【苏教版选修1-1课时训练】3.2.1 常见函数的导数

3.2.1 常见函数的导数
一、填空题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是________．
2．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，则α的值等于________．
4．质点的运动方程是s＝t3(s的单位：m；t的单位：s)，则质点在t＝4时的瞬时速度为________．
5．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．
6．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，且f(x)7．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值等于________．
8．已知09．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2010(x)＝________.
二、解答题
10．已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
11．设直线l1与曲线y＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于直线l1，若l2交x轴于点Q，又作PK垂直于x轴于点K，求KQ的长．
12．经过定点(1,3)作直线l与抛物线y＝x2相交于A、B两点，求证：抛物线上A、B两点处的切线的交点M在一条定直线上．
答案
1 解析：设切点为(x0，x)，则由于y′＝(x2)′＝2x，
∴切线斜率为2x0.由2x0＝2，得x0＝1，∴切点为(1,1)，斜率为2.∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
2 解析：由题意切线的斜率为y′|x＝1＝3×12＝3，
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，
与x轴交点为(，0)．
∴S＝|2－|×4＝.
答案：
3 解析：f′(x)＝α·xα－1，所以f′(－1)＝α·(－1)α－1.当α＝4时，f′(－1)＝4×(－1)3＝－4.
答案：－4
4 解析：∵s＝t3.∴s′＝3t2，∴v＝s′|t＝4＝3×42＝48(m/s)．
答案：48 m/s
5解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，于是f′(1)＝2＋2f′(1)，则f′(1)＝－2，故得f′(x)＝2x－4，因此f′(0)＝－4.
答案：－4
6解析：f′(x).
答案：x<0或x>
7 解析：因为y′＝(lnx)′＝，设切点为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1.由lnx0－1＝0，得x0＝e.∴k＝.
答案：
8解析：f′(x)＝2x∈(0，)，g′(x)＝∈(1，＋∞)，
∴f′(x)＜g′(x)．
答案：f′(x)＜g′(x)
9解析：∵f1(x)＝(cosx)′＝－sinx，f2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f3(x)＝(－cosx)′＝sinx，f4(x)＝(sinx)′＝cosx，…，由此可知fn(x)的值周期性重复出现，且周期为4，故f2010(x)＝f2(x)．
答案：－cosx
10解：由于y＝sinx，y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
k1＝y′|x＝x0＝cosx0，k2＝y′|x＝x0＝－sinx0.
若使两条切线互相垂直，必须
cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，
也就是sin2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
11 解：如图所示，设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝ .
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝.
在直线l2的方程中令y＝0，
则－＝－2(x－x0)．
解得x＝＋x0，即xQ＝＋x0.
又xK＝x0，∴|KQ|＝xQ－xK＝＋x0－x0＝.
12证明：显然，如果直线l的斜率不存在，则它与x轴垂直，这时它与抛物线只有一个交点，不合题意．故可设直线l的斜率为k，则其方程为y－3＝k(x－1)，它与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，消去y得x2－kx＋k－3＝0，因此.又因为y′＝2x，所以抛物线在A、B两点处的切线的斜率分别为2x1,2x2，切线方程分别为y－x＝2x1(x－x1)和y－x＝2x2(x－x2)，联立解得两切线的交点M的坐标为(，x1x2)，即M(，k－3)，若令，消去k得y＝2x－3.故抛物线上A、B两点处的切线的交点M在定直线y＝2x－3上．