八年级数学下册 几何证明举例（3）

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课题： 《几何证明举例》三
学习目标 知识目标 1、证明并掌握下列定理：等腰三角形的性质定理及判定定理；等边三角形的性质定理及判定定理。2、学会用全等三角形判定和性质定理、同一三角形中“等边对等角”性质会适当添置辅助线创设条件，证明边和角相等。并会用数学符号与语言来规范表述证明过程。
能力目标 经历了命题的证明过程，积累如何寻找证明思路和证明过程的经验，感悟化归的数学思想和演绎推理的方法，加深对逻辑推理意义的理解，寻求论证思路的综合分析方法。
情感目标 从添置辅助线中感悟创设条件进行证明的积极性，促进学生形成积极向上的生活态度。
学习重点 ：会用全等三角形判定和性质定理、同一三角形中“等边对等角”及适当添置辅助线创设条件证明边相等和角相等。
学习难点 证明思路和过程的寻求及规范的证明格式书写。
教法与学法 课堂教学是有效地开展师生双边活动的主阵地，在教师的主导作用下，广泛地让学生参与，积极思考，亲自实践，培养学生的自我意识、竞争意识和创新意识，发展学生的创造性思维，激发学生学习的主动性。
教具准备 硬质片剪制的等腰三角形2个
教 学 过 程 个性化修改及生成完善
一、复习引入新课你还记得八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程吗？（学生事先准备好纸剪的等腰三角形操作）．二、新课探索新课探索一：等腰三角形的判定定理回答下面的问题，并与同学交流：(1)“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗 怎样证明 (2)说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题；(3)这个逆命题是真命题吗 怎样证明它的正确性 温馨提示一：回顾八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程．由当时的操作，如何添加辅助线，然后给出证明。注意作辅助线的方法可有多种，如作底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线，相应地，在判定两个三角形全等时的依据也不同．例4如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，在△ ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．温馨提示二：1、教师要引导学生说出等腰三角形性质定理的逆命题，然后引导学生研究例4，让学生说出它的证明过程．说明它是等腰三角形的判定定理，分析它与性质定理之间的区别，明确它们的应用 2、注意不要把等腰三角形的判定定理中的两个角说成两个底角．因为在没有判定三角形是等腰三角形之前．不能使用“底角”、“腰"这些名词．证明：作BC边上的高AD，则∠ADB=∠ADC=900． 在Rt△ABD和Rt△ACD中，∵∠B=∠C，∠ADB=∠ADC(已知)， AD=AD(公共边)，∴△ABD≌△ACD(AAS)．∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)．∴△ ABC是等腰三角形(等腰三角形的定义)．注意：这个逆命题的正确性便得到了证实今后它可以作为等腰三角形的判定定理．新课探索二：等腰三角形的性质——三线合一原命题“等腰三角形的两个底角相等”，是等腰三角形的一个性质定理．在上图中，∠1与∠2有什么关系 BD与CD有什么关系 你能得出什么结论 与同学交流．温馨提示三：1、上图中线段AD既是BC边上的高，又是BC边上的中线，也是顶角∠A的平分线，从而得到等腰三角形三线合一的性质定理。2、等腰三角形的性质定理的证明是“HL”定理的应用，其判定定理的证明是“AAS”定理的应用．这两个定理为证明“角相等”和“线段相等"提供了新的工具．在运用这两个定理时，(1)要注意“在同一个三角形中”这个隐含条件；(2)会区分这两个互逆定理的条件和结论．虽然这两个定理都是对“等腰”来说的，但在性质定理中是已知“等腰”，然后得出两角相等的结论，即“由边推角”；在判定定理中却是已知两角相等，而要证明“等腰”，即“由角推边”，它们反映了等边与等角关系的相互转化；(3)今后应克服不顾命题的条件，一概用全等三角形来证明两角相等或线段相等的思维定势．3、牢固掌握等腰三角形的性质，并能熟练地应用它们，应通过例题，熟练地进行下面的推理：如图．(1) ∵AB=AC ∴∠B=∠C；(2) ∵AB=AC ∠1=∠2 ∴AD⊥BC，BD=DC；(3) ∵AB=AC，BD=DC ∴AD⊥BC，∠1=∠2；(4) ∵AB=AC，AD⊥BC ∴BD=DC，∠1=∠2．结论：等腰三角形的性质定理：等腰三角形底边上的高线、中线、顶角的平分线分线重合(三线合一)新课探索三：等边三角形的性质例5 求证：等边三角形的每个内角都等于600．已知：如图△ ABC中，AB=BC=CA．求证：∠A=∠B=∠C=600． (例5可由学生给出证明)思考：你能写出定理“等边三角形的每个内角都等于600的逆命题，并证明这个逆命题是真命题吗 你能把这个逆命题的条件适当减少，使它仍然是真命题吗 与同学交流。温馨提示三：等边三角形性质定理的逆命题是“三个内角都等于600的三角形是等边三角形．”可以简化为“三个角都相等的三角形是等边三角形”或“两个角都等于600的三角形是等边三角形”或“有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形”。三、跟踪训练： 看我有多棒！ 1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F求证：DE=DF．2．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．四、拓展提高——小荷才露尖尖角 1、关于等边三角形有下面四种说法：①三角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角为600的三角形是等边三角形；③有一个角为600的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．这些说法中，正确的个数为( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、满足下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是( )．A、顶角、一腰对应相等 B、底边、一腰对应相等C、两腰对应相等 D、一底角、底边对应相等3．一个等腰三角形周长为9，其余各边均为整数，则腰长为( )．A．4 B．3 C．3或4 D．4或3或24、等腰三角形的一个外角是1100，则它的另外两个外角分别是 5、等腰三角形有一个角为1000，则另外两个角分别为 6、等腰三角形的两边长为8和4，则其周长为 7、如图，△ABC中，AB=AC，AD平分外角CAE，求证：AD∥BC．8、△ABC中，AB=AC，E为CA延长线上一点， ED⊥BC于点D，交AB于点F，求证：点A在EF的垂直平分线上．五、交流平台 畅所欲言 （总结+反思=提高）六、数学日记课题______________日期_____________通过本节课的学习,我掌握了_____________最满意的是_________________________需再努力的是______________________我准备这样解决它___________________七、作业：配套练习
板书设计 11.5几何证明举例三1、等腰三角形的判定定理：2、等呀三角形的性质定理 3、等边三角形的性质定理与判定定理
教学反思
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