【苏教版选修1-1课时训练】3.4 导数在实际生活中的应用

3.4 导数在实际生活中的应用
一、填空题
1．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t4－t3＋2t2，那么速度为零的时刻是________．
2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是________．
3．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．
4．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
6．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是________．
7．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20 m长的墙壁，则当围成长为________m，宽为________m的长方形小屋时(忽略门窗)，才能使小屋面积最大．
8．烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A，B两座烟囱相距20km，其中，B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，两座烟囱连线上有一点C，则当AC＝________km时可以使该点的烟尘浓度最低．
9．将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则当弯成圆的一段铁丝长为________cm时，可使正方形与圆的面积的和最小．
二、解答题
10．已知某厂生产x件产品的成本为G＝25000＋200x＋x2(元)，请问：
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
11．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0(1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少？最少为多少升？
12．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)

答案
1 解析：∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4.
答案：0秒、1秒、4秒
2 解析：∵总利润P(x)
＝，由P′(x)＝0，得x＝300.
答案：300
3 解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＋)，所以y′＝2(1－)，令y′＝0得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800米，即其周长至少为800米．
答案：800
4 解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润最大为7225元．
答案：7225
5解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离．于是由2＝，得k1＝20；8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋，
令y′＝0得x＝5(x＝－5舍去)，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
6 解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm.两个三角形的面积和为
S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4(0 答案：2 cm2
7 解析：设长方形一边长为x m，则与该边相邻的一边长为(10－) m，面积S＝x(10－)＝10x－.令S′＝10－x＝0，得x＝10，易知当x＝10时，小屋面积最大．此时长为10 m，宽为10－＝5 (m)．
答案：10　5
8 解析：不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，设AC＝x km，则0 答案：
9 解析：设弯成圆的一段长为xcm，则另一段长为(100－x)cm，记正方形与圆的面积之和为S，则S＝π()2＋()2(0 答案：
10 解：(1)设平均成本为y元，则
y＝＝＋200＋x，
∴y′＝－25000·＋，
令y′＝0，得x＝1000(x＝－1000舍去)．
∴当x＝1000时，取极小值．由于函数只有一个点使y′＝0，且函数在该点处有极小值，那么函数在该点处取得最小值．因此要使得平均成本最低，应生产1000件产品．
(2)利润函数L＝500x－(25000＋200x＋x2)，
∴L′＝300－x，令L′＝0，得x＝6000.
当在x＝6000附近左侧时，L′>0；
当在x＝6000附近右侧时，L′<0.
故当在x＝6000时，L取得极大值．
由于函数只有一个点使L′＝0，且函数在该点处有极大值，那么函数在该点处取得最大值．因此应生产6000件产品能使利润最大．
11 解：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5小时．
要耗油(×403－×40＋8)×2.5＝17.5升．
因此，当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得
h(x)＝(x3－x＋8)·
＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数．
∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.
∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，∴它是最小值．
即当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为11.25升．
12解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则
f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋)，
f′(x)＝48－，
令f′(x)＝0得x＝15或x＝－15(舍去)，
当x>15时，f′(x)>0；当10≤x<15时，f′(x)<0，因此当x＝15时，f(x)取最小值，f(15)＝2000.
故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．