【苏教版选修1-1课时训练】3.3.3 最大值和最小值

3.3.3 最大值和最小值
一、填空题
1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M－m＝________.
2．函数f(x)＝sin2x在[－，0]上的最大值是________，最小值是________．
3．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值是________，最小值是________．
4．设y＝|x|3，那么y在区间[－3，－1]上的最小值是__________．
5．函数f(x)＝的值域为________．
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于________．
7．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为________．
8．函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________.
9．对于函数f(x)＝，有下列命题：
①过该函数图象上一点(－2，f(－2))的切线的斜率为6；②函数f(x)的最小值等于－；
③该方程f(x)＝0有四个不同的实数根；
④函数f(x)在(－1,0)以及(1，＋∞)上都是减函数．其中正确的命题有________．
二、解答题
10．设11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，坐标原点到切线l的距离为，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a、b、c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
12．已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．
答案
1解析：f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.
又f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，
所以M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.
答案：32
2解析：∵x∈[－，0]，∴sinx∈[－，0]．
∴sin2x∈[0，]．
答案：　0
3 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1(舍去)．
列出f′(x)，f(x)随x的变化情况表：
x
－3
(－3，－1)
－1
(－1,0)
0
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－17
?
3
?
1
∴f(x)max＝3，f(x)min＝－17.
答案：3　－17
4 解析：只需研究函数y＝x3在[1,3]上的最小值即可，显然最小值等于1.
答案：1
5答案：[1,5]
6 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1，
当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′ (x)＝0得x＝，又a>，∴0<<2.
令f′(x)>0，则x<，∴函数f(x)在(0，)上递增；
令f′(x)<0，则x>，∴函数f(x)在(，2)上递减，
∴f(x)max＝f()＝ln－a·＝－1，∴ln＝0，得a＝1.
答案：1
7 解析：∵f(x)＝x－x3，∴f′(x)＝1－3x2，
由f′(x)＝0得x＝±.
因为f(0)＝0，f(1)＝0，f()＝(1－)＝，
所以f(x)的最大值为.
答案：
8 解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，f(x) ＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝，
所以g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g(x)max＝g()＝4，从而a≥4；
当x<0，即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g(x)＝－在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上，a＝4.
答案：4
9 解析：当x≤0时，f′(x)＝3x2＋3x，所以f′(－2)＝6，故①正确；画出函数f(x)的大致图象，如图所示，可得②错误，③正确，④错误．
答案：①③
10解：令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
?
b
?
－＋b
?
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，由－a＝－，得a＝，所以a＝，b＝1.
11 解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′()＝0，可得
4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4.
设在点x＝1处的切线l的方程为y＝3x＋m，由坐标原点到切线l的距离为，得＝，解得m＝±1.
∵切线l不过第四象限，∴m＝1.
由于切点的横坐标为1，∴f(1)＝4，即1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－3，－2)
－2
(－2，)

(，1]
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13；在x＝处取得极小值f()＝，又f(－3)＝8，f(1)＝4.
∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
12 解：(1)f′(x)＝3x2＋4x＋1，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝－.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，－)
－
(－，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
∴当x＝－1时，f(x)取得极大值为－4；
当x＝－时，f(x)取得极小值为－.
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x3＋(2－a)x2＋4，
F(x)≥0，在[0，＋∞)上恒成立?F(x)min≥0，x∈[0，＋∞)．
若2－a≥0，即a≤2，显然F(x)min＝4>0；
若2－a<0，即a>2，f′(x)＝3x2＋(4－2a)x,
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当0当x>时 ，f′(x)>0.
所以，当x∈(0，＋∞)时，F(x)min＝F()≥0，
即()3＋(2－a)()2＋4≥0.
解不等式得a≤5，
∴2综上所述，a的取值范围为(－∞，5]．