命题;②中p为真命题,当b=2时,f(x)=x2+2x+1在[0,+∞)上单调递增,则p的否定为假命题;③中命题p为假命题,因为对?x∈R,x2+x+1=2+≥,所以p的否定为真命题.
答案:1
6解析:①②原命题为真,则其否定为假,③④原命题为假,则其否定为真.
答案:③④
7答案:①④
8答案:所有被7整除的整数都是奇数
9答案:α,β∈R,cos2α≠2cosβ
10解:(1) p:x∈R,|x|≤x,p是真命题,p为假命题.
(2) p:x,y∈R,x2+y2≤0,p为假命题,p为真命题.
11解:若2x>4,则x≤2.
(2)若m≥0,则x2+x-m=0无实数根.
(3)存在一个可以被5整除的整数,其末位不是0.
(4)存在一个数能被8整除,但不能被4整除.
(5)若一个四边形是正方形,则它的四条边不全相等.
12解:﹁p:x∈R,(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,是真命题.
当a=2时,-4<0,对x∈R恒成立.
当时,﹁p是真命题,解得-2
综上,实数a的取值范围是(-2,2].