【苏教版选修1-1课时训练】2.3.2双曲线的几何性质

2.3.2双曲线的几何性质
一、填空题
1．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是________．
2．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线方程为________．
3．关于双曲线－＝1与－＝k(k>0且k≠1)有下列结论：①有相同的顶点；②有相同的焦点；③有相同的离心率；④有相同的渐近线．其中正确结论的序号是________．
4．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程是3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若PF1＝3，则PF2的值为________．
5．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为________．
6．过点P(－1，－)的直线l与双曲线－＝1有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实半轴长等于________．
7．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．
8．F1、F2是双曲线－＝1的左、右焦点，P是双曲线左支上的点，已知PF1、PF2、F1F2依次成等差数列，且公差大于0，则∠F1PF2＝________.
9.
如图，F1和F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
二、解答题
10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线x＝3与双曲线交于M、N两点，
求证：F1M⊥F2M.
11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，试求该双曲线离心率的取值范围．
12．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
答案
1解析：由双曲线方程，判断出公共焦点在x轴上，所以椭圆的一个焦点为(，0)，双曲线的一个焦点为(，0) 所以m2＝8n2.
又因为双曲线渐近线方程为y＝±·x，①
把m2＝8n2，即|m|＝2|n|代入①，得y＝±x.
答案：y＝±x
2答案：y2－x2＝24
3解析：双曲线－＝1与－＝k(k>0且k≠1)显然有共同的渐近线±＝0.双曲线－＝1的实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，所以半焦距c＝5，双曲线－＝k可化为－＝1，故实半轴长a′＝4≠4，虚半轴长b′＝3≠3，所以半焦距c′＝5≠5.
故两个双曲线的焦点、顶点都不相同，∴①、②都错．而前者的离心率e＝＝，后者的离心率e′＝＝＝＝e，所以离心率相同，所以③④正确．
答案：③④
4解析：∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，
∴＝.∵b＝3，∴a＝2.
又|PF1－PF2|＝2a＝4，∴|3－PF2|＝4.
∴PF2＝7或PF2＝－1(舍去)．
答案：7
5解析：如图，由题知∠MF1F2＝30°，MF2⊥x轴，
∴MF1＝2MF2.
∵MF1－MF2＝2a，
∴MF2＝2a，又∵F1F2＝2c.
∴cot30°＝＝＝＝，∴e＝.
答案：
6解析：依题意知，过点P的直线l与双曲线相切或与双曲线的渐近线y＝－x平行，所以a＝1或＝－，解得a＝1或a＝2.即实半轴长等于1或2.
答案：1或2
7解析：由双曲线方程－＝1，知其右焦点的坐标为(5,0)，渐近线方程为4x±3y＝0，所以所求圆的半径为＝4，
故所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝42.
答案：(x－5)2＋y2＝16
8解析：由双曲线定义可知PF2－PF1＝4，又2PF2＝PF1＋F1F2＝PF1＋14，∴PF2＝10，PF1＝6.在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°.
答案：120°
9解析：连结OA(图略)，∵△F2AB是等边三角形，由双曲线及圆的对称性可知∠AOF1＝60°，又OA＝OF1，∴A点坐标为(－，c)，将A点坐标代入双曲线方程，得－＝1　①，又b2＝c2－a2　②，
由①②可得e＝1＋.
答案：1＋
10解：(1)∵由双曲线的离心率为，∴＝，
∴＝2，∴a＝b，
即双曲线为等轴双曲线．
可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
由于双曲线过点(4，－)，
∴42－(－)2＝λ，
∴λ＝6.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)证明：由(1)可得F1、F2的坐标分别为(－2，0)、(2，0)，M、N的坐标分别为(3，)、(3，－)，
∴kF1M＝，kF2M＝ .
故kF1M·kF2M＝·＝－1，
∴F1M⊥F2M.
11解：∵PF1＝4PF2，点P在双曲线的右支上，∴设PF2＝m，则PF1＝4m，由双曲线的定义，得PF1－PF2＝4m－m＝2a，∴m＝a.
又PF1＋PF2≥F1F2，即4m＋m≥2c，∴m≥c，即a≥c，∴e＝ ≤.又e>1，∴双曲线离心率的取值范围为112解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2.又∵a2＋b2＝c2，∴b2＝1.
∴双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)由题意得整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.∵直线与双曲线C有两个不同的交点，∴解得m2>3k2－1.①　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为B(x0，y0)，则x1＋x2＝，∴x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.由题意知AB⊥MN，∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，整理得3k2＝4m＋1.②
将②代入①得m2－4m>0，∴m<0或m>4.∵3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－.
综上所述，实数m的取值范围为－4.