1.1.4 集合复习课
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课件16张PPT。1.1.4 集合复习课一．集合的三个特征
1． 元素的确定性
2． 元素的互异性
3． 元素的无序性
例１:求集合{1，x2－x－1}中实数x应满足的条件.
例2: 集合Ａ＝{x | x2－2ax＋b＝0 x∈R}，
（1）若A＝{－1，1}，求a、b．
（2）若A＝{－1}，求a、b．
例3: 设二次方程 x2＋ax＋b＝0和x2＋cx＋15＝0的解集分别为A、B，又A∪B＝{3，5}， A∩Ｂ＝{3}，求a， b， c的值．
解: ∵ A∩Ｂ＝{3}
∴ 3∈B，即3是方程x2＋cx＋15＝0的根
∴ 32＋3c＋15＝0 得 c＝－8
由方程x2－8x＋15＝0 解得 x1＝3， x2＝5
∴ B＝{3， 5}
又A∪B＝{3，5}，故必有A＝{3}，
即方程x2＋ax＋b＝0有两重根为3
由韦达定理可得 a＝－6， b＝9例4: 已知集合A＝{x∈R| x2＋ax＋1＝0}，B＝{1,2}，且A?B，求a的取值范围。
分析 由A?B可知，A的可能情况为四种，分别针对A的各种情况，来考虑方程的解的情形，则不难求出相应的a的取值范围。
解 ∵A是B的子集，
故知集合A可能为 ?，{1}，{2}，{1,2}。
由根与系数的关系可知x1·x2＝1，知A＝{2}及A＝{1,2}均不可能．因而A＝?或{1}．
当A＝?时，即方程x2＋ax＋1＝0没有实数解，故知 a2－4<0，即－2当A＝{1}时，即方程有两个相等的根1，由根与系数的关系可知，1＋1＝－a，即a＝－2。
综上所述，所求a的范围是{a/－2≤a<2}。例5: 已知集合A＝{x | x2－3x＋2＝0}，B＝{x | x2－ax＋(a－1)＝0}，且Ａ∪Ｂ＝A，求a取值的集合．
解: A＝{x | x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
由Ａ∪Ｂ＝A可知B?A．
故知集合B可能为 空集 ?，{1}，{2}，{1，2}．
∵方程x2－ax＋(a－1)＝0的根为1，a－1．
由根与系数的关系可知B＝空集?、或B＝{2}均不可能
∴B＝{1}或B＝{1，2}，
∴a－1＝1或a－1＝2 ,即a＝2或a＝3．
注：该题亦可直接将方程的根代入求解，但要注意
回验.看看得出的a值是否满足条件．例6: 已知集合A＝{1，3，a}，Ｂ＝{1，a2－a＋1}，若B?A，求a的值。
解：因为B?A，故有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a。
1. 由a2－a＋1＝3解得a＝2或a＝－1。经检验，它们均满足题设条件。
2.由a2－a＋1＝a解得，a＝1.此时集合A中有两个元素1,与元素的互异性相矛盾，故知a＝1不合题意，舍去。
综上所述，所求a的值是－1或2。
注：因为在运算过程中，运用某些条件时，并未顾及到集合中元素的互异性，故求得的结果不一定符合题目要求，因此，常常通过检验来加以判断，可见，回验是其中的一个重要环节。例7: 已知A＝{x | －2＜x＜－１或x＞１｝,Ｂ＝
｛x | a≤x≤b｝且A∪B＝｛x | x＞－2｝， A∩Ｂ＝{x | 1＜x≤3 }， 求a、b的值．
解: 由A∩Ｂ＝{x | 1＜x≤3 }可知，
－1≤a≤1且b＝3
又由A∪B＝｛x | x＞－2｝，
可知，－2＜a≤－1且 b＞1
故可得，所求的值是 a＝－1， b＝3.
注：该题通过交、并的意义，分别观察参数a、b的取值范围，而进一步求得a、b的值．可画出数轴，来帮助理解．二．集合的表示方法
集合的表示方法有列举法和描述法．
它的一般形式为 A＝{P | P所具有的属性}
（1） 集合A＝{x | x－2＝0}与集合B＝{x | x－2＞０}，虽元素的一般形式相同，但元素x所具有的属性（意义）不同．
（2）集合C＝{y | y＝－x＋3，x∈N ，y∈N }与
集合D＝{(x，y) | y＝－x＋3，x∈N ，y∈N }．
C中的元素y表示函数值，其函数值的集合C＝｛3，2，1，0｝
D中元素(x，y)是有序实数对，D＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}
（3）集合Ｅ＝{(x，y) | x＝1且y＝2}与
集合F＝{(x，y) | x＝1或y＝2}
前者表示坐标平面内一个点(1,2)的集合，即{(1,2)}，
而后者是坐标平面内所有横坐标为１的点集及所有纵坐标为２的
点的集合，其图形为两条直线．
（4）集合G＝{ x | x＝2k－1, k∈Z}与
集合H＝{y | y＝2k＋3，k∈Z}
不仅元素采用的字母不同，而且式子的表达式也不一样，但它们的含义并无区别，均为奇数集．
思考：若将（4）中的条件“k∈Z”改为“k∈N”呢？例1 :已知x∈R，集合{x2＋2x－2＝0}的元素的个数为
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．3
例2: 已知x∈R，集合{x | x2＋2x－2＝0}的元素的个数为
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３解：A＝{x| x≤－1或x≥3}，B＝{y| y≥0}，故知
A∩B＝{x| x≥3}例4: 集合Ａ＝{y | y＝x2－1}， B＝{y | y＝x＋1}，那么有
A∩Ｂ＝{－1，2} Ｂ． A∩Ｂ＝B
C. A∩Ｂ＝A D. A∩Ｂ＝{(－1，0)，(2，3)} 思考：若在例4中将元素的一般形式y改为(x,y)，即Ａ＝{(x,y) | y＝x2－1}， B＝{(x,y) | y＝x＋1}，则A∩Ｂ如何？答案：C
例6: 集合Ａ＝｛函数y＝x2＋2bx 的最小值｝，
Ｂ＝{函数y＝2x＋b , x∈[－1,1] 的最小值｝，b∈R.
求A∩Ｂ．
解: 设v是函数y＝x2＋2bx 的最小值 ，
u是函数y＝2x＋b x∈[－1,1] 的最小值，则
A＝{v| v＝－b2 }＝(－∞，0],B＝{u | u＝b－2 }＝R
∴ A∩Ｂ＝(－∞，0]．三、元素与集合之间的关系的判定 四、应用空集的概念解题
例1 空集?与{0}的关系是
A．{?}＝? B．?∈{0} C．{0}＝? D．??{0}
例2 设M＝{A的子集}，N＝{B的子集}，若A∩Ｂ＝φ，那么，M∩N＝_______.
例3 已知A＝{x | 1－c＜x＜1＋c}， B＝{x | x ≥－2}， 且A∩Ｂ＝φ，则ｃ的取值范围是______.
例4 已知集合A＝{x | x2＋x－6＝0}，B＝{x | mx－1＝0}，且B ? A，求m取值的集合．
答案：m＝0或m＝1/2或m＝－1/3
例5 已知A＝{x | x2＋(p＋2)x＋1＝0， x∈R }，若A∩R+＝φ，求实数p的取值范围．五、集合之间的关系的判定
1.设集合Ａ＝{x | x＝2m，m∈Z}，Ｂ＝{x | x＝4m＋2，m∈Z}，则下列关系正确的是
A．A ? B B．A ? B C．A＝B D．A ? B
2. 若A={a|a=3n＋1,n∈Z},B={b|b=3n－2,n∈Z},
C={c|c=6n＋1,n∈Z},则A、B、C间的关系为( )
(A) A=B?C (B) A?B?C
(C)A＝B?C (D)A?B=C
3. 已知集合P={x|x=n，n∈Z}，Q={x|x=n/2，n∈Z}
S={x|x=n+1/2，n∈Z}，则下列关系式中正确的是
A．Q?P Ｂ．Q?S Ｃ．Q=P∩S Ｄ．Q=P∪S六、全集和补集
一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集,由S中所有
不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集
（或余集），记作?SA，即?SA＝{x | x∈S，且x?A}。
容易看出：A∩?SA ＝?，A∪?SA ＝S．
例1 已知抛物线y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，试求实数a的取值范围．例2: 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{x∈R | x2－5x＋q＝0}，求?UA及q的值。
分析:由U是全集，可知A?U。但A是表示方程的解集，故A中最多只能有两个元素。
又方程x2－5x＋q＝0的根必是U中的元素。结合根与系数的关系可知，A中有一个元素的情况不可能。
故A＝?或A中必有两不等实根，且两元素之和为5。
所以A的可能情况为A＝?、A＝{ 1，4}、A＝{2，3}
（1）当A＝?时，?UA＝U，此时，25－4q＜0，知q＞25/4，即q的值为大于25/4的实数；
（2）当A＝{1，4}时，?UA＝{2，3，5}，
此时q＝1·4＝4；
（3）当A＝{2，3}时，?UA＝{1，4，5}，
此时q＝2·3＝6。例3: 已知A＝{x | x2－mx＋m2－19＝0}，B＝
{x | log2(x2－5x＋8)＝1}，C＝{x | x2＋2x－8＝0}
且A∩Ｂ??，A∩C＝?，求m的值．
解: ∵B＝{x | log2(x2－5x＋8)＝1}＝{1，3}，
C＝{x | x2＋2x－8＝0}＝{2，－4}，
由A∩Ｂ?? 知2，3两数中有适合方程x2－mx＋m2－19＝0的根，
但A∩C＝?，故－4，2?A，从而可断定3∈A．
于是 32－3m＋m2－19＝0，
解得 m＝5或m＝－2．
当m＝5时，A＝{2，3}，A∩Ｂ＝{2，3}??，
但A∩C＝{2}≠?，故m＝5不合题意．
当m＝－2时，A＝{3，5}，A∩Ｂ＝{3}??
且A∩C＝?，∴ 所求m＝－2．
1． 元素的确定性
2． 元素的互异性
3． 元素的无序性
例１:求集合{1，x2－x－1}中实数x应满足的条件.
例2: 集合Ａ＝{x | x2－2ax＋b＝0 x∈R}，
（1）若A＝{－1，1}，求a、b．
（2）若A＝{－1}，求a、b．
例3: 设二次方程 x2＋ax＋b＝0和x2＋cx＋15＝0的解集分别为A、B，又A∪B＝{3，5}， A∩Ｂ＝{3}，求a， b， c的值．
解: ∵ A∩Ｂ＝{3}
∴ 3∈B，即3是方程x2＋cx＋15＝0的根
∴ 32＋3c＋15＝0 得 c＝－8
由方程x2－8x＋15＝0 解得 x1＝3， x2＝5
∴ B＝{3， 5}
又A∪B＝{3，5}，故必有A＝{3}，
即方程x2＋ax＋b＝0有两重根为3
由韦达定理可得 a＝－6， b＝9例4: 已知集合A＝{x∈R| x2＋ax＋1＝0}，B＝{1,2}，且A?B，求a的取值范围。
分析 由A?B可知，A的可能情况为四种，分别针对A的各种情况，来考虑方程的解的情形，则不难求出相应的a的取值范围。
解 ∵A是B的子集，
故知集合A可能为 ?，{1}，{2}，{1,2}。
由根与系数的关系可知x1·x2＝1，知A＝{2}及A＝{1,2}均不可能．因而A＝?或{1}．
当A＝?时，即方程x2＋ax＋1＝0没有实数解，故知 a2－4<0，即－2
综上所述，所求a的范围是{a/－2≤a<2}。例5: 已知集合A＝{x | x2－3x＋2＝0}，B＝{x | x2－ax＋(a－1)＝0}，且Ａ∪Ｂ＝A，求a取值的集合．
解: A＝{x | x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
由Ａ∪Ｂ＝A可知B?A．
故知集合B可能为 空集 ?，{1}，{2}，{1，2}．
∵方程x2－ax＋(a－1)＝0的根为1，a－1．
由根与系数的关系可知B＝空集?、或B＝{2}均不可能
∴B＝{1}或B＝{1，2}，
∴a－1＝1或a－1＝2 ,即a＝2或a＝3．
注：该题亦可直接将方程的根代入求解，但要注意
回验.看看得出的a值是否满足条件．例6: 已知集合A＝{1，3，a}，Ｂ＝{1，a2－a＋1}，若B?A，求a的值。
解：因为B?A，故有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a。
1. 由a2－a＋1＝3解得a＝2或a＝－1。经检验，它们均满足题设条件。
2.由a2－a＋1＝a解得，a＝1.此时集合A中有两个元素1,与元素的互异性相矛盾，故知a＝1不合题意，舍去。
综上所述，所求a的值是－1或2。
注：因为在运算过程中，运用某些条件时，并未顾及到集合中元素的互异性，故求得的结果不一定符合题目要求，因此，常常通过检验来加以判断，可见，回验是其中的一个重要环节。例7: 已知A＝{x | －2＜x＜－１或x＞１｝,Ｂ＝
｛x | a≤x≤b｝且A∪B＝｛x | x＞－2｝， A∩Ｂ＝{x | 1＜x≤3 }， 求a、b的值．
解: 由A∩Ｂ＝{x | 1＜x≤3 }可知，
－1≤a≤1且b＝3
又由A∪B＝｛x | x＞－2｝，
可知，－2＜a≤－1且 b＞1
故可得，所求的值是 a＝－1， b＝3.
注：该题通过交、并的意义，分别观察参数a、b的取值范围，而进一步求得a、b的值．可画出数轴，来帮助理解．二．集合的表示方法
集合的表示方法有列举法和描述法．
它的一般形式为 A＝{P | P所具有的属性}
（1） 集合A＝{x | x－2＝0}与集合B＝{x | x－2＞０}，虽元素的一般形式相同，但元素x所具有的属性（意义）不同．
（2）集合C＝{y | y＝－x＋3，x∈N ，y∈N }与
集合D＝{(x，y) | y＝－x＋3，x∈N ，y∈N }．
C中的元素y表示函数值，其函数值的集合C＝｛3，2，1，0｝
D中元素(x，y)是有序实数对，D＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}
（3）集合Ｅ＝{(x，y) | x＝1且y＝2}与
集合F＝{(x，y) | x＝1或y＝2}
前者表示坐标平面内一个点(1,2)的集合，即{(1,2)}，
而后者是坐标平面内所有横坐标为１的点集及所有纵坐标为２的
点的集合，其图形为两条直线．
（4）集合G＝{ x | x＝2k－1, k∈Z}与
集合H＝{y | y＝2k＋3，k∈Z}
不仅元素采用的字母不同，而且式子的表达式也不一样，但它们的含义并无区别，均为奇数集．
思考：若将（4）中的条件“k∈Z”改为“k∈N”呢？例1 :已知x∈R，集合{x2＋2x－2＝0}的元素的个数为
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．3
例2: 已知x∈R，集合{x | x2＋2x－2＝0}的元素的个数为
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３解：A＝{x| x≤－1或x≥3}，B＝{y| y≥0}，故知
A∩B＝{x| x≥3}例4: 集合Ａ＝{y | y＝x2－1}， B＝{y | y＝x＋1}，那么有
A∩Ｂ＝{－1，2} Ｂ． A∩Ｂ＝B
C. A∩Ｂ＝A D. A∩Ｂ＝{(－1，0)，(2，3)} 思考：若在例4中将元素的一般形式y改为(x,y)，即Ａ＝{(x,y) | y＝x2－1}， B＝{(x,y) | y＝x＋1}，则A∩Ｂ如何？答案：C
例6: 集合Ａ＝｛函数y＝x2＋2bx 的最小值｝，
Ｂ＝{函数y＝2x＋b , x∈[－1,1] 的最小值｝，b∈R.
求A∩Ｂ．
解: 设v是函数y＝x2＋2bx 的最小值 ，
u是函数y＝2x＋b x∈[－1,1] 的最小值，则
A＝{v| v＝－b2 }＝(－∞，0],B＝{u | u＝b－2 }＝R
∴ A∩Ｂ＝(－∞，0]．三、元素与集合之间的关系的判定 四、应用空集的概念解题
例1 空集?与{0}的关系是
A．{?}＝? B．?∈{0} C．{0}＝? D．??{0}
例2 设M＝{A的子集}，N＝{B的子集}，若A∩Ｂ＝φ，那么，M∩N＝_______.
例3 已知A＝{x | 1－c＜x＜1＋c}， B＝{x | x ≥－2}， 且A∩Ｂ＝φ，则ｃ的取值范围是______.
例4 已知集合A＝{x | x2＋x－6＝0}，B＝{x | mx－1＝0}，且B ? A，求m取值的集合．
答案：m＝0或m＝1/2或m＝－1/3
例5 已知A＝{x | x2＋(p＋2)x＋1＝0， x∈R }，若A∩R+＝φ，求实数p的取值范围．五、集合之间的关系的判定
1.设集合Ａ＝{x | x＝2m，m∈Z}，Ｂ＝{x | x＝4m＋2，m∈Z}，则下列关系正确的是
A．A ? B B．A ? B C．A＝B D．A ? B
2. 若A={a|a=3n＋1,n∈Z},B={b|b=3n－2,n∈Z},
C={c|c=6n＋1,n∈Z},则A、B、C间的关系为( )
(A) A=B?C (B) A?B?C
(C)A＝B?C (D)A?B=C
3. 已知集合P={x|x=n，n∈Z}，Q={x|x=n/2，n∈Z}
S={x|x=n+1/2，n∈Z}，则下列关系式中正确的是
A．Q?P Ｂ．Q?S Ｃ．Q=P∩S Ｄ．Q=P∪S六、全集和补集
一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集,由S中所有
不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集
（或余集），记作?SA，即?SA＝{x | x∈S，且x?A}。
容易看出：A∩?SA ＝?，A∪?SA ＝S．
例1 已知抛物线y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，试求实数a的取值范围．例2: 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{x∈R | x2－5x＋q＝0}，求?UA及q的值。
分析:由U是全集，可知A?U。但A是表示方程的解集，故A中最多只能有两个元素。
又方程x2－5x＋q＝0的根必是U中的元素。结合根与系数的关系可知，A中有一个元素的情况不可能。
故A＝?或A中必有两不等实根，且两元素之和为5。
所以A的可能情况为A＝?、A＝{ 1，4}、A＝{2，3}
（1）当A＝?时，?UA＝U，此时，25－4q＜0，知q＞25/4，即q的值为大于25/4的实数；
（2）当A＝{1，4}时，?UA＝{2，3，5}，
此时q＝1·4＝4；
（3）当A＝{2，3}时，?UA＝{1，4，5}，
此时q＝2·3＝6。例3: 已知A＝{x | x2－mx＋m2－19＝0}，B＝
{x | log2(x2－5x＋8)＝1}，C＝{x | x2＋2x－8＝0}
且A∩Ｂ??，A∩C＝?，求m的值．
解: ∵B＝{x | log2(x2－5x＋8)＝1}＝{1，3}，
C＝{x | x2＋2x－8＝0}＝{2，－4}，
由A∩Ｂ?? 知2，3两数中有适合方程x2－mx＋m2－19＝0的根，
但A∩C＝?，故－4，2?A，从而可断定3∈A．
于是 32－3m＋m2－19＝0，
解得 m＝5或m＝－2．
当m＝5时，A＝{2，3}，A∩Ｂ＝{2，3}??，
但A∩C＝{2}≠?，故m＝5不合题意．
当m＝－2时，A＝{3，5}，A∩Ｂ＝{3}??
且A∩C＝?，∴ 所求m＝－2．