【苏教版选修1-1课时训练】3.1.2 瞬时变化率-导数

3.1.2 瞬时变化率-导数
一、填空题
1．如果质点A按规律s＝2t3运动，则质点A在t＝3秒时的瞬时速度的大小为________．
2．一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动，则这辆汽车在t＝3秒时的瞬时速度的大小为________．
3．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．
4．函数y＝－在点(，－2)处的切线方程为________．
5．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线斜率k为________．
6．曲线y＝x3－2x2－4x＋2在点(1，－3)处的切线方程是________．
7．若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋ax的切线，则a＝________.
8．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是________．
9．已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为________．
二、解答题
10．经过点(3,0)的直线l与抛物线y＝有两个交点，若抛物线y＝在这两点处的切线相互垂直，求直线l的斜率k.
11．已知函数y＝x3＋的图象为曲线C.求曲线C在点P(2,4)处的切线方程．
12．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x)＋2＝g′(x)的x的值以及此时f′(x)的值．
答案
1 解析：∵s＝2t3，
∴＝＝2Δt2＋18Δt＋54，
∵当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数54，
∴质点A在t＝3秒时的瞬时速度的大小为54.
答案：54
2 解析：∵Δs＝3(3＋Δt)2＋1－(3×32＋1)＝3Δt2＋18Δt，
∴＝＝3Δt＋18.
∵当Δt无限趋近于0时，无限趋近于18，
∴这辆汽车在t＝3秒时的瞬时速度的大小为18.
答案：18
3 解析：＝＝＝v，
∴当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，
即物体在任意时刻的瞬时速度都是v.
答案：相等
4解析：∵y＝－，
∴Δy＝－－(－)＝，∴＝，
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数4.
∴点(，－2)处切线斜率为4，
∴切线方程为y＋2＝4(x－)．即y＝4x－4.
答案：y＝4x－4
5解析：∵f(x)＝x2＋3x，
∴＝＝Δx＋7，
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数7，从而A点处切线斜率k＝7.
答案：7
6 解析：∵y＝x3－2x2－4x＋2，∴＝

＝＝Δx2－Δx－5，
∴当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数－5，
∴点(1，－3)处切线斜率为－5，
∴切线方程为y＋3＝－5(x－1)，即5x＋y－2＝0.
答案：5x＋y－2＝0
7 解析：∵y＝x3－3x2＋ax，设切点(x0，y0)，
∴＝

＝Δx2＋(3x0－3)Δx＋3x－6x0＋a.
∴Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数3x－6x0＋a.
∴ ∴或.
答案：1或
8解析：∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝a(x＋Δx)3＋3(x＋Δx)2＋2－(ax3＋3x2＋2)
＝3ax2Δx＋3ax(Δx)2＋a(Δx)3＋6xΔx＋3(Δx)2，
∴＝3ax2＋3axΔx＋a(Δx)2＋6x＋3Δx，
∴Δx→0时，→3ax2＋6x，即f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.
答案：
9解析：∵Δy＝(x＋Δx)2－2－(x2－2)
＝xΔx＋(Δx)2.
∴＝x＋Δx，
∴Δx→0时，→x，即f′(x)＝x，
∴过P点的斜率k＝f′(1)＝1，
由tanα＝1，得α＝45°.
答案：45°
10解：显然，如果直线l的斜率不存在，则它与x轴垂直，这时它与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线l的斜率为k，则其方程为y＝k(x－3)，设它与抛物线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得x2－2kx＋6k＝0，所以x1x2＝6k，又对y＝有y′＝x，所以抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为x1，x2，于是有x1x2＝6k＝－1，所以k＝－.
11 解：∵＝
＝x2＋xΔx＋(Δx)2.
∴当Δx→0时， →x2.
∴曲线在点P(2,4)处切线斜率k＝4，
故所求切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
12 解：∵＝＝2x＋Δx，
∴Δx→0时， →2x，即f′(x)＝2x.
又＝＝3x2＋3xΔx＋(Δx)2，
∴Δx→0时， →3x2，即g′(x)＝3x2.
∵f′(x)＋2＝g′(x)，
∴2x＋2＝3x2，
即3x2－2x－2＝0，解得x＝.
此时f′()＝，f′()＝.