【苏教版选修1-1课时训练】2.2.2 椭圆的几何性质

2.2.2 椭圆的几何性质
一、填空题
1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值为________．
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是____________．
3．已知椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则该椭圆的标准方程为____________．
4．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若△F1F2P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
5．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
6．已知两椭圆＋＝1与＋＝1(07．若F1、F2是椭圆C：＋＝1的焦点，则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．
8．若椭圆＋＝1(a>b>0)焦距的一半为c，直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则该椭圆的离心率为________．
9．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是____________．
二、解答题
10．如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A、B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．
12.
如图，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求P点坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
答案
1解析：当焦点在x轴上时，a＝，b＝2，c＝，e＝＝＝，解得k＝；当焦点在y轴上时，a＝2，b＝，c＝，e＝＝＝，解得k＝.所以k的值为或.
答案：或
2解析：由两个焦点三等分长轴知3·2c＝2a，即a＝3c.由a＝9得c＝3，所以b2＝a2－c2＝72，所以椭圆的标准方程是＋＝1.
答案：＋＝1
3解析：由题意知a＋b＝10，c＝2，又因为c2＝a2－b2，所以a＝6，b＝4，所以该椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
4解析：由题意知，PF2＝F1F2＝2c，
PF1＝PF2＝2c，
∴PF2＋PF1＝2c(＋1)＝2a，
∴e＝＝＝－1.
答案：－1
5解析：如图，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距的一半为c.由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.
∴AF2＝c，AF1＝2c·sin60°＝c.
∴AF1＋AF2＝2a＝(＋1)c.
∴e＝＝＝－1.
答案：－1
6解析：∵c＝25－9＝16，∴c1＝4，
∵c＝(25－k)－(9－k)＝16，∴c2＝4.
∵∴c1＝c2，∴2c1＝2c2，∴有相同的焦距．
答案：焦距
7解析：∵椭圆C：＋＝1，∴c＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，其短轴的端点为B(0,2)，A(0，－2)，∴∠F1BF2＝∠F1AF2＝90°.又短轴端点与F1、F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1、F2连线所成角中的最大角，∴满足PF1⊥PF2的点有2个．
答案：2
8解析：由题设可得2c＝，即b2＝2ac，∴c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－1＝0，又0答案：－1
9解析：因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤，所以2m＋4∈[4－2，4＋2]．
答案：[4－2，4＋2]
10解：由椭圆的方程＋＝1知，a＝4，b＝3，
∴c＝＝.
(1)△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝4×4＝16.
(2)由c＝知F1(－，0)、F2(，0)，
又k1＝tan45°＝1，
∴直线l的方程为x－y＋＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由，消去x整理，得25y2－18y－81＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－.
∴|y1－y2|＝
＝ ＝，
∴S△ABF2＝F1F2·|y1－y2|＝×2×＝.
11解：(1)由消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
所以AB＝ ＝
＝＝ 
＝，
所以当m＝0时，AB的值最大，此时直线方程为y＝x.
12 解：(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．由已知得消去y得2x2＋9x－18＝0.
∴x＝或x＝－6.∵y>0，
∴x＝，y＝.∴P点坐标是(，)．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设M(m,0)(－6≤m≤6)，
则M到直线AP的距离是.
又MB＝6－m，∴＝6－m.
∵－6≤m≤6，∴m＝2.
椭圆上的点(x，y)到点M的距离
d＝＝ 
＝ .由于－6≤x≤6，
∴当x＝时，d取最小值为.