【苏教版选修1-1课时训练】3.3.2 极大值和极小值

3.3.2 极大值和极小值
一、填空题
1．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．
2．三次函数，当x＝1时有极大值4，当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是________．
3．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
4．函数f(x)＝(a∈R)的极大值等于________．
5．若函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是________．
6．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x＋m的图象不经过第四象限，则实数m的取值范围是________．
7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．
①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．
8．若函数f(x)＝x2lnx(x>0)的极值点是α，函数g(x)＝xlnx2(x>0)的极值点是β，则有α、β的大小关系为________．
9．f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是________．
①(a，b)　②(a，c)　③(b，c)　④(a＋b，c)
二、解答题
10．设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式．
11．设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.
(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值；
(2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围．
12．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.
(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；
(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．
答案
1 解析：∵f(x)与x轴切于(1,0)点，
f′(x)＝3x2－2px－q，
∴f′(1)＝3－2p－q＝0.
又f(1)＝1－p－q＝0，
∴p＝2，q＝－1.
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.由f′(x)＝0得x1＝，x2＝1.
f(x)极大值＝f()＝，
f(x)极小值＝f(1)＝0.
答案：　0
2 解析：三次函数过原点，可设f(x)＝x3＋bx2＋cx，
f′(x)＝3x2＋2bx＋c，f′(1)＝3＋2b＋c＝0，
f′(3)＝27＋6b＋c＝0，∴b＝－6，c＝9，
∴f(x)＝x3－6x2＋9x，
f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
当x＝1时，f(x)极大值＝4；
当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件．
答案：y＝x3－6x2＋9x
3 解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
4 解析：f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e1－a，当x0；当x>e1－a时，f′(x)<0，所以函数的极大值等于f(e1－a)＝＝ea－1.
答案：ea－1
5 解析：y′＝3x2－2a，因为函数在(0,1)内有极小值，所以方程3x2－2a＝0较大的根在(0,1)内，所以2a＝3x2∈(0,3)，得a∈(0，)．
答案：(0，)
6 解析：由于f′(x)＝x2＋x－2，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，
当x<－2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当－2当x>1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
∴f(x)在x＝－2时取得极大值，且f(－2)＝＋m；
f(x)在x＝1时取得极小值，且f(1)＝－＋m，
因此要使函数f(x)的图象不经过第四象限，应使其极小值不小于零，即－＋m≥0，m≥，故m的取值范围是m≥.
答案：m≥
7解析：从图象上可以看到：当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．
答案：①
8解析：由于f′(x)＝2xlnx＋x，令f′(x)＝0，得x＝e－，容易验证x＝e－就是函数f(x)的极值点，故α＝e－.又g′(x)＝lnx2＋2，令g′(x)＝0，得x＝e－1，容易验证x＝e－1就是函数g(x)的极值点，故β＝e－1，因此有α>β.
答案：α>β
9 解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1，－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，1－1＝－，b＝0.
答案：①
10 解：∵P点坐标为P(0，d)，
又曲线在点P处切线为12x－y－4＝0，
∴当x＝0时，y＝d，即d＝－4，
∵y′|x＝0＝c，
又切线斜率k＝12，∴c＝12.
又函数在x＝2处取得极值0，
∴∴解得
∴函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.
11 解：(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．
因f(x)在x＝3处取得极值，
所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.
经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点．
(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0，得x1＝a，x2＝1.
当a<1时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数，故当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，从而f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
综上所述，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
12 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，
f′(x)＝3(x－2＋)(x－2－)．
当x∈(－∞，2－)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－)上单调增加；
当x∈(2－，2＋)时，f′(x)<0，f(x)在(2－，2＋)上单调减少；
当x∈(2＋，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋，＋∞)单调增加．
综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－，2＋)，
(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．
当1－a2≥0时，f′(x)≥0，所以f(x)为增函数，故f(x)无极值点；
当1－a2<0时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－，
x2＝a＋
由题意知，2或2式无解，②式的解为因此，a的取值范围是(，)．