【苏教版选修1-1课时训练】3.2.2 函数的和、差、积、商的导数

3.2.2 函数的和、差、积、商的导数
一、填空题
1．已知f(x)＝(x2＋x)(x－1)，则f′(2)等于________．
2．已知抛物线y＝ax2＋bx－5在点(2,1)处的切线为y＝－3x＋7，则a＝________，b＝________.
3．(2010年高考课标全国卷改编)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为________．
4．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为________．
5．曲线y＝x2－1与y＝1＋x3在x＝x0处的切线互相垂直，则x0等于________．
6．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________．
7．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则f′(1)的取值范围是________．
8．垂直于直线2x－6y＋1＝0且与曲线y＝x2＋3x－5相切的直线的方程为________．
9．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
二、解答题
10．求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
11．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.
(1)求曲线C上的横坐标为1的点的切线方程；
(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点．
12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
答案
1 解析：f′(x)＝(x2＋x)′(x－1)＋(x2＋x)(x－1)′＝3x2－1，∴f′(2)＝3×22－1＝11.
答案：11
2 解析：∵y′＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b＝k.
∵方程y－1＝(4a＋b)(x－2)与y＝－3x＋7重合，
∴即4a＋b＝－3.
又点(2,1)在y＝ax2＋bx－5上，
∴4a＋2b－5＝1.
由得
答案：－3　9
3 解析：y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3－2＝1，
∴切线的方程为y＝x－1.
答案：y＝x－1
4 解析：∵点(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.
又y′＝3x2＋a，∴
∴
答案：3
5 解析：y′＝(x2－1)′＝2x，y′＝(1＋x3)′＝3x2，
∴2x0·3x＝－1，∴x＝－，∴x0＝－.
答案：－
6 解析：∵y′＝(x3＋3x2＋6x－10)′＝3x2＋6x＋6
＝3(x＋1)2＋3≥3，当x＝－1时，取等号．
∴斜率最小的切线方程为
y－(－14)＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
答案：3x－y－11＝0
7 解析：∵f′(x)＝x2sinθ＋xcosθ，∴f′(1)＝sinθ＋·cosθ＝2sin(θ＋)．因为θ∈[0，]，所以sin(θ＋)∈[，1]，所以f′(1)∈[，2]．
答案：[，2]
8 解析：因为y′＝2x＋3与直线2x－6y＋1＝0垂直的直线的斜率为－3，所以由2x＋3＝－3，解得x＝－3，所以切点为(－3，－5)，切线方程为y－(－5)＝－3(x＋3)，即3x＋y＋14＝0.
答案：3x＋y＋14＝0
9 解析：∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0＋∞)，
∴由题知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．
即a＝－在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．
∴a∈(－∞，0)．
答案：a<0
10 解：(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由f(0)＝3，得d＝3；由f′(0)＝0，得c＝0；由f′(1)＝－3，f′(2)＝0可建立方程组解得所以f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.把f(x)，f′(x)代入方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使对任意x方程都成立，则需解得所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
11 解：(1)将x＝1代入C的方程中，得y＝－4，得切点为(1，－4)．∵y′＝12x3－6x2－18x，
∴切线斜率为k＝12－6－18＝－12.
∴切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.
(2)由得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，即(x－1)2(x＋2)(3x－2)＝0.
解得x＝1，－2，，代入y＝－12x＋8，得y＝－4,32,0.
即公共点为(1，－4)，(－2,32)，(，0)．
除切点处，还有两个公共点(－2,32)，(，0)．
12 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝，
∴切点坐标为(2，)
又f′(x)＝a＋，
∴解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任意一点，由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)．
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)(*)．
令(*)式中x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令(*)式中y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.