数学归纳法习题1
一、解答题(第1小题 7分, 第2小题 10分, 共 17分)
1.
2.
二、
证明题(第1小题 5分, 2-3每题 8分, 共 21分)
1.
2.
3.
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?
数学归纳法习题1答案
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一、解答题
1.
2.
二、证明题
1.
2.
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3.
?
数学归纳法习题2
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一、填空题( 4分 )
求和：1·3＋3·5＋5·7＋……＋(2n?1 )(2n＋1)=________________
二、解答题( 10分 )
已知数列1，9，25，…，(2n-1)2，…，的前n项之和为Sn，
(1)计算S1，S2，S3，S4；
(2)推测Sn的公式，并用数学归纳法证明．
三、证明题(第1小题 7分, 第2小题 8分, 共 15分)
1.
2.
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数学归纳法习题2答案
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一、填空题
1.
二、解答题
1.
三、证明题
1.
2.
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数学归纳法习题3
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一、单选题( 3分 )
某个关于自然数n的命题，如果当n=k(k∈N)时该命题成立，那么可推得n=k+1时该命题也成立． 现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得[ ]
A．当n=6时，该命题不成立
B．当n=4时，该命题不成立
C．当n=6时，该命题成立
D．当n=4时，该命题成立
二、填空题( 5分 )
三、解答题( 8分 )
四、证明题(第1小题 7分, 第2小题 10分, 共 17分)
1.
2. 在数列{an }中，若它的前n项和Sn=1-nan（n∈N）．
（1）计算a1，a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
?
数学归纳法习题3答案
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一、单选题
B
二、填空题
三、解答题
四、证明题
1.
2.
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习题
用数学归纳法证明第1－6题：
1． (n∈N)．
2．．
3．设，n是正整数，
证明：．
4．对任意正整数n，1+33n+1+93n+1能被13整除．
5．求证： (a，b为不等正数，n∈N且n≠1)．
6．求证：xn－nan－1x+(n－1)an能被整除(n≥2且n∈N)．
7．有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成n2－n+2部分．
8．在数列{an}中， (m≠1)，对所有的n∈N都成立．
(1) 求a2，a3，a4，并推测an的表达式；
(2) 用数学归纳法证明你的结论．
9．已知，记f1(x)=f (x)，n≥2时，fn(x)=f [fn－1(x)]．
(1) 求f (2)，f (3)，f (4)的表达式，并推测出fn(x)的表达式；
(2) 用数学归纳法证明你的结论．
10．已知数列{an}中，，通项an及前n项之和Sn满足关系式Sn=n (2n－1)an，试求an及Sn．
答案或提示
1－3题证明略
4．假设n=k时能被13整除，即1+33k+1+93k+1能被13整除，
当n=k+1时．
1+33(k+1)+1+93(k+1)+1=1+33·33k+1+93·93k+1
=93(1+33k+1+93k+1)－(93－33)33k+1－(93－1)
=93(1+33k+1+93k+1)－702·33k+1－728．
由702=13×54，728=13×56，1+33k+1+93k+1都能被13整除，所以n=k+1时结论成立．
5．(1) 当n=2时，左=，右=，
∵ a≠b．∴ ．故不等式成立．
(2) 假设n=k时不等式成立，即，
当n=k+1时，左=，右=．
∵
①
又abk+bak－(ak+1+bk+1)
=a(bk－ak)+b(ak－bk)
=－(a－b)(ak－bk) ②
∵ a>0，b>0，k是正数．
∴ a－b与ak－bk必同号．
∴ (a－b)(ak－bk)>0，
由②知，abk+bak
代入①得，．
即n=k+1时不等式仍成立．
6．假设n=k时，xk－kak－1x+(k－1)ak能被(x－a)2整除，得简式Q，
即xk－kak－1x+(k－1)ak=(x－a)2又．
则当n=k+1时，利用竖式除法，故
xk+1－(k+1)akx+ka k+1
=x[xk－kak－1x+(k－1)ak]+ka k+1(x－a)2
=x(x－a)2Q+ka k－1(x－a)2，能被(x－a)2整除．
7．假设n=k时命题成立，即k个圆将平面分成k2－k+2，
则当n=k+1时，所增加的一个圆与前面的k个圆有2k个交点，这些交点将圆周分成2k段弧，而每一段弧将所在平面一分为二．因此，增加一个圆，这时增加2k部分．即
k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2部分．
8．由，
∴ ，求得：
，，，
猜想，证明略．
9．由，记f1(x)=f (x)， fn(x)=f [fn－1(x)]．
．
∴ ，依次可求出
，．
猜想，证明略．
10．由，Sn=n(2n－1)an，得a1+a2=2·3·a2．
将代入，得，同样求得，．
猜想，证明略．
由Sn=n(2n－1)an，得．
数学归纳法习题
(一)选择题
在验证n=1成立时，左边所得的项为?????? [ ]
A．1???????????????????????????????????????????? B．1+a
C．1+a+a2???????????????????????????????????? D．1+a+a2+a3
2．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…(2n-1)(n∈N)时，从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是?????????????????[ ]
(二)填空题
1．用数学归纳法证明等式1+ 2+ 3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n=1左边所得的项是______；从“k→k+1”需增添的项是______．
2．用数学归纳法证明当n∈N时1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时，当n=1时原式为______，从k→k+1时需增添的项是______．
(三)解答题
2．用数学归纳法证明：自然数m，n对任何的3≤m≤n均有
差数列．
3．求证：当n为正奇数时7n+1能被8整除．
自然数n，f(n)＞n．
a3，a4，并推测出{an}的通项公式，用数学归纳法加以证明．
求a2，a3，a4，并推测an的表达式，用数学归纳法证明所得结论．
数学归纳法综合能力测试题(参考答案)
(一)选择题? 1．C? 2．D
(二)填空题? 1．1+2+3，(2k+2)+(2k+3)；
2．1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4．
(三)解答题
成立．
时，多了一个顶点，该顶点与原k边形中的(k-2)个顶点可连成(k-2)条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故(k+1)边形比k边形增多了(k-1)条对角线
说明? 本题也可用排列组合的方法证明
4(a1-a2)(a2-a3)=(a1-a3)2
即? (a1+a3-2a2)2=0? ∴a1+a3=2a2?? ∴命题成立；
②假设n=k(k≥3)时命题成立，即对于任何
a1，a2，…，an成等差数列
则当n=k+1时，由归纳假设a1，a2，…，ak成等差数列，设公差为d
令? ak+1-ak=m
去分母化简得? m2+d2-2dm=0
于是m=d? 即ak+1-ak=d
∴a1，a2，a3，…，ak，ak+1成等差数列
故对任何n∈N命题成立．
3．(1)n=1时，71+1=8能被8整除；
(2)假设n=k(k为正奇数)时7k+1能被8整除(设7k+1=8M，M∈N)
则当n=k+1时
7k+2+1=72·7k+72-72+1=72(7k+1)-48
=49×8m-8×6=8(49M-6)
∵49M-6∈N? ∴命题成立．
4．(1)当n=2时，
(2)假设n=k(k≥2)不等式成立
因此??????????????????????????? f(k+1)＞ f(k)+1＞ k+1．
(2)假设n=k时，不等式成立
∴? n=k+1时不等式亦成立
由(1)、(2)可知对一切n∈N不等式都成立．
证明(1)当n=1时，等式成立；
证明略
