【苏教版选修1-1课时训练】2.4.2 抛物线的几何性质

2.4.2 抛物线的几何性质
一、填空题
1．M为抛物线x2＝2py(p>0)上任意一点，F为焦点，则以MF为直径的圆与x轴的位置关系是________．
2．若抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为________．
3．若点P在y2＝x上，点Q在(x－3)2＋y2＝4上，则PQ的最小值为________．
4．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则当·取得最小值时，点P的坐标是________．
5．已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，则△OAB的周长为________．
6．在抛物线y＝4x2上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________．
7．等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是________．
8．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足的坐标为(2,1)．
能使抛物线的方程为y2＝10x的条件是________．(填写适合条件的所有序号)
9．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点(2p,0)作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：
①OA⊥OB；②△AOB的最小面积是4p2；③x1x2＝－4p2，其中正确结论的序号是________．
二、解答题
10．求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
11．在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边所在直线的方程是y＝x，斜边长为5，求抛物线的方程．
答案
1解析：如图所示，设C为线段MF的中点，即C为圆的圆心，则CC′＝(MM′＋OF)＝＝MF，∴该圆与x轴相切．
答案：相切
2解析：将(1,2)代入y2＝2px(p>0)和ax＋y－4＝0得p＝2，a＝2，∴y2＝4x,2x＋y－4＝0.∵焦点为(1,0)，∴d＝＝.
答案：
3解析：设P(x，y)，圆心C(3,0)，半径r＝2，∵PC2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x＝x2－5x＋9＝(x－)2＋≥，
当x＝时，|PC|2＝∴抛物线与圆相交，∴PQmin＝0.
答案：0
4解析：设P，则＝，＝，∴·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时，等号成立，此时P(0,0)．
答案：(0,0)
5解析：如图所示．由OA＝OB可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则OF＝OM.
∵F(2,0)，∴OM＝OF＝3.∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，∴m＝2或m＝－2.
∴A(3,2)．∴OA＝OB＝.∴△OAB的周长为2＋4.
答案：2＋4
6解析：设该点为A(x0，y0)，那么有y0＝4x(x0∈R)．设点A到直线y＝4x－5的距离为d，则
d＝＝|－4x＋4x0－5|
＝＝.
当x0＝时，d取最小值，此时y0＝4×2＝1，所以点A的坐标为.
答案：
7解析：设点A(x，y)在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x(x≠0)，由得即点A(2p,2p)，B(2p，－2p)，所以AB＝4p，所以S△ABO＝AB·2p＝·4p·2p＝4p2.
答案：4p2
8解析：由抛物线方程y2＝10x知，焦点在x轴上，所以②适合；对于③，由焦半径公式知，1＋＝6，所以p＝10，此时y2＝20x，不符合条件；对于④，2p＝5，此时y2＝5x，不符合题意；又因为抛物线y2＝10x的焦点为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，所以⑤也适合．因此应填序号为②⑤.
答案：②⑤
9解析：当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－2p)(k≠0)，与抛物线的方程联立，得k2x2－(4pk2＋2p)x＋4p2k2＝0，所以x1x2＝4p2，y1y2＝－＝－4p2，所以
x1x2＋y1y2＝0，即OA⊥OB，①正确，易证当直线AB的斜率不存在时，①也正确；由抛物线的图形可知，AB⊥x轴时，S△AOB取最小值，所以S△AOBmin＝×2p|y1－y2|＝4p2，所以②正确；③不正确．
答案：①②
10解：(1)若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.
由得
直线x＝0与抛物线只有一个公共点(0,0)．
(2)若直线的斜率存在，设为k，则过点P(0,1)的直线方程为y＝kx＋1.
由方程组消去y，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.
当k＝0时，则得
即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，
则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，所以k＝.
所以直线方程为y＝x＋1.
综上所述，所求的直线方程为x＝0，y＝1，y＝x＋1.
11解：设抛物线上的点B，C关于直线y＝kx＋3对称，直线BC的方程为x＝－ky＋m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m＝0.
设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，
则y0＝＝－2k，x0＝＝2k2＋m.
因为点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，所以－2k＝k(2k2＋m)＋3，所以m＝－.又因为直线BC与抛物线交于不同两点，所以Δ＝16k2＋16m>0，把m代入化简，得<0，即<0，解得－112解：设△AOB是抛物线的内接直角三角形，直角的顶点是O，边AO所在直线的方程是y＝x，则边OB所在直线的方程是y＝－x.由得A(2p,2p)，又由得B(2p，－2p)．因为AB＝5，所以＝5，即p2＝.因为p>0，所以p＝.所以所求抛物线的方程是y2＝x.