数学中考压轴题精选及答案
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连云港市2010年
1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．
宿迁市2010
2.已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为．
（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点．求证：四边形是等腰梯形；
（3）问Q抛物线上是否存在点，使得△OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2010年无锡市
3.如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个
侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如
图2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴
（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部
包贴满．
（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
2010年江苏省扬州市
4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
2010年苏州市
5.如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是
否总成立 请说明理由．
大连市2010
6.如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC
（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）
2010年青岛市
7.已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
解：（1）
（2）
（3）
2010年烟台市
8.如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
2010年上海市
9.如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
眉山市2010
10.如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
参考答案
连云港市2010年
1.解：（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
因为直线AB的函数关系式是y=-x+2，所以易得A（2，0），B（0，2）
所以AO=BO=2
又因为∠AOB=90°，所以∠DAO=45°（1分）
因为C（-2，-2），所以CG=OG=2
所以∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）
所以∠ODA=90°，
所以OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）
（2）要使△POA为等腰三角形
1 当OP=OA时，此时点P与点B重合，所以点P坐标为（0，2）；
2 当PO=PA时，由∠OAB=450，所以点P恰好是AB的中点，所以点P坐标为（1，1）；
3 当AP=AO时，则AP=2，过点P作PH⊥OA交于点H，在Rt△APH中，易得PH=AH= ，所以OH=2- ，所以点坐标为（2- ， ）（7分）
（3）当直线PO与⊙O相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK
由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=2 ，
又因为⊙C的半径为 ，所以∠COK=30°，
所以∠POD=30°，又∠AOD=45°，所以∠POA=75°
同理可求出∠POA的另一个值为15°
所以∠POA等于75°或15°（10分）
因为M为EF的中点，所以CM⊥EF
又因为∠COM=∠POD．CO⊥AB
所以△COM∽△POD
所以 = ，即MO PO=CO DO
因为PO=t，MO=s，CO=2 ，DO= ，所以st=4．
当PO过圆心C时，MO=CO=2 ，PO=DO= ，即MO PO=4，也满足st=4．所以s= ．（ ）．
宿迁市2010年
2.（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2 ………………3分
(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形 ………………5分
在和中，
OD= ，BE=
∴OD= BE
∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分
(3) 存在， ………………8分
由题意得： ………………9分
设点Q坐标为（x，y），
由题意得：=
∴
当y=1时，即，∴ ， ，
∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) ………………11分
当y=-1时，即， ∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）
使得=． ………………12分
无锡市2010年
3.（1）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30
∵纸带宽为15，∴sin∠DAB=sin∠ABM=,∴∠DAB=30°．
（2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，
将图甲种的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的平行四边形ABCD，
此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD
由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×，
∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+=cm．
2010年江苏扬州市
4. 解：（1）因为AC=3，BC=4，
所以AB=5
因为AC· BC=AB· CD
所以CD=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理知AD=
（2）①当0＜x≤时，
因为EF∥CD，
所以△AEF∽△ADC
所以=
即EF=x
所以y= ·x·x=x2
当＜x＜5时,
易得△BEF∽△BDC,同理可求得EF=(5—x)
所以, y= ·x·(5—x)=—x2+x
②当0＜x≤时，y随时x的增大而增大，y=x2≤
即当0＜x≤时，y的最大值为
当＜x＜5时，y=—x2+=-（x—）2+
因为—＜0，
所以，当x=时，y的最大值为
因为＜，
所以，当x=时，y取最大值为
（3）假设存在
当0＜x≤5时，AF=6—x，
所以，0＜6—x＜3，
所以，3＜x＜6
所以，3＜x≤5。
作FG⊥AB于点G
由△AFG∽△ACD，可得，
=
所以，FG=（6—x）
所以，S△AEF=·x·(6—x)= —x2+x
所以—x2+x=3，即2 x2-12x+15=0
解之得x1= x2=
因为3＜x≤5，
所以，x1=符合题意
因为x2=＜3
所以x2不合题意，应舍去。
所以存在这样的直线EF，此时x=
2010年苏州市
5.
大连市2010年
6.
2010年青岛市
7.解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知：CE = t，BP =2 t，
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .
则AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
（2）过P作，交BE于M，
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴ . ∴PM = .
∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE =－= －
= = .
∵，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y最小=.
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作，交AC于N，
∴.
∵，∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ . ∴ .
∵ ∴
解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分
2010年烟台市
2010年上海市
9.（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°
∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP
∴∠EPC＝30°
∴三角形BDP为等腰三角形
∵△AEP与△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在RT△ECP中，EC=EP=
（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x
∵AE=1,EC=2
∴QC=3-a
∵∠ACB＝90°
∴△ADQ与△ABC相似
∴
即，∴
∵在RT△ADQ中
∵
∴
解之得x=4，即BC=4
过点C作CF//DP
∴△ADE与△AFC相似，
∴，即AF=AC，即DF=EC=2,
∴BF=DF=2
∵△BFC与△BDP相似
∴，即：BC=CP=4
∴tan∠BPD=
(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a
∴且
∴
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：
即：，解之得
∵△ADQ与△ABC相似
∴
∴
∴三角形ABC的周长
即：，其中x>0
2010年眉山市
10. 解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1分）
∴
∴ ……………………………………………………………（3分）
∴所求函数关系式为： …………（4分）
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分）
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）
当时，
当时，
∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）
（3）设直线CD对应的函数关系式为，则
解得：．
∴ ………（9分）
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t．
则， ，……………………（10分）
∴
∵， ∴当时，，
此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）
AD
BAD
x
P
O
·
·
CFEBAD
y
图1
图2
图3
A
B
C
D
A
B
C
D
备用图
O
C
A
B
D
x
图17
A
D
B
C
F
（
E
）
图（1）
A
D
B
C
F
E
图（2）
P
Q
A
B
C
图（3）
E
F
Q1
Q3
Q2
图甲
图乙
图（2）
Q
A
D
B
C
F
E
P
M
C
E
A
D
B
F
图（3）
P
Q
N
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连云港市2010年
1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO＝t，MO＝s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．
宿迁市2010
2.已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为．
（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点．求证：四边形是等腰梯形；
（3）问Q抛物线上是否存在点，使得△OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2010年无锡市
3.如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个
侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如
图2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴
（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部
包贴满．
（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
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4.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
2010年苏州市
5.如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是
否总成立 请说明理由．
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6.如图17，抛物线F：与轴相交于点C，直线经过点C且平行于轴，将向上平移t个单位得到直线，设与抛物线F的交点为C、D，与抛物线F的交点为A、B，连接AC、BC
（1）当，，，时，探究△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A关于轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）
2010年青岛市
7.已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
解：（1）
（2）
（3）
2010年烟台市
8.如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
2010年上海市
9.如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；
（3）若，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
眉山市2010
10.如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．
参考答案
连云港市2010年
1.解：（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
因为直线AB的函数关系式是y=-x+2，所以易得A（2，0），B（0，2）
所以AO=BO=2
又因为∠AOB=90°，所以∠DAO=45°（1分）
因为C（-2，-2），所以CG=OG=2
所以∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）
所以∠ODA=90°，
所以OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）
（2）要使△POA为等腰三角形
1 当OP=OA时，此时点P与点B重合，所以点P坐标为（0，2）；
2 当PO=PA时，由∠OAB=450，所以点P恰好是AB的中点，所以点P坐标为（1，1）；
3 当AP=AO时，则AP=2，过点P作PH⊥OA交于点H，在Rt△APH中，易得PH=AH= ，所以OH=2- ，所以点坐标为（2- ， ）（7分）
（3）当直线PO与⊙O相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK
由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=2 ，
又因为⊙C的半径为 ，所以∠COK=30°，
所以∠POD=30°，又∠AOD=45°，所以∠POA=75°
同理可求出∠POA的另一个值为15°
所以∠POA等于75°或15°（10分）
因为M为EF的中点，所以CM⊥EF
又因为∠COM=∠POD．CO⊥AB
所以△COM∽△POD
所以 = ，即MO PO=CO DO
因为PO=t，MO=s，CO=2 ，DO= ，所以st=4．
当PO过圆心C时，MO=CO=2 ，PO=DO= ，即MO PO=4，也满足st=4．所以s= ．（ ）．
宿迁市2010年
2.（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2 ………………3分
(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形 ………………5分
在和中，
OD= ，BE=
∴OD= BE
∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分
(3) 存在， ………………8分
由题意得： ………………9分
设点Q坐标为（x，y），
由题意得：=
∴
当y=1时，即，∴ ， ，
∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) ………………11分
当y=-1时，即， ∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）
使得=． ………………12分
无锡市2010年
3.（1）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30
∵纸带宽为15，∴sin∠DAB=sin∠ABM=,∴∠DAB=30°．
（2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，
将图甲种的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的平行四边形ABCD，
此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD
由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×，
∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+=cm．
2010年江苏扬州市
4. 解：（1）因为AC=3，BC=4，
所以AB=5
因为AC· BC=AB· CD
所以CD=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理知AD=
（2）①当0＜x≤时，
因为EF∥CD，
所以△AEF∽△ADC
所以=
即EF=x
所以y= ·x·x=x2
当＜x＜5时,
易得△BEF∽△BDC,同理可求得EF=(5—x)
所以, y= ·x·(5—x)=—x2+x
②当0＜x≤时，y随时x的增大而增大，y=x2≤
即当0＜x≤时，y的最大值为
当＜x＜5时，y=—x2+=-（x—）2+
因为—＜0，
所以，当x=时，y的最大值为
因为＜，
所以，当x=时，y取最大值为
（3）假设存在
当0＜x≤5时，AF=6—x，
所以，0＜6—x＜3，
所以，3＜x＜6
所以，3＜x≤5。
作FG⊥AB于点G
由△AFG∽△ACD，可得，
=
所以，FG=（6—x）
所以，S△AEF=·x·(6—x)= —x2+x
所以—x2+x=3，即2 x2-12x+15=0
解之得x1= x2=
因为3＜x≤5，
所以，x1=符合题意
因为x2=＜3
所以x2不合题意，应舍去。
所以存在这样的直线EF，此时x=
2010年苏州市
5.
大连市2010年
6.
2010年青岛市
7.解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知：CE = t，BP =2 t，
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .
则AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分
（2）过P作，交BE于M，
∴.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，，
∴ . ∴PM = .
∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE =－= －
= = .
∵，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y最小=.
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作，交AC于N，
∴.
∵，∴△PAN ∽△BAC.
∴.
∴.
∴，.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－() = ．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴ . ∴ .
∵ ∴
解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上. 12分
2010年烟台市
2010年上海市
9.（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°
∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP
∴∠EPC＝30°
∴三角形BDP为等腰三角形
∵△AEP与△BDP相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°
∴AE=EP=1
∴在RT△ECP中，EC=EP=
（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x
∵AE=1,EC=2
∴QC=3-a
∵∠ACB＝90°
∴△ADQ与△ABC相似
∴
即，∴
∵在RT△ADQ中
∵
∴
解之得x=4，即BC=4
过点C作CF//DP
∴△ADE与△AFC相似，
∴，即AF=AC，即DF=EC=2,
∴BF=DF=2
∵△BFC与△BDP相似
∴，即：BC=CP=4
∴tan∠BPD=
(3)过D点作DQ⊥AC于点Q，则△DQE与△PCE相似,设AQ=a，则QE=1-a
∴且
∴
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：
即：，解之得
∵△ADQ与△ABC相似
∴
∴
∴三角形ABC的周长
即：，其中x>0
2010年眉山市
10. 解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1分）
∴
∴ ……………………………………………………………（3分）
∴所求函数关系式为： …………（4分）
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分）
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）
当时，
当时，
∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）
（3）设直线CD对应的函数关系式为，则
解得：．
∴ ………（9分）
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t．
则， ，……………………（10分）
∴
∵， ∴当时，，
此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）
AD
BAD
x
P
O
·
·
CFEBAD
y
图1
图2
图3
A
B
C
D
A
B
C
D
备用图
O
C
A
B
D
x
图17
A
D
B
C
F
（
E
）
图（1）
A
D
B
C
F
E
图（2）
P
Q
A
B
C
图（3）
E
F
Q1
Q3
Q2
图甲
图乙
图（2）
Q
A
D
B
C
F
E
P
M
C
E
A
D
B
F
图（3）
P
Q
N
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