教学素材/复数
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复数的加法
复数的加法可用代数法，也可用几何法．
复数加法的代数法按照以下法则进行：
设z1＝a＋bi, z2＝c＋di,(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的和为：
(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
这就是说z1, z2的和仍然是复数，它以(a＋c)为实部，(b＋d)为虚部．不难验证，这样规定的加法法则满足加法交换律、结合律，即对任何z1, z2, z3都有：
（1）z1＋z2＝z2＋z1
（2）(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
复数加法的几何法可以按照向量加法法则进行．
设z1＝a＋bi, z2＝c＋di,(a,b,c, d∈R)为任意两个复数，可先画出与这两个复数对应的向量和，如,不在同一直线上，再以这两个向量为两条邻边画平行四边形OZ1ZZ2（如图），那么，平行四边形的对角线对应的复数，就是所要求的两上复数z1与z2的和．如果,在同一直线上，可以画一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示、的和，即＝＋教学素材/复数的加法与减法
教学素材/复数的加法与减法
复数的减法教学内容与教学目标
1．复数减法的减法法则（代数形式的减法法则与几何形式的减法法则及二者的统一）．
2．理解并掌握复数的减法法则，并能熟练、准确地应用法则进行计算．
3．理解复数减法的几何意义及复平面上两点间距离的复数公式，并能应用其写出基本曲线的复数方程．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
共轭虚数
虚部不等于0的两个共轭复数叫做互为共轭虚数．
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教学素材/复数
复数的除法
复数除法是乘法的逆运算，即规定把满足：（c＋di）(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi，叫做复数a＋bi除以c＋di的商．记作(a＋bi)÷(c＋di)或．
也就是说，欲求两复数的商，可先把商写成分式，然后利用z·＝把分母“实数化”，并且把实部和虚部分开写即可，这就是复数除法的代数法．
复数除法的三角法：
设z1＝r1(cos1＋isin1), z2＝r2(cos2＋isin2)(r2≠0)
则＝
＝(cos1＋isin1)(cos2＋isin2)
＝[cos(1－2)＋isin(1－2)]
即＝[cos(1－2)＋isin(1－2)]
两个复数相除，商的模等于被除数与除数模的商，商的辐角等于被除数与除数的辐角的差．
复数除法的几何意义：
设z1＝r1(cos1＋isin1), z2＝r2(cos2＋isin2)( z2≠0)
在复平面上先作出z1所对应的向量，然后把向量按顺时针方向绕原点旋转一个角2（若2<0则按逆时针旋转，并把它的模变为原来的倍，所得向量就表示商）．这就是复数除法的几何意义．
根据复数除法的几何意义可得：
（1）复数z，，所对应的向量的位置关系：设z＝r(cos＋isin)则=[cos（－）＋isin（－）]，＝r[cos(－)＋isin(－)]，故与的辐角相同，即与所表示的向量终点与原点O在一直线上，且当r>1时>；当0（2）两个复数z1，z2所对应的向量的充要条件是＝ki(k∈R,且k≠0)．或可表示为：若z1≠0,z2≠0,则的充要条件是Re（z1·）＝0．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数的相关概念
虚数单位
i叫做虚数单位，并规定：
(1)它的平方等于 1，即i2 1；
(2)i可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加，乘运算律仍然成立．
复数的相等
如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等，这两个复数相等，记为a+bi=c+di即
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复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么就说这两个复数相等，这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么
a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d
a＋bi＝0a＝0，b＝0．
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教学素材/复数的加法与减法
复数的加法与减法设计思想
复数是二元数系（有实部和虚部），复数又有代数形式和几何表示（复平面上的向量），复数的运算法则必然也是统一于一个整体的二元法则．选择题3
若z1，z2∈C，且，则是（ ）
(A) 非纯虚数 (B) 纯虚数
(C) 实数 (D) 1
答案：C
分析：
．教学素材/复数
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复数的减法
复数的减法是加法的逆运算，即把满足：(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi，叫做复数a＋bi减去复数c＋di的差．其法则为：
(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
由此可见，两个复数的差是一个唯一确定的复数．
因此对于复数z1, z2只要先作出z1, z2对应的向量和，再连结这两个向量的终点并指向被减数的向量即对应于复数z1－z2的差．这就是复数减法的几何法．
由复数减法的几何意义可得复平面上两点Z1、Z2之间的距离公式：d＝教学素材/复数的三角形式
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复数的乘方
复数z的n次幂，其模等于z的模的n次幂，其辐角等于z的辐角的n倍．
即[r(cos＋isin)]n＝rn(cos＋isin)(n∈Z)
这就是著名的棣莫佛定理．
注意：应用此定理进行复数乘方比较简便，但必须先把z化成三角形式．选择题5
如果复数z满足│z+i│+│z－i│=2，那么│z+i+1│的最小值是（ ）
(A) 1 (B) (C) 2 (D)
答案：A教学素材/复数的加法与减法
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复数的加减法小结或总结
1．复数的加（减）法可记为：z1 ± z2 = (a + bi )±(c + di ) = (a±c ) + (b±d ) i．
复数的加（减）法与多项式的加（减）法（合并同类项）是类似的，就是把复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）．
2．两个复数之差的模——复平面上两点间的距离公式必须在理解的基础记忆并会使用．复数的乘法和除法
复数的乘法（乘方）
复数的除法
两个复数z1,z2的模,辐角分别为1,r2,01,82且2≠0,先画出这两个复
数对应的向量O1,OZ2,若8220把向量Oz1按顺时针方向旋转一个角2
若O2<0把向量Z按逆时针方向旋转一个角2,再把可的模变为原来的
1倍,所得的向量O对应的复数即为两个复数2,z2的商即2,如图
求%选择题3
方程的解集在复平面上的图形是（ ）
(A) 孤立的点 (B) 单位圆
(C) 直线 (D) 原点和单位圆
答案：D
分析：
解方程及及．解答题1
已知：复数，求的值．
答案：
．教学素材/复数的加法与减法
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复数的加减法知识讲解
1．复数减法是加法的逆运算．
复数z1= a + bi，z2 = c + di（a、b、c、d∈R），其复数z = x + yi（x、y∈R）
( c + di ) + (x + yi ) = a + bi
则复数x + yi叫做复数a + bi减去复数c + di的差．记作：x + yi = (a + bi )－(c + di )
∵
∴ x + yi = (a－c )－(b－d ) i
法则：两个复数的差仍是一个复数，差的实部是被减数的实部与减数实部的差；差的虚部是被减数虚部与减数虚部的差．
（必须给出语言叙述，这不但对学生理解后面的法则有好处，而且对于理解几何应用的原理，建立数形结合思维有好处）．
2．复数对应着复平面上的向量，复数加法对应着复平面上向量的平行四边形法则，复数减法是加法的逆运算，必也对应着向量的平行四边形法则．
z1 = a + bi → Z1 (a，b) →
z2 = c + di → Z2 (c，d) →
z1－z2 = (a + bi )－(c + di ) = (a－c ) + (b－d ) i
↓ ↓ ↓
－ =
∵ = +
如图，以向量为一条对角线，向量为一边作 OZ2Z1Z，则向量+=
即 = －
∴ 与复数(a－c ) + (b－d ) i对应．
∵ Z2Z1 = OZ，则 =
∴ 向量也与差(a－c )+(b－d ) i对应．
3．两个复数的差Z1－Z2与连接两个复数对应的复平面上两点并指向被减数的向量对应．这就是复数减法的几何意义．
4．两个复数之差的模（对应向量的长）的几何意义是：这两个复数所对应的复平面上两点间的距离．
即 | z1－z2 | = | (a－c ) + (b－d ) i |
(1)b是z的虚部吗？
(2)共轭复数与共轭虚数有什么区别？
注意：| z1 + z2 | 的几何意义，将其处理为 | z1－(－z2) | 来回答更为简便也更为实用．如．
| z + (3－2i )| = | z－(－3+2i )| 是复平面上z所对应的点与（－3，2）点间的距离．等于．
| z1 + z2 | 处理成| z1－(－z2) | 得到几何定义更方便，这正是Z1 (a，b)，Z2 (c，d)两点间的距离公式．
5．复数的加、减法可记为：
(a + bi )±(c + di ) = (a±c ) + (b±d ) i这与多项式加法中的合并同类项非常类似，而复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）．
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选择题2
已知二项式 （a∈R，n∈N）的展开式中，第四项与第六项的系数互为共轭复数，则展开式中系数为正实数的项共有（ ）
(A) 3项 (B) 4项 (C) 5项 (D) 6项
答案：A
分析：
＝－，n＝8，
系数为正实数 k＝0，4，8
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复数引申与提高
复数的证明题与其它代数证明一样是计算化的推理．
例：证明“自共轭的复数一定是实数” ．
证明：设复数z = a + bi（a、b∈R）．
∴
∵ 2b = 0 b = 0
∴ z = a∈R．
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复数的加法与减法引申与提高
初见运算宜于扣紧法则，力求掌握并能熟练应用，可以用特例或逆向问题来检测学生对概念与法则理解的深度和水平．如：
例1．用几何方法计算 ( 3 + 2i ) + ( 3 + 2i ) ．
例2．若O是坐标原点， OABC中，已知A、C两点的坐标分别是（4，2）与
（－3，1）．求B点的坐标．选择题1
若集合，，，则（ ）
(A) P = Q (B)
(C) (D)
答案：A
分析：
考虑两个集合的几何意义．教学素材/复数的加法与减法
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测试题
1．两个共轭复数之和是 （ ）
(A) 零 (B) 实数 (C) 纯虚数 (D) 虚数
2．z1 = 2－i，z2 = －4i，m = | z1 + z2 |，，则m与n的关系是 （ ）
(A) m > n (B) m = n
(C) m < n (D) 以上三种情况都不正确
3．z1、z2是两个非零复数，若，，则m与n的关系是 （ ）
(A) m > n (B) m < n
(C) m = n (D) m与n不是以上的关系
4．复数z0对应着复平面上的向量（如右图），若复数z = z0 + 3 + 4i，在图上画出复数z所对应的向量．
5．若=+在坐标系中，作出向量．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数的概念习题1
一、判断题每道小题1分共4分
1.
2. 复平面上虚轴的长度单位是i ( )
3. 若a∈C，则a2≥0 ( )
4. 原点是实轴和虚轴的交点 ( )
二、单选题(1-13每题3分, 第14小题4分, 共43分)
1. 若x，y∈R，全集I={复数}，M={x}，N={yi}，则[ ]
2. 如果(2x y)+(x+3)i=0(x，y∈R)则x+y的值是[ ]
3.
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4. a∈R，复数4 3a a2i与a2+4ai相等，则a的值是 [ ]
A．a=1 B．a=1或 4 C．a= 4 D．a=0或 4
5.
6.
7. 在复平面内对应于复数a bi和 a bi(a，b∈R)的两点的关系是 [ ]
A．关于虚轴对称 B．关于实轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称
8.
9.
[ ]
10. m∈R，复数z=(m 2)(m+5)+(m 2)(m 5)i，则z为纯虚数的充要条件是m的值为 [ ]
A.2或 5 B. 5 C.2或5 D.5
11. 如果z1=(2m2 5)+(m 3)i，z2=(m2 2m+3)+(m2 9) i (m∈R)且z1与z2共轭，则m的值是[ ]
A．2 B．3 C．4 D． 4
12. 在复平面内，复数z=(x2 x 30)+(x2+x 12)i (x∈R)对应的点位于第二象限，则x的取值集合是 [ ]
A．( 5，+6) B．( 4，3) C．Φ D．( 5， 4)∪(3，6)
13. 已知a，b∈R，z1=(a+2b)+(2ab+3a2)i与z2=(b+3)+(a2 ab)i互为共轭虚
数，复数z=a+bi所对应的点位于 [ ]
A．虚轴上或第一象限 B．第二象限
C．虚轴上或第二象限 D．第三象限
三、填空题( 2分 )
四、解答题( 5分 )
已知复数z=(m2+8m+15)+(m2 5m 14)i所对应的点不在虚轴的右侧，求实数m的取值范围．
复数的概念习题1答案
一、判断题
1. ×
2. ×
3. ×
4. ×
二、单选题
1. B
2. D
3. D
4. C
5. C
6. D
7. A
8. D
9. C
10. B
11. D
12. D
13. B
三、填空题
1. 5
四、解答题
1. 5≤m≤ 3
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复数的模
复数所对应的向量的模，就叫这个复数的模，即复数所对应的点到原点的距离．复数的模又叫复数的绝对值，记作，易知＝
复数的模有以下性质：
（1）≤≤＋；
（2）＝·…，＝
（3）＝（z2≠0）
（4）＋＝2＋2
性质（1）常用来求复数模的最值；性质（2）（3）常用来求模的运算中，使计算简便．
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复数的概念习题3
一、判断题每道小题1分共4分)
1. 若a∈C，则a2≥0 ( )
2. 原点是实轴和虚轴的交点 ( )
3. 复数z=3+i对应复平面上点M(3，i) ( )
4.
二、单选题(1-9每题3分, 10-13每题4分, 共43分)
1.
2. a=0是“复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的 [ ]
A.必要非充分条件 B.充分非必要条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
3. 设全集I={复数}，集合R={实数}，M={纯虚数}，则下列各式中正确的是[ ]
4. 若复数(m2+2m 3)+(m2 m 2)i(其中m∈R)所对应的点位于第二象限，则m的取值区间是[ ]
A．( 1，1) B．( 3，1) C．( 3， 1) D．( 1，2)
5. 下列命题：(1)i是 1的一个平方根；(2) i是一个负数；(3)如果
a+bi=3 4i(a，b∈C)，则a=3，b= 4；(4)一个复数为实数的充要
条件是它的共轭复数就是它本身，其中正确命题的个数是[ ]
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 如果3 m 5，那么复数(m2 3m 10)+(3 m)i所对应的点位于 [ ]
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7.
8. 复数a+bi(a，b∈R)为纯虚数是a=0的[ ]
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
9. 复数z1=(1 y)+2xi与z2=x 8i是共轭复数，则实数x，y的取值应是 [ ]
A．x= 2， y=3 B．x=2， y= 3
C．x= 2， y= 3 D．x=3， y= 2
10. 如果虚数( x2+x+6)+(lgx)i的实部为正数，则x的取值区间是 [ ]
A．( 2，3) B．(0，3) C．(0，1) D．(0，1)∪(1，3)
11.
A．实轴上 B．第二象限 C．虚轴上 D．第四象限
12. 复数(9x 3x 2)+(lgx)i所对应的点位于复平面内虚轴的左半平面，则实数x的取值区间是[ ]
A．( 1，2) B．(0，2) C．( ∞，2) D．(0，log32)
三、填空题(1-8每题2分, 第9小题4分, 共20分)
1. 如果x，y∈R且(2x 5y)+(9y+1)i=2+i则x=______， y=_____．
2. 复数y+(y2 y 2)i(y∈R)，当y_______时为虚数，当y_______时为实数．
3. 如果z=a+bi(a，b∈R)且0≤a≤2， 1≤b≤2，则在复平面内z所对应的点构成图形的面积是________．
4. 点A是复数2 5i对应的点，则A点关于原点的对称点对应的复数是______；点A关于y轴的对称点对应的复数是__________．
5. _______叫做虚数单位，i2=_______．
6. 若复数(m 4)+(3 m)i对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是_________．
7. 设A={实数}，B={复数}，则A∩B=_______；A∪B=_______．
8. 若复数(3m2+2m)+(m+1)2i与复数(m2+m+3)+(m2 6m+1)i共轭，则实数m的值是__________．
9.
四、解答题第1小题5分, 第2小题7分, 共12分)
1. 当实数m取什么值时，复数(2m2+3m 1)+(m2 5m 8)i的
(1)实部等于1
(2)虚部等于 2
(3)实部与虚部的和是 8m
2. 已知复数z1=(x+y 4)+(x2 xy 2y)i，z2=(2x y 2) (y xy) i (x，y∈R))
(1)当x和y取什么值时，z1，z2都是实数
(2)当x和y取什么值时，z1和z2都是纯虚数
(3)当x和y取什么值时，z1和z2互为共轭复数
五、证明题( 5分)
复数的概念习题3答案
一、判断题
1. ×
2. ×
3. ×
4. ×
二、单选题
1. B
2. A
3. D
4. C
5. C
6. C
7. C
8. A
9. D
10. D
11. B
12. D
三、填空题
1. 1，0
2. y≠2且y≠ 1； y=2或y= 1
3. 6
4. 2+5i； 2 5i
5. i， 1
6. 3 m 4
7. A； B
8. 1
9. 0； x≥3或 1 x 0
四、解答题
1.
2.
五、证明题
1.
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教学素材/复数的加法与减法
测试题
1．z是复数，则是 （ ）
(A) 纯虚数 (B) 零
(C) 虚数 (D) 以上答案都不正确
2．判断正误：
(1) 两个复数的和是实数则这两个复数互为共轭复数． （ ）
(2) 两个复数的差是纯虚数则这两个复数互为共轭复数． （ ）
3．－3i + (3－i )－(2i－1) = __________________．
4．方程| 2z－(2 + 4i )| =1的曲线是_________．
答 案
1．D； 2．×，×； 3．4－6i； 4．圆．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数的向量运算习题1
一、判断题( 1分 )
z∈C，│z│=4，则z=±4( )
二、单选题每道小题 3分共 27分 )
1. 模等于4的纯虚数在复平面上的点集是[ ]
A．以原点为圆心，以2为半径的圆
B．以原点为圆心，以4为半径的圆
C．(0，2)和(0， 2)两点构成的集合
D．(0，4)和(0， 4)两点构成的集合
2. 设复数z1=a+2i，z2= 2+i，且│z1│ │z2│，则实数a的取值范围是
[ ]
A．a 0 B．a 1
C． 1 a 1 D．a 1或a 1
3. 不等式│(x+1)+(x-1)i│≤10(其中x∈R)的解集是[ ]
A．[ 10，10] B．[ 7，7]
C．[0，10] D．[0，7]
4.
5.
A．5 B．6 C．7 D．8
6.
A．4 B．16π
C．4π D．20π
7.
[ ]
8. 已知a∈R，z1=(2a+5)+a2i，z2=(a2 10)+(4a+5)i，又z1=z2，且z=a+2i，则
9. 已知复数z=acos +(bsin )i(0 a b)， ∈R，则│z│的取值区间是
[ ]
A．(a2，b2) B．[a2，b2]
C．(a，b) D．[a，b]
三、填空题( 2分 )
已知复数z的模为2，虚部为 1，它在复平面上的对应点位于第三象限，则z的共轭复数是_____________．
复数的向量运算习题1答案
一、判断题
1. ×
二、单选题
1. D
2. C
3. B
4. B
5. C
6. D
7. D
8. D
9. D
三、填空题
1.
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1
4
1
0
0
略解：
5
2、
0
3、
略解：
1
-1
3
4、
略解：
0
1
2
5、
0
-1
略解：
6、
略解：
0
0
-1
1
略解：
7、
(z 1)
略解：
0
-3
3
8、
演示
作业：解答题3
已知复数z满足，且在复平面上对应的点在第一象限，求复数。
解：设
则，本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数例题讲解
复数一章的教学必须抓住其本质特征：虚数引入后产生了—— 二元数—— 复数，所有的基本概念，必须从两个方面交代：复数——复平面上的点—— 向量之间的对应；使复数概念都有对应的几何意义，数形结合是复数章节知识的另一个重要特征．
例．说出下列各个复数的实部和虚部，并在复平面上标出它所对应的点：
1+i, 3i – 2 , 5 , －4i , 4 – 3i , 4 + 3i , 5 + 2i , 5 – 2i ,.
学生点出各点后，据图提问以下问题：
(1)什么样的复数所对应的点在实轴上？什么样的复数所对应的点在虚轴上？实轴上所有的点都对应的是实数吗？虚轴上的点都对应的是虚数吗？
(实数所对应的点在实轴上．纯虚数所对应的点在虚轴上．实轴上所有的点对应的都是实数．虚轴上的点对应的都是纯虚数．)
(2)复数3i – 2所对应的点是(3，－2)吗，为什么？
(复数3i – 2所对应的点不是(3，－2)．因为复数对应的是有序的实数对—— (实部， 虚部)，其对应的点的坐标应是(－2，3)．
(3)复数1 + i所对应的复平面上的点在坐标系中的什么样的射线上？
(复数1 + i所对应的复平面上的点是( 1 ， 1 )，此点在第一象限的角的平分线上．)
(4)复数4 – 3i，4 + 3i所对应的复平面上的两点有什么关系？
(此二复数所对应的两点关于实轴对称．(要解释轴对称的几何意义))
说明：作图、识图、用图，是学生数学能力的重要方面之一．图形的几何性质分析，是培养学生数学分析能力的一个重要环节，必须抓住一切可能的机会，有意识地引导学生进行这方面的操作和分析，长期坚持、潜移默化，才能达到提高数学能力的目的．
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正确理解和运用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|
高中代数中有一个关于非零复数z1，z2的不等式：
设z1，z2是不等于零的复数，用几何方法证明
||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2| (*)
此题的证明并不困难，而是难在正确理解和灵活运用．关于对此不等式的理解，要注意以下几个方面，今举例说明之．
解 因为y=|2x+5|+|4-2x|≥|2x+5+4-2x|=9，其中等号当且仅当(2x+5)(4-2x)≥0成
解 依题意可知对任意的x∈R均有|x－3|＋|x－2|≥a．因为|x－3|＋|2－x|≥|x－3－x＋2| = 1，右边的不等式成立的条件是x∈R，a≤1．
例3 求函数极值
错解(1) 原式可化为
设z1 = 1＋6i，z2 = 3＋2i，z = x，
则 |z1－z2| = |(z－z2)－(z－z1)|≤|z－z2|＋|z－z1|，
异向，这不可能．
正解(1) 设z1 = 1＋6i，z2 = 3－2i，z = x
解(2) 设z1 = 1＋6i，z2 = 3＋2i，z = x则原根式可化为
∵Z1(1，6)、Z2(3，2)、Z3(x，0)三点共线，
的x，y值．
的z．
连线交于Z，
∵u = |z＋6|＋|z－3i| = |z－(－6)|＋|3i－z|≥|z－(－6)－(z－3i)|
设 Z(x，y)，由A、Z、B三点共线得
解由(2)、(3)组成的方程组得
例6 若|z| = 1，求u = |z2－z＋2|的极值．
(*)式左边的等号成立．又－1与z对应的向量异向，(*)式的右边等号成立，
∴ u = |z2－z＋2|有极大值4．
设z = cosθ＋isinθ代入u2 = |z2－z＋2|整理得
当cosθ = －1时，u大 = 4；
此另法求极值说明(*)中等式成立可用向量方法求得；当等号不成立时可用其他方法求得极值．
把(1)代入上式得
∵ －1≤cos2θ≤1得
得r2＋r＋1 = 0，方程无实根．
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分析复数概念的若干“误区”
1．复平面上的实轴和虚轴分别为直角坐标系中的横轴与纵轴．
分析 复平面内的原点属于实轴，不属于虚轴，故实轴为直角坐标系中的横轴，而虚轴应为纵轴去掉原点后剩余的部分．
编者按 以上说法正确，应用方便又无大碍，但在教学中不可将主要精力用来钻牛角尖．
分析 对于正实数，定义了分数指数幂．并证明了相应运算法则，对负数和虚数，没有定义分数指数幂．所以，不能把正数分数指数幂的性质硬套到复数上去，否
分析 在复数集C内一般不考虑大小关系．
分析 对于含有虚系数的一元二次方程，判别式不适用，故上述解法是错误的．
也是这个方程的根，由根与系数的关系得：
分析 解题过程中运用了定理“若虚数a＋bi是实系数一元n(n是大于1的自然数)次方程f(x)＝0的根，那么它的共轭虚数a－bi也是这个方程的根．”但这个结论只适用于实系数方程．题中并不知道k的虚实，故不能用这定理．
6．模相等且方向相同的向量，其终点所表示的复数为同一复数．
数显然不等．此处犯错的原因在于“忘记了”只有当向量的起点在原点时，它的
7．已知|z|＝2z＋9i，求复数z．
8．把复数1＋cosα＋isinα化成三角形．
＜2π时，有
1＋cosα＋isinα
解 原式可化为
分析 由复数相等的定义可知，如a，b∈R，那么 a＋bi＝0 得 a＝b＝0，但此题并没有指明x是实数，所以必把x当复数去解方程．
正解 用十字相乘法，得
10．用反正切表示复数 a＋bi(a，b∈R)的幅角θ．
(2)当a＜0且b＞0(或b＜0)时，幅角
的周期π与幅角θ的周期2π混淆不清．
正解 (1)当a≠0时，幅角
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网选择题6
i2n－3+i2n－1+i2n+1+i2n+3的值为 ( )
(A) －2 (B) 0 (C) 2 (D) 4
答案：B教学素材/复数的加法与减法
教学素材/复数的加法与减法
复数的加法与减法教学内容与教学目标
1．复数的加法法则（代数形式的加法法则与几何形式的加法法则及二者的统一）．
2．理解并掌握复数的加法法则，并能应用加法法则，熟练地进行加法计算或作出和向量的图形．复数的乘除习题2
一、判断题(每道小题 1分共 2分 )
1. 若复数z1与z2所对应的点关于原点对称，则z1= z2．( )
2. 如果z2∈R，z∈C，则z在复平面上对应的点在两坐标轴上．( )
二、单选题(每道小题 3分共 24分 )
1.
2.
A．-5 3i B． 5+3i
C．5+3i D．5 3i
3.
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
4. (1+i)8的值是 [ ]
A． 16 B．16 C． 16i D．16i
5. 已知复数z=m2(1+i) m(4+i) 6i所对应的点都在复平面的第二象限，则实数m的取值范围是 [ ]
A．(0，3) B．( 2，0) C．(3，4) D．( ∞， 2)
6.
7.
A．不能比较大小 B．p≤q C．p≥q D．p=q
8.
A．1+2i或4+2i B． 1+2i或 4+2i
C． 1+2i或4+2i D．1 2i或 4 2i
三、填空题(1-9每题 2分, 10-13每题 3分, 14-15每题 4分, 共 38分)
1.
2. (3 2i)÷(2+3i)+9i=______．
3.
4.
5.
6. (3 i)(1+2i)(1 i)=___________．
7. 关于实数x的复系数的方程(1+i)x2 (1 i)x (2+6i)=0的解为_______．
8. i是虚数单位，则(1+i)8 (1 i)8的值是_______．
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. ①．(1+i)3+(1 i)3=___________；
②．(2 i)4 (2+i)4=___________．
四、计算题( 5分 )
五、解答题(1-2每题 5分, 3-4每题 7分, 共 24分)
1. 若x∈R，求方程(1+i)x2+(2+i)x (3+6i)=0的解．
2. 三个互不相等的非零复数 、 、 ，满足 ， ，求 的值．
3.
4.
六、证明题( 7分 )
复数的乘除习题2答案
一、判断题
1. √
2. √
二、单选题
1. A
2. C
3. B
4. B
5. C
6. D
7. B
8. D
三、填空题
1. a=3、b= 5
2. 8i
3.
4. 0
5. 0
6. 10
7. x=2
8. 0
9. 1或0
10. 1
11. C
12.
13. i
14. 当α=1时，为11；
当α≠1时，为1
15. 4， 48i
四、计算题
1. 26 6i
五、解答题
1. x= 3
2. 解：由条件 ， ，?两式相减
( )=( )( ) ∵ ≠0
∴ = + 即 + + =0
3.
4.
六、证明题
1.选择题5
设向量对应复数，把向量按顺时针方向旋转60°得向量，则向量对应的复数是（ ）
(A) (B)
(C)－8i (D)
答案：B
分析：
先求出．选择题6
已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) (D) 3
答案：D本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数例题讲解
例1．(练习1)
如果a、b∈R，在什么情况下，a + bi是实数？是虚数？是纯虚数？各举一些例子．
解：b = 0时，a + bi = a是实数．
b≠0时，a + bi是虚数，如1+2i，3－4i，5i，．
b≠0时a = 0时，a + bi = bi是纯虚数．如5i，，．
例2．同上题，在讲完点与复数对应后，将所问换为P180，练习7的问题．
例3．课本例：
已知 (2x－1) + i = y－(3－y ) i，其中x、y∈R．求x与y．
解：据复数相等的定义，得方程组：
．
这是第一个将复数概念化为计算等式的例题，必须讲透．最后的解是方程组的解，也应联立表示，这点课本写成单列式而没有给出关系（应是“且”关系）是不合适的．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网应用复数的几何意义要注意“几个对应”
1．复平面上的点与复数、向量、模、辐角对应
在实平面中，与一对有序实数对相对应的仅仅是一个确定的点，而在复平面上的一个点所表示的内容就丰富多了，与之相对应的不仅有一个复数的坐标，还有一个复数，一个向量，一个模，一个辐角．它们都与给定的有序实数对相对应．
2．有向线段与复数的差对应
例2 设点Z1，Z2分别对应复数，z1＝1＋i，z2＝3＋2i，
(3)求点Z对应的复数．
解 如图3，
点Z对应的复数为：
(－1＋2i)＋(1＋i)＝3i．
3．夹角与两复数之商对应
O为复平面原点，求证：△AOB是正三角形．
即 |OA|＝|OB| ①
由①、②可得，△AOB为正三角形．
＋isinθ)，θ是三角形的一个内角．
的夹角为θ，由余弦定理有
4．两角和与复数之积对应
设 z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，
z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则有
z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)r2(cosθ2＋isinθ2)
＝r1r1[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
例5 两复数－2＋i，－1－3i的辐角主值分别为α、β，则α＋β等于
[ ]
A．45° B．60°
C．315° D．405°
分析 欲求两辐角主值之和，可转化为先求两复数之积．因为两辐角主值之和就是两个复数乘积的辐角．
解 (－2＋i)(－1－3i)＝5＋5i．
而5＋5i对应点在第一象限，
arg(5＋5i)＝k·360°＋45°，k∈Z，
又 α＝arg(－2＋i)∈(90°，180°)，
β＝arg(－1－3i)∈(180°，270°)，
α＋β∈(270°，450°)，
∴ α＋β＝405°． 故选D．
正因为复数有模、有向量、有辐角，还有灵活多变的表现形式，所以复数本身有巨大功能．复数不但能解决一些代数问题，也能解决三角函数问题，还能解决平面几何、立体几何、解析几何中的一些问题．
例6 用复数证明正弦定理和余弦定理．
证明 如图5所示建立坐标系，将△ABC放在复平面中，使B点与原点重合，
b[cos(π－c)＋isin(π－c)]．
∴ c(cosB＋isinB)－a(cos0＋isin0)＝b(－cosC＋isinC) ①
比较①式两端的实部和虚部可得射影定理和正弦定理的等式：
ccosB－a＝－bcosC，即ccosB＋bcosC＝a，
由①式两端复数模相等可得余弦定理
整理得 b2＝a2＋c2－2accosB．
如果将BA、AC边分别放在x轴上，同理可得正、余弦定理和射影定理的其他等式．
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为什么复数集中不能规定大小关系
假设复数集中存在一个“小于”关系“＜”，也能同时具有实数集中小于关系的四条性质(i)～(iy)(见本书第197页)．不妨考察0与i这两个复数．因为i≠0，由性质(i)，在0＜i与i＜0两个式子中必有一个成立．
如果0＜i成立，由性质(iv)，0·i＜i·i成立，即0＜-1．再由性质(iv)，0·i＜-1·i成立，即0＜-i．由性质(iii)，0+i＜-i+i成立，即i＜0．这与0＜i矛盾．
如果i＜0成立，由性质(iii)，i+(-i)＜0+(-i)成立，即0＜-i．由性质(iv)，0·(-i)＜(-i)·(-i)成立，即0＜-1．再由性质(iv)，0(-i)＜(-1)(-i)成立，即0＜i．这与i＜0矛盾．
由上可知，i与0两者之间不能按实数集性质(i)～(iv)来确定它们之间的大小关系．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网复数的加减运算习题1
一、单选题(1-8每题 3分, 第9小题 4分, 共 28分)
1. 在复平面内，若复数z满足│z+1│=│z-i│，则z所对应的点Z的集合构成的图形是[ ]
A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线
2. 若复数z满足│z+1│2-│z-i│2=1，则z在复平面内表示的图形是[ ]
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
3. 已知复数z在复平面内所对应的点的轨迹是椭圆，那么复数z适合的条件是[ ]
A．│z+3│+│z 3│=4 B．│z+3│+│z 3│=6
C．│z+3│+│z 3│=8 D．│z+3│=│z 3│
4. 由方程2│z│2+3│z│-2=0所确定的复数z在复平面内对应点的轨迹是 [ ]
A．两条直线 B．两个点 C．两个圆 D．一个圆
5.
6.
7. 等差数列各项和(1+i)+(2 i)+(3 3i)+…+(12 21i)是[ ]
A．146 240i B．146+240i
C．78 120i D．78+120i
8. 已知复数z满足│z+1│2+│z+i│2=2，那么复数z在复平面上表示的图形是[ ]
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
9.
二、填空题(每道小题 2分共 6分 )
1. 把曲线的方程x2+y2 2x+2y 7=0改写成复数形式是____________．
2.
3. 如果z1，z2是复数，且│z1│=3，│z2│=4，│z1-z2│=5，那么│z1+z2│的值是_______．
三、解答题三、解答题(1-3每题 5分, 第4小题 7分, 共 22分)
1.
2. 解方程：z∈C
│z│+z=3+2i
3.
4. 设z1、z2∈C，｜z1｜=｜z2｜=1且z1+z2+1=0 ，求｜z1-z2｜．
复数的加减运算习题1答案
一、单选题
1. B
2. A
3. C
4. D
5. B
6. D
7. C
8. B
9. D
二、填空题
1. │z (1 i)│=3
2. 2
3. 5
三、解答题
1.
2.
3. 4 i
4.
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复数概念辨析
1．对虚数单位“i”要理解好．由规定“i2=－1”引出的“i”，并规定与实数进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立，从而形成了形如a+bi (a，b∈R)的复数，这样把数的概念扩充到了复数集，而实数集是它的一个子集．
i的幂有以下性质：，，， (n∈N)．±i是－1的两个平方根，因此任何负数都有两个平方根，这样一元二次方程(实系数)求根的问题就得以解决．i可以和实数一起按运算规律进行四则运算，所以复数“a+bi (a，b∈R)”的四则运算均可以进行．
2．对于复数a+bi (a，b∈R)，首先应知道a，b分别是它的实部和虚部，它们均为实数，而当b=0时，复数a+bi就是实数；b≠0时，复数a+bi就是虚数，所以复数集包含了全体实数和虚数，实数集是复数集的一个真子集．
复数是没有大小的，但可以规定两个复数相等．条件是：若a，b，c，d∈R，则a+bi=c+di的充要条件是a=c且b=d．这一规定在复数运算及推理中都是很重要的依据．
3．对复数的三角形式z=r (cos+isin) (r≥0，r∈R)的辨认应准确．其中r是复数z的模，它是一个非负实数，而rcos，rsin分别为z的实部与虚部，其中“”是复数z的辐角，并规定z的辐角主值是在区间内．复数的三角形式对复数的乘、除、乘方、开方运算会很方便，而且在利用复数的几何意义解题中也有很大作用．
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备课资料/复数的运算
复数的运算教学内容与教学目标
１．教学内容
复数的代数形式下，加、减、乘、除四则运算的法则，及复数加、减法的几何意义；另外结合代数式的乘法公式与复数相等概念，可以进行复数的平方、立方与开平方等运算，
２．教学目的
(1)理解和掌握复数在代数式形式下的加、减、乘、除运算法则，并能熟练地应用这些法则进行复数的相关计算
(2)理解复数加、减法运算的几何意义，并能据此写出复平面上两点间的距离公式，及与此相关的直线、圆、椭圆的复数方程式．
(3)会结合复数相等的概念完成复数的开平方运算．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数的模的性质
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虚数单位
i叫做虚数单位．
规定：i2＝－1，i0＝1
i可以与实数进行四则运算，原有的加、乘运算律仍然成立．
虚数单位的周期性：
i4n＝1,i4n＋1＝I,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i(n∈N)
由i的周期性可得：
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0 (n∈N)
i4n·i4n＋1·i4n＋2·i4n＋3＝－1 (n∈N)
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复数概念辨析
1．规定虚数单位i的三个性质：
(1)，这是沟通实数和虚数间联系的桥梁．
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．(将减、除运算视为加、乘运算的逆运算)，这样 –1的两个平方根是i和(－i)，由此所有的负数都有平方根，都可以进行开平方运算．
(3)虚数单位i与实数进行四则运算构成的虚数无大小．即不能说：2i > －3i;或7 + 4i < 12+6i，等等．
2．复数集合的结构：
我们学过的实数集合是现在的复数集合(C)的真子集．所以NZQRC．
问题：复数z = a + bi ( a , b∈R)．若说z是复数与说z是虚数有什么区别？
3．复数的本质是：
实数与虚数的复合体，实部和虚部不但描述了复数的这个特征，而且反映了复数的二元数的本质，每一个复数必然对应一个有序的实数对(实部，虚部)．这样的表示与直角坐标平面点的坐标表示相同，因此复数集合与平面直角坐标系上的点的集合一一对应，这样的坐标平面叫做复平面．复平面的坐标系中，横轴叫做实轴，它的单位是1，其上的点与实数一一对应，纵轴(不包括原点)叫做虚轴，它的单位也是1，它上面的点对应的是纯虚数．为了表示是复平面的坐标系，在表示其上的点时，一般地大写字母旁记的是a+bi(a, b∈R)，这绝不是表示虚轴的单位是i.复平面与一般坐标平面的区别就是：复平面的虚轴(纵轴)不包含原点．
4．复数既然是由实部与虚部两个相互独立而又统一在一起的两部分(实部、虚部)构成，因此所有复数有关的概念，必然都得由其实部、虚部两者分别给出的统一进行表示：
(1) 复数a+bi(a, b∈R)
点Z(a , b )———————————复平面上的向量
(2)复数z = a+bi(a, b∈R)的绝对值，也称为复数z = a+bi的“模”，它是一个非负实数，它的几何意义是复平面上原点O(0 ， 0 )到Z(a , b)两点间的距离．即
．
当b = 0时，z = a∈R, ,由此可见，z的绝对值是实数绝对值概念的推广，二者本质相同，都表示坐标平面上两点间的距离，是非负实数，可以比较大小．
(3)两个复数，
当且仅当其“实部相等且虚部也相等”时，两个“复数相等”．
即．
(4)两个相等的复数，对应着复平面上的同一个点．
(5)两个相等的复数对应着复平面上的两个相等的向量，这两个向量的方向、长度都相同，可能起点不同；当它们的起点也相同时，就是一个向量．(两个向量相等时，它们并不一定重合，只是长度、方向相同，位置可能不同)
(6)两个复数，
当且仅当其“实部相同，虚部互为相反数”即：且时，称它们互为“共轭复数”．记为，或.
互为共轭复数的两个复数关系非常密切，在所有的概念上都有相似之处．应该从代数上和几何上两方面讲解．如：
①互为共轭复数的两个复数的模相等．即，则，
所以，(其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部)．
②互为共轭复数的两个复数所对应的复平面上的点关于实轴对称．
即—— Z(a , b), —— Z(a , －b)，
则Z 与 Z两点关于实轴对称，
③互为共轭复数的两个复数所对应的复平面上的向量关于实轴对称．
④自共轭的复数是实数． 即，若，则．
∵，若—— —— b = 0..则z = a ∈R.
互为共轭复数的两个复数的乘积等于其模的平方(这点由于涉及乘法运算，对学生可暂不介绍)．
a=0 z=bi z是纯虚数
z=a∈R 实数
复数
z=a+bi(a，b∈R)
b=0
a≠0 z是非纯虚数
b≠0 虚数
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网复数·复数的减法及其几何意义·教案
教学目标
1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．
2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．
3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学重点和难点
重点：复数减法法则．
难点：对复数减法几何意义理解和应用．
教学过程设计
（一）引入新课
师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．
（板书课题：复数减法及其几何意义）
（二）复数减法
师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，
（板书）
1．复数减法法则
（1）规定：复数减法是加法逆运算；
（2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）．
如何推导这个法则呢？
生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．
（学生口述，教师板书）
（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i．
师：说一下这样推导的想法和依据是什么？
生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则．
师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题．
生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．
（学生口述，教师板书）
推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得
故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i．
师：这样推导每一步都有合理依据．
我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？
生：仍是复数．
师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？
生：不会．
师：这说明什么？
生：两个复数的差是唯一确定的复数．
师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．
（三）复数减法几何意义
师：我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？
（板书：2．复数减法几何意义）
生：用向量表示两个做减法的复数．
（学生口述，教师板书）
设z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），对应向量分别
师：怎样用向量表示z-z1的差．
（学生困惑，教师启发）
师：还记得刚才推导复数减法法则时我们是如何转化的？
（学生活跃起来，议论纷纷）
生：由于复数减法是加法的逆运算，设z=（a-c）+（b-d）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， 1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（a-c）+（b-d）i对应（如图 8-2）．
师：很好．在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量只有向量 2．吗？
生：还有 ．
师：为什么？
生：因为OZ2 Z1Z，所以向量 ，也与z-z1差对应．
师：向量 起点，终点分别是什么？
生：向量 是以Z1为起点，Z为终点的向量．
师：点Z1，Z对应复数分别是什么？
生：点Z1对应的复数是减数z1，Z对应的复数是被减数z．
师：谁能概括一下复数减法几何意义是什么？
（学生议论片刻）
生：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．
（教师板书此段话并配图示）
（四）应用举例
（学生口述，教师板书）
生：在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量 1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，-2），向
图8-3）．
但一定要注意箭头指向被减数对应点Z1，否则，方向不同将表示不同的向量，对应复数也就不同．
应复数是z1=-2+5i．
（如图8-4）．
例2根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．
（学生思考片刻口述，教师板书）
解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2
即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|．
师：很好．这就是复平面内两点的距离公式．这个公式与我们学过的两点间距离公式是否一致？
生：我认为一致．
设z1=x1+y1i，z2=x2+y2i．则
|z2-z1|
=|（x2+y2i）-（x1+y1i）|
师：这就是说关于距离问题可以用复数表示．
例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．
（1）|z-1-i|=|z+2+i|；
师：我们应该如何认识这个方程？
（学生困惑，教师引导）
师：我们先看方程左式，右式分别表示什么？
生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．
师：有什么几何意义吗？
生：是动点Z与定点（1，1）间的距离．
（学生活跃起来，纷纷举手回答）
生：方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．
（2）|z+i|+|z-i|=4；
（学生议论后，举手回答）
生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．
师：这个动点轨迹是什么曲线呢？
（学生稍有迟疑，有些同学小声议论）
生：是椭圆吧．
师：似乎回答的不够肯定，不妨回忆一下椭圆的定义．
（学生在教师的提示下一起回答）
生：在平面内，与两个定点F1，F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆．
师：满足这个方程的动点轨迹是不是椭圆呢？
生：是．因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点（0，-1），（0，1）间的距离2，所以满足方程的动点轨迹是椭圆．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
（学生议论后，举手回答）
生：这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．
师：说的再准确些．
生：是双曲线右支．
师：很好．由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．
例4 设动点Z与复数z=x+yi对应，定点P与复数p=a+bi对应．求
（1）复平面内圆的方程；
（学生口述，教师板书）
解：设定点P为圆心，r为半径，（如图5）
由圆的定义，得
复平面内圆的方程|z-p|=r．
师：这个圆的方程与我们以前所学实数表示的圆的方程是否一致．
生：一致．由于|z-p|=|（x+yi）-（a+bi）|=|（x-a）+（y-b）i|=
师：如果P在原点，复平面内圆的方程是什么？
生：|z|=r．
（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点Z的集合是什么图形？
（学生口述，教师板书）
解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．
师：利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．
（五）小结
师：我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．
（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．
课堂教学设计说明
1．复数加法法则是规定的，而复数减法法则需要推导．推导过程要求每一步都要有合理依据，渗透转化思想，培养学生严谨思维品质．复数减法几何意义是教学难点，主要由于学生对复数及其几何表示还不很熟悉，在复数加法几何意义学习基础上，引导学生自己得到复数减法几何意义，有利于学生对复数几何意义以及复数减法几何意义理解．
2．对复数减法几何意义应分三个层次．
例1主要训练学生对复数减法几何意义应用，并通过此例题使学生对复数减法几何意义有具体认识，进一步使学生理解向量与向量终点表示复数的区别与联系，并体会两个相等向量表示两个复数差的各自方便之处．
例2是对复平面内两点间距离公式的推导，这既是对复数减法几何意义再次应用，同时也为对复数方程的认识打下基础．
例3和例4是在例2公式基础上将复数几何意义应用推广到用复数研究解析几何某些曲线、不等式等问题，使学生进一步体会复数减法几何意义的重要性．
教学素材/复数的加法与减法
教学素材/复数的加法与减法
复数的加减法引申与提高
1．据复平面上两点间的距离公式，可以很容易地得到椭圆、双曲线或其蜕化曲线的方程式（给出定义），或由复数方程确定曲线．
例1．| z + 3 | + | z－3 | =10．是焦点为（－3，0）（3，0），长轴长为10的椭圆．
例2．| z + i |－| z－i | = 1是焦点为（0，－1）、（0，1），实轴长为1的双曲线的上支．
2．利用复数方程概念可以很容易的表示复平面上的区域．
例3．| z + 3 | + | z－3 | = 6是以（－3，0），（3，0）为端点的线段．复数的乘除习题1
一、判断题(每道小题 1分共 2分 )
1. 若复数z1与z2所对应的点关于原点对称，则z1= z2．( )
2. 如果z2∈R，z∈C，则z在复平面上对应的点在两坐标轴上．( )
二、单选题(每道小题 3分共 21分 )
1. 已知复数z的对应点能在实轴和虚轴上移动，则复数z2+1+2i所对应的点的轨迹是 [ ]
A．一条直线 B．两条平行直线
C．两条互相垂直的直线 D．两条抛物线
2.
3. 方程(1+i)x2 (1 i)x+10i( 3+2i)=0的实根的集合是 [ ]
A．｛ 4， 6｝B．｛ 4，5｝
C．｛5｝ D．｛ 6，5｝
4. 若[(z 1)i]2=│z 1│2(z≠1)，则z为[ ]
A．纯虚数 B．虚数 C．实数 D．实数、虚数都可能
5.
6.
A．1 i B． 1+i
C．2 i D．-2+i
7. 如果z1=1+2i，z2=x+(x 1)i(x∈R)．且z1·z2的虚部是14则│z2│是[ ]
三、填空题(第1小题 3分, 2-5每题 4分, 共 19分)
1. 若复数z满足│z│=1，且z2+z为负实数，则z=_________．
2. 1．(1+i)3+(1 i)3=___________；
2．(2 i)4 (2+i)4=___________．
3.
4.
5.
四、解答题(第1小题 7分, 第2小题 8分, 第3小题 10分, 共 25分)
1.
2.
3.
五、证明题( 9分 )
复数的乘除习题1答案
一、判断题
1. √
2. √
二、单选题
1. A
2. C
3. C
4. B
5. C
6. C
7. B
三、填空题
1.
2. 4， 48i
3. 当α=1时，为11；
当α≠1时，为1
4.
5. 1+3i
四、解答题
1.
2.
3.
五、证明题
1.
填空题2
如果复数z满足，那么的最大值是
(A) 5 (B) (C) (D)
答案：B选择题2
( z1－z2)2＋( z2－z3)2 = 0是z1 = z2 = z3成立的（ ）
(A) 充分但非必要的条件 (B) 必要非充分的条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要的条件
答案：B本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
选择题1
已知四个关系式：①；②；③；④．其中正确关系式的个数是（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
答案：C
分析：
②，③对．
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教学素材/复数的加法与减法
复数的减法设计思想
在加法法则的基础上不难理解和掌握减法法则．本节的重点应放在距离公式等几何意义的理解和应用上．教学素材/复数的加法与减法
教学素材/复数的加法与减法
复数的加法与减法例题讲解
例1．计算
（1）(1 + 2i ) + ( 2 + i ) （2）(2 + 2i ) + ( 1－2i )
（3）4i + (2－2i ) （4）( i－3 ) + ( 3 + i )
此例题的目的：复习、巩固复数的加法法则．
例2．用几何方法计算上述各题
此例题的目的：复习巩固复数加法的几何意义．
以上两例题均要求学生完成，可提问或板演．选择题1
如果(1＋i)2n = 2n·i（n∈N），那么n等于（以下k∈N）（ ）
(A) 4k (B) 4k＋1 (C) 4k＋2 (D) 4k＋3
答案：B备课资料/复数的运算
备课资料/复数的运算
复数的运算例题讲解
，
+ ＝ 两个复数的和是一个复数，它们分别对应的向量 、的和是向量
+ = 与它们的和的复数是否相互对应呢？
我们就来证明它们确实是相互对应的．可用多媒体演示实部、虚部对应的平行四边形的边，及三角形全等的证明．教学素材/复数的加法与减法
教学素材/复数的加法与减法
复数的加法与减法课题引入
运算是“数”的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看最简单的运算——复数的加法是如何实施的．复数的加减运算习题2
一、判断题( 1分 )
若复平面上动点P对应的复数z满足方程｜z z1｜ ｜z z2｜=±2a(z1、z2为复常
数，a o)则P点的轨迹是双曲线．( )
二、单选题(1-8每题 3分, 第9小题 4分, 共 28分)
1.
2.
3.
4.
5. 集合M={z││z+2│+│z-2│=6，z ∈C }，N={z││z+1│=1，z ∈C}的关系是[ ]
6.
7. 如果z1=2+3i，z2=a+bi(a，b∈R)且z1 z2=6+7i，那么a、b的值依次是
[ ]
A． 4、 4 B． 4、4 C．4、 4 D． 4、10
8.
9. 条件甲为：复数z0、z1、z2满足│z1-z0│=1，│z2+z0│=2，条件乙为：│z1+z2│≥1，
则甲是乙的[ ]
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
三、填空题(1-5每题 2分, 第6小题 3分, 7-8每题 4分, 共 21分)
1. 计算：(3 2i)+( 6+5i) ( 8+2i)=__________．
2.
3. 双曲线│z 2i│ │z+8i│=±6的离心率是_________．
4.
5. 复数z1，z2，满足│z1│=│z2│=│z1+z2│=1, 那么│z1-z2│的值是___．
6.
7.
8.
四、计算题( 5分 )
五、解答题(1-3每题 5分, 第4小题 7分, 共 22分)
1. 若x，y∈R，解方程：x2 y2+2xyi 5+12i=0
2.
3.
4.
复数的加减运算习题2答案
一、判断题
1. ×
二、单选题
1. C
2. C
3. B
4. C
5. D
6. C
7. A
8. C
9. A
三、填空题
1. 5+i
2. 8+2i
3.
4.
5.
6.
7.
8. 1，3．
四、计算题
1.
五、解答题
1.
2.
3.
4. 8，6
复数在解析几何中的一个运用
在解析几何中，两点间距离在表述的公式上是比较复杂的，而用复数的模表述．形
把复数模的运算转变为复数间的运算，进而求得结果．下面举两个例子：
求P点的轨迹．
设点P对应的复数为z．
例2 已知△ABC，在平面上求一点O到A、B、C距离的平方和最小．
设O点对应的复数为z．A、B、C对应的复数分别为zA，zB，zC．
|OA|2＋|OB|2＋|OC|2取最小值．
即O点为△ABC的重心．
备课资料/复数的运算
备课资料/复数的运算
复数的运算知识系统及其结构
复数加法的几何意义
复数加法的几何意义
复数运算
向量加法的平行四边形法则
复数的减法法则
复数减法的几何意义
复平面上两点间的距离
复数的乘法法则
复数的除法法则
复数的乘方与开平方
方法1：利用复数相等本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
判别实数、虚数、纯虚数
要判别一个复数是实数、虚数还是纯虚数，除了可根据定义外，还有其它一些方法．
要证明某一复数为实数，可以从以下几方面考虑：
（1）虚部为0的复数是实数；
（2）与自身共轭的复数为实数，即
z∈R＝z；
（3）共轭复数的和为实数；
（4）共轭复数的积为实数；
（5）两个纯虚数的积为实数；
（6）复数的模为非负实数；
（7）辐角主值等于0或л的复数为实数．
要证明某一复数是纯虚数可从以下方面考虑：
（1）实部为0虚部不为0的复数是纯虚数；
（2）两个共轭虚数的差是纯虚数；
（3）若z≠0，z＋＝0，则z是纯虚数；或－1．则z是纯虚数，即z是纯虚数的充要条件是－1．
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备课资料/复数的概念
复数常见问题汇总
1．复数 z = a + bi(忘记注明a , b∈R).
2．复数 z = a + bi(a , b∈R),若a = 0 时， z = bi是纯虚数．(未考虑b)．
3．复数 z = a + bi(a , b∈R)则．(应是)．
4．复数 z = a + bi(a , b∈R)， 则．(实数概念的负迁移)
5．复数 z = a + bi(a , b∈R)，则满足的复数z所对应的复平面上的点的集合所构成的图形．画图时将圆的边界画为实线．(应是虚线)．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数小结与总结
研究复数就是研究它的实部和虚部，这就是复数研究的基本方法，复数知识就是以这为轴逐步展开的．
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教学素材/复数的加法与减法
复数的减法例题讲解
例1．计算 (5－6i ) + (－2－i )－(3 + 4i )
利用法则不难得出结果．
例2．根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间距离公式．
应配合减法的几何意义讲解，直接推导出距离公式．这个公式在复数的几何应用中用途广泛，必须重点强化．
例3．根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内的圆的复数方程．
这是复数减法的几何意义——复平面上两点间距离公式的首次应用，也是全书唯一的推导复平面上动点轨迹方程的重点例题，必须从思路分析、动点坐标引入，几何等式与代数等式关系，复数方程的意义及化为实数方程验证等方面详加解释．
解：设圆心为P，半径为r．
点P与复数p = a + bi对应…P（a，b）
设Z是⊙P上任意一点
Z与复数z = x + yi（x，y∈R）对应…Z（x，y）
∵
∴ | z－p | = r．
这就是复平面内⊙P的复数方程．
∵ | x + yi－(a + bi )| = r 即
∴ ( x－a )2 + ( y－b )2 = r2就是圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程．
若P为原点时，即P（0，0）时，| z | = r．
这就是圆心在原点，半径为r的圆的复数方程．
例4．写出圆心M（对应复数为m=2－3i）半径为3的圆的复数方程．教学素材/复数
教学素材/复数
复数的乘法
复数乘法可用代数法、三角法、几何法进行．
复数乘法的代数法按照下列法则进行：
设z1＝a＋bi, z2＝c＋di,(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积，
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i
也就是说，复数乘法可像多项式乘法那样进行运算，但是必须把结果中的i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．
复数乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任何Z1、Z2、Z3∈C，都有
（1）z1·z2＝ z2·z1
（2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
（3）z1(z2＋ z3)＝z1z2＋z1z3
注意：由于复数乘法能像多项式乘法那样进行运算，所以在实数运算中的乘法公式都可以“移植”到复数中来．
复数乘法的三角方法：
设z1＝r1(cos1＋1), z 2＝r2(cos2＋isin2),
则z1·z2＝ r1(cos1＋isin1)·r2(cos2＋isin2)
＝r1r2[(cos1cos2－sin1sin2)＋I(sin1cos2＋cos1sin2)]
＝r1r2[cos(1＋2)＋isin(1＋2)] (*)
即r1(cos1＋isin1)·r2(cos2＋isin2)]
＝r1r2[cos(1＋2)＋isin(1＋2)]
这就是说，两个复数相乘，积的横等于两个复数模的积，积的辐角等于两个复数辐角的和．
注意：用公式（*）进行复数乘法运算时，必须把z1、z2化成三角式的标准形式．
复数乘法的几何意义：
设z1＝r1(cos1＋isin2)，z2＝r2(cos2＋isin2)在复平面上先作出表示复数z1的向量，然后把绕原点逆时针方向旋转2(2>0)角，并把其模数变为原来r2倍，所得向量就是表示复数，这就是复数乘法的几何法．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
虚数形成的历史
1484年，舒开(Nicolas Chuquet，生卒年份不详，法国学者)在《算术
明这根是不可能的．
1545年，卡当(Girolamo Cardano，1501—1576年，意大利学者)在他所著《大术》一书中，列出并解出“把10分成两部分，使这两部分的
(p，q都是实数)的著名公式
但根据这个公式解方程时，却产生了一个当时意料不到的困难．例如，
可是这个方程显然可以被4和另外两个实数值(知道原方程x3-15x-4=0的一个根为x=4后，运用除法或因式分解，把x3-15x-4化成x-4与一个二次三项式的积，利用一元二次方程求根公式，很容易求出原方程的另外两个实数根)所满足．这一切令人十分困惑，以致卡当说，一定有一种新型的数(复数)存在．
1637年，笛卡儿(见本书第196页脚注)在《几何学》一书中，第一次给出虚数的名称“imaginaires”(虚的)，和“realles”(实的)相对．
1777年，欧拉(Leonhard Euler，1707—1783年，瑞士数学家)在递交给彼德堡科学院的论文《微分公式》中，首次使用i2来表示-1．
真正作出虚数合理解释的是未塞尔(Caspar Wessel，1745—1818年，挪威学者)．1797年，未塞尔向丹麦科学院递交论文《方向的解析表示，特别应用于平面与球面多边形的测定》，其中用+1表示正方向的单位，
=ε及cosv+εsinv等记法．除了虚数单位的符号不同之外，和现代表示法一致．
高斯(见本书第196页脚注)在1799年已规定了复数的几何表示，但直到1831年才作出详细的说明．他主张用有序实数对(a，b)来代表a+bi，这样，复数的和与积都可以用纯代数的方法来定义，无需作几何解释．
随着生产的发展，复数在数学和其他有关科学技术中日益起着巨大的作用，在十九世纪中叶以后，对复数的研究已逐渐发展成为一个庞大的数学分支——复变函数论．
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在复平面上，复数z对应的点在直线y = －x上运动，则z2对应的点的轨迹是（ ）
(A) x轴 (B) x轴负方向
(C) y轴 (D) y轴负方向
答案：D
分析：
逆时针旋转135°．教学素材/复数的加法与减法
教学素材/复数的加法与减法
复数的减法知识讲解
1．复数的加法法则：
两个复数的和仍是一个复数，它的实部是两个加数的实部的和，它的虚部是两个加数虚部的和．
设z1 = a + bi，z2 = c + di（a，b、c、d∈R），z = z1+ z2 = (a + c) + (b + d ) i．
2．复数的加法满足交换律和结合律，即若z1，z2，z3∈C，则
z1+ z2 = z2+ z1
(z1+ z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
3．加法法则可以推广到n（n∈N且n≥2）个复数相加．
4．复数z1 = a + bi，对应着复平面上的一个点：Z1：a + bi，一个向量；同样，复数z2 = c + di对应着复平面上的向量，向量也可相加．
从物理学知道：作用于同一点O且不在同一直线上的两个力、，求它们的合力时，只要以表示与的向量、为邻边画一个平行四边形，那么平行四边形中，以力的作用点O为起点的对角线所表示的向量就是合力=1+2．由此可总结出向量加法的“平行四边形法则”．利用这个法则我们也可以得到向量与的和：
+ = ．
5．我们已经有了与复数z1、z2有关的两种加法：
z1 + z2 = ( a + c ) + ( b + d ) i = z
+=
如果我们能够证明：向量对应的复数就是两个复数的和( a + c ) + ( b + d ) i，那就说明，复数与它们对应的复平面上的向量是完全统一的，今后复数的问题可以用它所对应的向量来解决，复平面上的向量问题，也可以通过复数运算来解决，“数”与“形”就紧密地结合在一起了，下面我们就来证明：向量对应的复数就是( a + c ) + ( b + d ) i．
作出 OZ1ZZ2，向量
作出Z1P、Z2Q、ZR分别垂直x轴于P、Q、R；作Z1S⊥RZ于S．
则OP = a，OQ = c，PZ1 = b，QZ2 = d，PR = Z1S，PZ1 = RS．
在Rt△OQZ2与Rt△Z1SZ中，
∵ | OZ2 | = | Z1Z |，∠OZ2Q = ∠Z1ZS，∠OQZ2 = ∠Z1ZS = 90°
∴ △OQZ2 ≌∠Z1ZS
∴ Z1S = OQ，QZ2 = SZ
∴ OR = OP + PR = OP + Z1S = OP + OQ = a + c．
RZ= RS + SZ = PZ1 + QZ2 = b + d
∴ Z点的坐标是（a+c，b+d），即对应的复数就是( a + c ) + ( b + d ) i．
今后当我们求两个复数的和时，也可以将两个复数对应向量作在复平面上，当两个向量不共线时，可以利用平行四边形法则作出它们的和向量，此和向量对应的复数就是所求两个复数的和．
6．如果向量、在一条直线上时，若它们同向，则和向量也比每个向量长（两段相加），若它们异向，则用较长向量减去较短的向量．
（此图可用计算机动态演示：（红），（蓝色），慢移动鼠标，即可看出效果）．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
共轭复数
两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．复数z的共轭复数记作．根据定义，若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi．共轭复数所对应的点关于实轴对称．
它的代数特征是：
（1）＝；
（2）z＋＝2a（实数），z－＝2bi；
（3）z·＝＝a2＋b2（实数）；
（4）＝z．
它的运算特征是：
（1）
（2）
（3）
（4） (z2≠0)
在解有关复数问题时，利用共轭复数的性质，等式两边同时取共轭，是复数解题中的一个技巧．
在解有关复数问题时，利用＝．在等式两边同时取模也是复数解题中的一个技巧．
z·＝可以起到由虚到实，由实化虚的桥梁作用，因此在解复数问题中有广泛用途．
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复数的值为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) －1 (D)
答案：A复数z在复平面上对应点的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆，除去两点(±a，0)．
为纯虚数”的命题得到简洁而完美的解答．
②因为|z|=4且|z＋1|＝|z－i|，所以复数z在复平面上的对应点应为连结(－1，
圆|z|＝4的交点，据此可仿照②得出．
④因为|z|＝4，
所以设z＝4(cosθ＋isinθ)(θ≠kπ，k∈z)．
则|z＋2＋2i|2＋|z－2＋2i|2=(4cosθ＋2)2＋(4sinθ＋2)2＋(4cosθ－2)2＋(4sinθ＋2)2=64＋32sinθ．
故所求最小值为32，最大值为96．
的轨迹．
ω在复平面上所对应的点的集合是什么图形？并说明理由．
解 如图3，设复数z、2i在复平面上的对应点Z与A，则由|z－i|＝1(z≠2i
所以复数ω在复平面上的对应点的轨迹是以线段OA为直径，点(0，1)为圆心，1为半径的圆(除去点A)．
复数这一章是高中代数中最能体现出数与形紧密联系的一部分内容，对复数式的几何意义或几何解释不光要求学生能认识清楚，更主要的还要引导学生巧加应用，这
一粗浅的探讨，从所选几例即可看到，灵活地应用好这一知识，大大地简化了有关命题的求解过程，确定了一条不应忽视的思维途径．在学生的解题训练过程中，应不断引导他们对一些典型的、有应用价值的重要命题、重要结论进行较深入的研究探讨，而不是满足试题的顺利求解，这种工作做多了，必然有利于学生总结归纳能力的提高，更有利于知识网的形成，从而收到举一反三的学习效果．
复数的乘法及其几何意义教案1
教学目标
1．掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程．
2．掌握复数乘法的几何意义．
3．让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法．
4．培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算．
难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握．
教学过程设计
师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算．
(利用投影仪出示)
1．(1－2i)(2＋i)(4＋3i)；
(5分钟后)
师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的三角形式概
请同学们再考虑下面一个问题：
如果把复数z1，z2分别写成
想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．
(教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程)
学生板演：
师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？
生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简．
在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．我是根据这个思想才想出来的．
师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？
生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和．
师：利用这个结论，请同学们计算：
大家把计算过程写在笔记本上．
(教师请一位同学在黑板上板演)
教师提示：由于复数定义是形如a＋bi(a，b∈R)的数，如果辐角是特殊角或特殊角的终边相同角，要化成代数形式．即
师：同学们已经发现，复数的三角形式的乘法运算若用
r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)=r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
计算，简便得多．
这就是复数的三角形式乘法运算公式．
三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？
使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值．
同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用．我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？
(同学分组讨论，请小组代表发言．如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转)
生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ2(θ2＞0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ2|，再把其模变为原来的r2倍(r2＞1，应伸长；0＜r2＜1，应缩短；r2=1，模长不变)，所得的向量就表示积z1·z2．这是复数乘法的几何意义．
图形演示(如图8－7)： =·．
师：现在我们研究问题．如图8－8，向量OZ与复数－1＋i对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求与向量对应的复数．请同学们想一想．
生：这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的几何意义，将向量逆时针方向旋转120°，得到，由于模未发生变化，应当是对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)．
师：解此题复数是否一定化成三角形式？
生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择．
师：说得好，请同学们写一下解题过程．
(找一名同学到黑板板演)
解：所求的复数就是－1＋i乘以一个复数z0的积，这个复数z0的模是1，辐角的主值是120°．所求的复数是：
(－1＋i)·1·(cos120°＋isin120°)
师：为了巩固刚讨论过的复数三角形式的乘法运算公式及复数乘法的几何意义，请同学们继续完成以下练习．
(使用投影仪，映出练习题)
2．已知复数z0所对应的向量0，通过作图，画出下列复数z所对应的向量．
(教师在教室里巡视，请三位演算错误的同学板演．)
师：这三位同学计算和画图对不对？如果有错误，错在哪里？怎样改正？
师：一人教训大家吸取，千万用复数三角形式的标准式进行复数三角形式的乘法运算．
哪位同学改正一下：
师：板演第1题的两位同学都注意到，不能直接使用三角形式进行加、减法计算，需化成代数形式才得以进行．
接下来看第2题的第(1)小题．
生丙：第(1)题画错了，应当把向量按逆时针方向旋转60°，可板演图只转30°．
师：为什么？
生丙：乘数sin30°＋icos30°不是复数三角形式的标准式，应化为cos60°＋isin60°，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题．
师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定．
现在看第2题的第(2)小题，将逆时针旋转120°正确吗？为什么？
说明模没有变化，只是把向量绕原点O按逆时针旋转120°．
师：向量画的正确吗？若不正确，应当怎么画？
生戊：不正确，旋转120°后，取其反方向的向量，模不变，得到．也可以先取的反方向的向量，再逆时针旋转120°．
师：回答得很好，现在我们研究一道几何图形习题的解法，请看题目：
已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点对应的复数分别为1＋2i，3－5i，求与另外两个顶点对应的复数．
为了利于表达，设正方形ABCD，其中点A对应复数是1＋2i，点B对应复数是3－5i，求点C、D对应的复数．如图8－11．
同学们开始讨论解法．
生M：这道题可以转化为解析几何题，点A坐标为(1，2)，点B坐标是(3，－5)．本题应当有两解．设边AB右侧的顶点是C和D，左侧的顶点是C'和D'．线段
关系，得出关于x，y的二元二次方程组，解这个方程组可得两组解，点D坐标求出，对应的复数亦可以写出．
师：点C怎么求呢？
生N：先求出BD的中点，这个中点也是AC的中点，再通过中点坐标公式求得点C的坐标．
师：很好．还有什么解法？
生P：用复数运算的几何意义解，先求向量所对应的复数，由向量绕点A按逆时针方向旋转90°角得到，由于=－，就求出D点对应的复数．
师：点C怎么求呢？
得到对应的复数了，再求对应的复数
师：生Q想到的解法更简单，求点C还有其他方法吗？
生R：先求所对应的复数，由向量绕点B按顺时针方向旋转90°得到，再求对应的复数．
师：生H的方法最简单．请同学们在笔记本上用其中一种解法完成此题的演算．
(教师找一名同学到黑板板演)
解：向量对应的复数：(3－5i)－(1＋2i)=2－7i．
向量对应的复数：(2－7i)(cos90°＋isin90°)=(2－7i)·i=7＋2i．
向量对应的复数：(1＋2i)＋(7＋2i)=8＋4i．
如图，设点D'对应复数为a＋bi(a，b∈R)，
又设点C'对应复数为c＋di(c，d∈R)，
因此另外两点对应的复数为：10－3i和8＋4i；或－4－7i和6．
注意：如果板演有错误，应请同学们发现和纠正．
经常发生的错误有：
(1) =(3－5i)－(1＋2i)．
这里不能用等号，应写作“向量对应的复数是：(3－5i)－(1＋2i)；
(2)把向量对应的复数7＋2i，错认为是点D对应的复数；
(要讲清只有当向量的起点在原点处，向量所对应的复数才是向量终点所对应的复数)
(3)只得出10－3i和8＋4i一组解．
(建议学生自己动手画图，容易发现两组解)
师：通过此题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题中的重要作用．为了更好地领悟这一思想，请看：
如图8－12，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数计算∠1＋∠2＋∠3的值．
同学们开始讨论解决：
生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系．
师：你分析得正确，如图8－13，建立坐标系．取正方形的边长为单位长1．
生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，这样，∠1＋∠2＋∠3=∠B1Ox＋∠B2Ox＋∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分别看作B1，B2，B3三个点对应复数的辐角主值，下面应考虑B1，B2，B3对应复数是什么？
按着老师规定的单位长，B1，B2，B3三点对应的复数分别为1＋i，2＋i，3＋i．
师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影响复数的辐角主值的大小，不过计算要繁一些．同学们继续讨论．
生壬：2＋i，3＋i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大．根据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么？假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值．
师：你分析得很好，请你计算一下：
生寅：我想谈另外一种计算方法．因为r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)·r3(cosθ3＋isinθ3)=r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]·r3(cosθ3＋isinθ3)=r1·r2·r3[cos(θ1＋θ2＋θ3)＋isin(θ1＋θ2＋θ3)]，因此(1＋i)·(2＋i)·(3＋i)可以直接求出积的辐角．即
(1＋i)(2＋i)(3＋i)=(1＋3i)(3＋i)=10i，
师：想法很好，并把两个复数相乘加以发展，是个小发现．这里，应提醒大家，注意一个问题，即两个辐角主值相加，其结果不一定还是主值．
请同学们完成此题的演算．
(教师找一名同学到黑板板演)
解：如图建立坐标系，由于平行线的内错角相等，∠1，∠2，∠3分别等于复数1＋i，2＋i，3＋i的辐角的主值，这样∠1＋∠2＋∠3就是积的辐角，而
(1＋i)(2＋i)(3＋i)=(1＋3i)(3＋i)=10i，
师：今天这节课，从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何意义及其推导过程．从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互相转换角度上考虑问题．现在布置作业：
1．课本习题：P203练习1(4)，3．
2．课本习题：P210习题二十八5．
3．补充题：
(1)在复平面内有两个点Z1和Z2，它们所对应的复数分别为1和2＋i，以这两点为顶点作一个正三角形，求这正三角形第三个顶点Z3所表示的复数．
(2)z1，z2是不等于零的两个复数，它们在复平面内的对应点分别是P和Q，且
课堂教学设计说明
1．没有良好的基础知识是不可能有很好的数学能力的，深刻的理解、纯熟掌握也不是一次就能完成，因此课堂教学开始时，我安排了检查练习，起着承上启下的作用．
2．重视学生参与知识的发生、发展和被运用的过程，为了培养适应21世纪要求的创新人才，课堂教学的着眼点应放在学生能力的形成和发展上，需要学生去亲自想一想，动手算一算，动口说一说，从而培养学生敢于创造，逐渐学会创造．因此设计教案时强调了学生主体参与，但不能忽视老师的主导作用．
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复数的向量运算习题3
一、 判断题(每道小题 1分 共 3分 )
1. z1、z2∈C
2.
3. z1、z2∈C
二、 单选题(每道小题 3分 共 18分 )
1.
A．5 i B．1 5i
C． 1 5i D． 1+5i
2.
A．3 2i B．3+2i
C． 3+2i D． 3 2i
3.
4.
A．实轴 B．虚轴
C．一、三象限分角线 D．二、四象限分角线
5. 已知复数z1=9+5i，z2=5i 9，则下列关系式中正确的是 [ ]
6. 下列命题：
①复平面上向量的集合与复数的集合是一一对应的；
②互为共轭的两个非零复数，它们对应的向量关于实轴对称；
③虚数的共轭复数一定是虚数；
④两个复数互为共轭的充要条件是它们虚部的和为零．
其中正确命题的个数是[ ]
A．1 B．2 C．3 D．4
三、 填空题(1-9每题 2分, 第10小题 4分, 共 22分)
1. 两个____________________的向量认为是相等的向量，与这两个向量的________无关．
2. 复数集C与复平面内所有以_____为起点的向量所成的集合是_____________的．
3. 复数z=a+bi(a，b∈R)的模是0的充分必要条件是_________________．
4. 既有______________又有________的量叫做向量．
5.
6. 若复数z=2a+5i(a∈R)的模是13，则a=_______．
7. 设z∈C，且1≤│z│≤3，则z对应的点的集合所对应的图形是______．
8.
9. 如果复数z=x+(2 x)i(x∈R)，且│z│≤2，则x的取值范围是_________．
10. 若复数
z1=1+cos2(1+ )+isin2(1+ )
则│z1│与│z2│的大小关系是___________．
四、 解答题( 4分 )
已知复数z=(2m 1)+(m 2)i (m∈R)的模小于3，求m的取值范围．
五、 作图题( 2分 )
设z=a+bi(a，b∈R)，若│b│≤1，则z所对应的点的集合用斜线在复平面中表示出来．
复数的向量运算习题3答案
一、判断题
1. ×
2. ×
3. √
二、单选题
1. C
2. B
3. D
4. D
5. C
6. B
三、填空题
1. 模相等且方向相同；起点．
2. 原点；一一对应．
3. a=b=0
4. 绝对值大小，方向
5.
6. ±6
7. 以原点o为圆心，以1及3为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．
8. ±2
9. 0≤x≤2
10. │z1│ │z2│
四、解答题
1.
五、作图题
1.
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教学素材/复数的加法与减法
复数的减法练习与讲评
课本P189．练习中应用法则具体作减法的练习不会出太多错误，但P190，5题．
设复平面内定点P与复数P = a + bi（a、b∈R）对应，动点Z与复数z = x + yi（x，y∈R）对应，ε∈R+，满足不等式| z－P | < ε的点Z的集合是什么图形？
一些学生初遇不等式所带来的平面区域概念，表现为不能理解，或回答不出，或说“圆心在P点，半径小于ε（形式的回答）的一半圆”．教师必须多取几个点，形象地说明它是一个区域，具体的讲“圆心在P点，半径为ε的圆内平面部分且不包括边界”．这种分析对后面求其它曲线方程及复数运算几何意义的其它应用（如求模最大、最小等问题有启示作用）．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
纯虚数
对于复数a＋bi（a，bR），当a＝0且b≠0时，Z＝bi叫做纯虚数．
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教学素材/复数
复数的几何意义
（１）复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即
（２）复数集Ｃ和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
一一对应
复数Z＝a＋bi
复平面内的点Z (a，b)
一一对应
复数Z＝a＋bi
平面向量复数的加法和减法
复数的加法
复数的减法
求两个复数z,2的差,可以先画出这两个复数对应的向量O,O2
则向量221对应的复数即为两个复数z1,z2的差.如图教学素材/复数的加法与减法
教学素材/复数的加法与减法
复数的减法课题引入
减法是加法的逆运算，它的法则与加法一样，必然也是分实部、虚部二元给出再统一成为一个整体．
既然减法是加法的逆运算，就先从算式上给出减法法则，再分析、小结给出减法法则的语言叙述；减法的几何意义也是如此．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数相等的充要条件
两个复数z1＝a1＋b1i与z2＝a2＋b2i相等的充要条件为a1＝a2且b1＝b2即
a1＋b1i＝a2＋b2i
复数相等的充要条件的应用主要有以下几个方面：
（1）求实部、虚部中的未知量
（2）解含有未知复数z的方程
有一类复数方程中，除含有z以外，还含有或的式子．这种方程用以前的方法去解有困难．但可以把它分解为实部与虚部，通过复数相等的充要条件．转化为代数方程组求解．
（3）复数的开平方
复数开平方可用三角法，把被开方数化成三解形式求解，但也可以从平方根的定义出发，通过复数相等的充要条件，直接求出复数的平方根．
a1＝a2
b1＝b2
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一、判断题(每道小题 1分共 2分 )
1. 如果z2∈R，z∈C，则z在复平面上对应的点在两坐标轴上．( )
2. 若复数z1与z2所对应的点关于原点对称，则z1= z2．( )
二、单选题(每道小题 3分共 24分 )
1. 已知复数z对应的点的轨迹是椭圆,那么z适合的方程是[ ]
A．│z 2i│=│z+2i│
B．│z+2i│+│z 2i│=4
C．│z+2i│ │z 2i│=3
D．│z+2i│+│z 2i│=6
2. 如果z=x+yi(x，y∈R)，那么方程│z+2│= x表示的曲线是 [ ]
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
3.
4.
5.
A．11+11i B．11 11i
C．19 3i D．19+3i
6.
A．4 i B． 4 i
C．2 i D． 2 i
7. 如果a∈R，则复数z=a2(1+i) a(2+i)+4+i所对应的点一定位于 [ ]
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8.
A． 8 B． 10
C． 18 C． 20
三、填空题(1-8每题 2分, 9-10每题 3分, 第11小题 4分, 共 26分)
1. 方程x2+2(1+i)x+i=0，当x∈R时，解集为__________．
2.
3. 在复数范围内将下式分解因式：
x2 4x+9=_______________．
4. 设z=a+bi (a，b∈R)，若z2=24+10i，则z=___________．
5.
6.
7. 关于实数x的复系数的方程(1+i)x2 (1 i)x (2+6i)=0的解为_______．
8.
9.
10. 若n∈N且(1+i)n=(1 i)n·i15，则n的最小值是________．
11. 如果z∈C，且(│z│ z)(1+i)=2i，则z10等于____________．
四、计算题( 5分 )
在复数范围内分解因式：
x3 2x2+4x 8
五、解答题(第1小题 5分, 2-3每题 6分, 第4小题 7分, 共 24分)
1.
2. 如果x2 x+1=0求x5+x 5的值．
3.
4. 已知z5+z=1，且│z│=1，求z．
六、证明题(第1小题 5分, 2-3每题 7分, 共 19分)
1. 已知：a、b、x、y为非零实数且(x+yi)3=a+bi
2.
3.
复数的乘除习题3答案
一、判断题
1. √
2. √
二、单选题
1. D
2. C
3. B
4. A
5. B
6. D
7. A
8. C
三、填空题
1.
2. 13
3.
4. 5+i或 5 i
5.
6. 1 i
7. x=2
8.
9.
10. 3
11. 1
四、计算题
1. (x 2)(x+2i)(x 2i)
五、解答题
1. 解：设z=x+yi，x，y∈R代入到方程中，得
x2+y2 3i(x yi)=1+3i
解得z= 1或z= 1+3i
2.
3. z=i
4.
六、证明题
1.
2.
3.
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虚数的发展史
在学习开方时，总是要再三强调，被开方数一定要是非负数，被开方数为负数时，开方没有意义，众所周知，人们对事物的认识总是螺旋式上升的。现在，我们知道对负数进行开方可以用来表示一个虚数。
在很久以前，大多数学家都认为负数没有平方根。到1545年，意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分，使其乘积为40的问题，方程是ｘ（10－ｘ）＝40，他求得根为和，然后说，“不管会受到多大的良心责备”，把和相乘，得乘积为25－（－15）或即40，卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。卡尔丹肯定了负数的平方根的用处，但当时，人们对它的认识也仅止于此。
“实数”、“虚数”这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。而用ｉ＝表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。后来的人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记成ａ＋ｂｉ形式，称为复数。
在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处一无所知，实际生活中也没有用复数来表示的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和有一种不接受的态度。莱布尼兹称虚数是既存在又不存在的两栖物。欧拉尽管用它，但也认为虚数是虚幻的。
测量学家维塞尔用ａ＋ｂｉ表示平面上的点。后来，高斯的复平面的概念，使复数有了真正的立足之地，从此复数就开始表示向量（有方向的数量），在水力学、地图学、航空学中有着日益广泛的应用。
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复数疑难解析
1．引入虚数数系扩张之后，由实数集合扩展到复数集合，数的性质发生了变化，实数集合的一些性质会产生“负迁移”，影响学生对新概念的理解，使其在应用新概念时出现错误．
例1．不等式的解是z > 1或z <－1吗，为什么？
例2．复数 5 + 6 i > 2 + 6i 正确吗？3 + 4 i < 3 + 7i 正确吗？
命题：“复数不能比较大小”正确吗？
2．复数z = a + bi ( a , b ∈ R) 与复平面上的点Z (a , b ) 一一对应，Z点对应着复平面上起点在原点O，终点在点Z的向量，从这个意义上说，任何非零的复数与复平面上的向量“一一对应”，由于向量相等的概念作用，不可能有广义的、不加限制的‘复数与复平面上的向量’的一一对应关系．
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教学素材/复数的加法与减法
复数的加法与减法小结与总结
复数有实部和虚部，复数的所有概念（包括运算）都必须从实部和虚部两个方面论述，再统一为一个整体．
复数既然都可以表示为复平面上的向量，则复数概念也都有图形反映，复数的加法对应着坐标平面上向量的加法（平行四边形法则）．数和形密切结合，丰富了我们思考问题的方法．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数的介绍
复数是形如x+iy的数，其中x和y都是实数，i是虚数单位（即满足关系i2= -1的数，）
从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形成。解一元二次方程就遇到负数开平方的问题，如：x2+1=0。G.卡尔诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避开复数。吉拉尔认为复数至少可以作为代数方程的形式解。也有不少数学家不承认复数，例如笛卡儿。事实上，“虚数”这个称呼就始自笛卡儿，他认为这个数是“虚幻的”。关于复数及代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由C.韦塞尔、J.B.阿尔根和C.F.高斯等人建立的。高斯引进了“复数”这一名词。
复数的一般形式是z=x+iy，其中x和y分别称为z的实部和虚部，记作x=Rez，y=Imz。 如果Imz=0，那么z=Rez=0是实数；如果Imz≠0，那么z称为虚数；如果Imz≠0，而Rez=0，那么z称为纯虚数。两复数z1和z2相等就是它们的实部和虚部分别相等，记作z1=z2。
在平面上取直角坐标系Oxy，以坐标为（x , y）的点表示复数z=x+iy，于是Ox轴上的点表示实数，Oy轴的点（y≠0）表示纯虚数。Ox轴和Oy轴分别称为实轴和虚轴；Oxy平面称为复平面，或者按表示复数的字母z称它为z平面。
复数也可用在实轴及虚轴上的投影分别是x及y的向量表示，起点可安放在平面上任一点，如在原点。向量z=x+iy的长度称为复数z的模，记作| z |，显然。实轴的正向与向量z（z≠0）之间的夹角称为复数的幅角，记作 Argz，Argz有无穷多个值，在-π与+π之间的值称为Argz，的主值，记作argz。于是z可用三角表示式表示为z=| z |（cosargz+isinargz），也可表示为指数形式。
设全体复数构成的集为C。复数的加法和乘法定义为。
（x1+iy1）+（x2+iy2）=（x1+x2）+i（y1+y2），
（x1+iy1）+（x2+iy2）=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1），
式中x1，x2，y1，y2都是实数。在C上引进这两种运算，可以证明它构成一个域，称为复数域。复数域包括实数R，但复数域不是有序数，即两个复数不能比较大小。
在复平面上，约定有一个无穷远点，以表示。加上 的复平面称为扩充复平面。为了作出 的几何表示，可把复数表示在球面上。
在点坐标是（x，y，u）的三维空间中，把Oxy平面看作就是z = x+iy平面。考虑球面。
x2+y2+u2=1
取定球面上的点N（0，0，1），称为球极，作连接N与Oxy平面上任一点A（x，y，0 ）的直线，并设这直线与球面的另一交点为 ，那么 称为A在球面上的球极射影。用它来表示复数z=x+iy。显然，如果点z的模愈大，那么它的球极射影愈接近于N。约定N是无穷远点 的球极射影，这样，在球面与扩充复平面之间建立了同构。这种球面称为复球面或黎曼球面。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网选择题4
以满足方程的复数z在复平面上所对应的点为顶点作多边形，其面积是（ ）
(A)1 (B)
(C) (D)
答案：D
分析：
对应的点为A（1，0），，．填空题1
满足不等式的复数所对应的点组成的平面图形的面积是_________．
答案：
16π
分析：
．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数集与实数集中的相异性质
T：通过复数这一章的学习，我们已经知道，将实数集扩充到复数集后，实数集中的有些性质，在复数集中已不再成立了．这一课，我们共同来回顾一下，在实数集与复数集中有哪些相异的性质？
在问题的牵引下，学生们纷纷举手发言：
(1)在实数集中，任意两个实数都可以比较大小；在复数集中这条性质不成立．
(2)在实数集中，一元二次方程有无实根可由判别式Δ的符号来确定；在复数集中，判别式Δ≥0既不是一元二次方程有实根的充分条件，也不是必要条件．
(3)在实数集内，一个非负实数最多只有两个方根；在复数集内，任意复数的n次方根都有n个值．
(4)在复数集内，每个一元二次方程都有根．
……
下面，我们试就某些相异性质作比较深入的探讨．
T：为什么？
不可能相等．
T：请大家分析，下面这个等式的证法对吗？为什么？
试证：
∴ 原等式成立．
作为了推理的依据．
0(i＝1，2，…，n)；在复数集内又如何呢？
家想一想：
……
T：一般地
＝0．
再一次说明，同样的问题，在不同的数集中，它的解往往也是不同的．
3 T：我们知道，在实数范围内，若|x|＝a(a≥0)，则x＝±a；在复数范围内，又如何呢？
点为圆心，a为半径的一个圆上．其中x＝±a只是符合条件的两个实数值．
T：这表明：在复数集内，若|x|＝a (a≥0)，则x＝±a不再成立了．看一个例子：
(1)在实数集内有几个？
(2)在复数集内又有几个？
(k＝0，1，2，…，n－1)．
T：这个例子说明了两点：…．
别式来判定，你能举例加以说明么？
S：…．
学生计算方程的判别式：
由十字相乘法(x＋3i)(x＋i)＝0即得)．
T：你能举出一个有实根，而它的判别式Δ＜0的一元二次方程吗？
这一次学生有办法了，举出了如x(x－i)＝0这一类的多个方程．
T：这些例子表明什么呢？(下略)．
(要求学生课后继续寻找实数集与复数集中的相异性质，如：在实数集中，下述性质成立：
①若|x|＜a(a＞0)，则－a＜x＜a；
③若a－b＞0，则a＞b；
…
相应的，在复数集中，也有类似的性质吗？
又，如何从中筛选出主要的基本的非派生的相异性质．)
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复数的代数形式
把复数表示成a＋bi（a，bR）的形式，叫做复数的代数形式．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数课题引入
1．复习复数概念，强调复数是“实数部分”与“虚数部分”的复合体，让学生充分认识“复数”是一种二元化的记数形式的数，说明与复数有关的问题，必然要从构成复数的两个部分着手进行研究，为了今后便于叙述和讨论，分别称它们为复数的“实部”和“虚部” ．
2．紧扣“实部”和“虚部”，直接分析以下有关的概念．
3．规定复数记法中，“实部”写在前面，“虚部”写在后面——有序的“实数对”
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复数知识系统及其结构
复数
实数
虚数单位i
i的性质
负数开平方
虚数概念
复数相等、共轭复数与向量
虚部
实部
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网选择题2
复数z满足，则的最大值是（ ）
(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3
答案：A本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数的分类
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网复数复习课教案1
教学目的
(1)使学生理解复数集与实数集的相互联系与区别，进一步弄清复数的有关概念．
(2)使学生掌握解复数问题的基本思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力．
教学过程
师：在作业中，我看到有的学生对下面问题的证明：
[例1] 求证|z1＋z2|2＋|z1－z2|2=2|z1|2＋2|z2|2．
证明 |z1＋z2|2＋|z1－z2|2
=(z1＋z2)2＋(z1－z2)2
①
②
③
=2|z1|2＋2|z2|2．
④
这种证法对不对呢？错的话，错在什么地方呢？
生：第一步就错了，因为|z1＋z2|2与(z1＋z2)2不恒等．最后一步也错了．
师：错在第①、④两步．这两步实际上运用了|z|2=z2．这个式子当z∈R时是正确的，但当z∈C且z R时，这个式子就不正确了．因为左边是一个实数，而右边却不一定是一个实数．
(板书．)
实数的某些性质，复数也具备．但实数的有一些性质，复数却不具备．因此我们要注意实数与复数的联系与区别．
另外，这是一个涉及复数模的命题，怎样证明这道题呢？
(学生口答，教师板书．)
证明 设z1=a1＋b1i，z2=a2＋b2i，则
|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
=|(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)|2＋|(a1＋b1i)－(a2＋b2i)|2
=|(a1＋a2)＋(b1＋b2)i|2＋|(a1－a2)＋(b1－b2)i|2
=(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＋(a1－a2)2＋(b1－b2)2
=2|z1|2＋2|z2|2．
师：上面的证法是借助于复数的代数表示形式来解决问题的．通过这个例题，我们是否可以总结出这样一个数学方法，即证明有关复数z的命题，可采用设z=a＋bi，运用复数运算法则和实数有关性质，通过计算来证明．这是一个重要的方法．用这个方法可以证明下述命题成立：
(1)|z1＋z2≤|z1|＋|z2|，
|z1·z2|=|z1|·|z2|，
还可进一步证明：
|z1＋z2＋…zn|≤|z1|＋|z2|＋…＋|zn|，
|z1·z2·…·zn|=|z1|·|z2|·…·|zn|，
|zn|=|z|n．
面的公式．
|z1＋z2|2=？ |z1－z2|2=？
(学生推导公式，略．)
师：应用上面的公式就可以证明例1．
证明 |z1＋z2|2＋|z1－z2|2
这个例题我们用了两种证法：一种是运用复数的代数形式，设z=a＋bi，根据复
数四则运算的法则，实数的有关性质，通过计算推出结论；另一种是运用公式|z|2=
方法用得适当，可以简化证明过程．请看下面问题．
[例2] 已知z1、z2∈C，z1z2=0，求证z1、z2中至少有一个是0．
这个问题怎么解？
生：我打算用反证法来证明．假设z1、z2都不是0，即z1≠0，z2≠0，那么两个都不是0的数的积不等于0，也就是z1·z2≠0，这与已知z1z2=0矛盾，所以z1、z2至少有一个是0．
师：这种证法对不对呢？错在什么地方呢？
(学生议论纷纷，教师启发．)
师：原命题与逆否命题有什么关系？
生：是等价的．即同真同假．
师：这位同学的证法犯了逻辑错误．他在逆否命题未得到证明的情况下，用逆否命题去推证原命题成立．这也是很多同学易犯的错误．现在我们进一步来分析这个命题的条件和结论．
下面我们要证明在复数集中这个性质也成立，即当z1、z2∈C时，命题成立．
z2=0，或z1=0，z2=0．
(4)这个习题可不可以用例1的两种方法证明呢？
(学生思考、讨论、口答，教师板书．)
证明 设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i， 则
z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)
=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i
=0．
①、②两式平方相加，得
∴ a1=b1=0 或 a2=b2=0．
因此， z1=0 或 z2=0．
师：在上述证明中得出①、②两式时，还可以用讨论的方法得出a1=b1=0或 a2=b2=0，进而得出z1=0或z2=0．于是又得到下面的证明．
证明 ……
当b1=0时，有z1=0；
当b1≠0时，可得a2=b2=0，即z2=0．
综上所述，得出z1=0或z2=0
|z2|的等式，从而由|z1|=0或|z2|=0得出z1=0或z2=0的结论呢？
(学生思考、口答，教师板书．)
证明 ∵ z1z2=0，
|z1|2·|z2|2=0．
∴ |z1|=0 或 |z2|=0．
因此z1=0或z2=0．
师：很好！这个证明方法，运用了共轭复数的运算性质．
生：还可以有下面的证法．
证明 ∵ z1z2=0，
∴ |z1z2|=0，
|z1|·|z2|=0，
∴|z1|=0 或 |z2|=0，
即 z1=0 或 z2=0．
师：这种证法运用了复数模的运算性质．上述证明方法都是采用综合法中的直接证法．可不可以用反证法、分析法证明呢？
(学生练习用反证法、分析法证明此题．)
师：(小结)在证明有关复数z的命题时，常采用这样的方法，设z=a+bi，运用复数运算法则和实数有关性质，通过计算得出证明；涉及复数的模的有关问题，可考虑
下面布置作业：
1．用代数法证明|z1+z2|≤|z1|+|z2|，|z1·z2|=|z1|·|z2|．
2．用数学归纳法证明|z1+z2+…+zn|≤|z1|+|z2|+…+|zn|．
3．将例2中的证法二改为反证法．
自我评述
(1)实数集扩充到复数集以后，要注意在两个不同数集内考虑问题的联系与区别，有些问题在复数集中比实数集中要复杂．
在教材中，解复数问题的一些重要方法，是通过习题给出的．因此，教学中应充分注意习题的作用．
本节课将教材中的两个习题作为例题，在学生已经做过的基础上，给予分析和总结，重点阐述了下述两种证明有关复数命题的方法：一是设z=a+bi，使用复数的运算法则和实数有关性质，通过计算得出证明的方法；二是证明有关复数模的命题，应
的方法．
(2)通过分析学生的错误，再讲述正确的方法．在讲述正确方法时，着重分析条件与结论间的关系及证明的思路．这样做，便于学生接受，从而提高学生分析问题的能力．
一个习题可能有多种解法．应该从条件与结论的几种不同途径的联系进行分析，自然地引出多种解法．
在一个习题的多种解法中，有的较繁，有的较简．不能简单地认为较繁的方法是不好的而不去分析讲解．例如本节例2的证法二是较繁的，但由于它涉及到用分类去证明，这种方法有助于提高学生的逻辑思维能力，是不能不讲的．
在教学中讲解例题，重点不是讲怎样解，而是为什么这样解，从而达到会解一类题，提高分析问题的能力．
(3)学生在证明平面几何、立体几何问题时，比较注意推理的严谨性，每一步都能考虑是根据哪个定义、公理、定理进行的．但在证明代数问题时，有些学生不注意证明过程的严谨性，不知道推理过程的根据，只知顺其自然地推导下去，教师在讲解代数问题时，应引导学生搞清推导每一步的根据．代数课程同样也是培养学生逻辑思维能力的有力工具．
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复数的概念习题2
一、判断题每道小题1分共5分)
1. 复数i 3的共轭复数是i+3 ( )
2. 若a∈C，则a2≥0 ( )
3. 复数z=3+i对应复平面上点M(3，i) ( )
4. 原点是实轴和虚轴的交点 ( )
5. 复平面上虚轴的长度单位是i ( )
二、单选题(1-13每题3分, 14-17每题4分, 共55分)
1. 用a+bi(a，b∈R)表示纯虚数与实数的并集时，a，b应受到的限制条件是[ ]
A．a=0 B．b=0 C．ab=0 D．a=0 b≠0
2.
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3. 如果(2x y)+(x+3)i=0(x，y∈R)则x+y的值是[ ]
4. 复数m(m-2)+(m2-4)i所对应的点在虚轴上，则实数m的取值集合是 [ ]
A．{0，2} B．{±2} C．{0} D．{2}
5. 下列语句错误的是[ ]
A.两个复数的模可以比较大小，但不全是实数的两个复数不能比较大小
B.“一个复数的共轭复数就是它本身”，当且仅当这个复数是实数
C.如果复数z1，z2（z1≠z2）的模相等，那么z1，z2互为共轭复数
D.复数集c={a+bi｜a、b∈R}与有序实数对（a，b）的全体所组成的集合成一一对应
6.
7. 若(m2 3m 4)+(m2 4m 5)i是纯虚数，则实数m的值[ ]
A． 1 B．4 C． 1或4 D．不存在
8. 复数(1 x)+(log3x 1)i所对应的点位于复平面中实轴的下方，则实数x的取值区间是[ ]
9. 复数z=a+bi(a，b都是实数)是非零复数的充要条件是[ ]
A．ab≠0 B．a、b中最多有一个不为零
C．a≠0或b≠0 D．a≠0且b≠0
10. 如果复数(x3 4x)+(log2x 1)i所对应的点落在虚轴上，则实数x的取值集合是[ ]
A．{0， 2，2} B．{0，2} C．{2} D．Φ
11. 复数(2x 3)+yi与(y 2)+3xi所对应的点关于虚轴对称，则实数x，y的取值依次为 [ ]
A．3，1 B． 1， 3 C．1，3 D． 3， 1
12.
13.
14. 如果虚数( x2+x+6)+(lgx)i的实部为正数，则x的取值区间是 [ ]
A．( 2，3) B．(0，3) C．(0，1) D．(0，1)∪(1，3)
15.
三、填空题每道小题2分共6分)
1. 形如__________的数，叫做复数．
2. 已知z=(sin 1)+(sin cos )i，则当且仅当 =______时，z为纯虚数．
3. 若复数(lgx 1)+(y 3)i(x，y∈R且x 0)所对应的点位于复平面虚轴的左半平
面，则x，y的取值范围是________________．
四、解答题每道小题5分共10分)
1. 若x，y∈R，求下式中x，y的值：x2 3x+2+(y2 5y+6)i=0
2. 当实数m取什么值时，复数(m2 3m+2)+(m2 4m+3)i是
(1)实数 (2)纯虚数 (3)零
复数的概念习题2答案
一、判断题
1. ×
2. ×
3. ×
4. ×
5. ×
二、单选题
1. C
2. C
3. D
4. C
5. C
6. C
7. B
8. A
9. C
10. D
11. C
12. D
13. C
14. D
15. D
三、填空题
1. a+bi(a，b∈R)
2.
3. 0 x 10，y∈R
四、解答题
1.
2. (1)m=1或m=3
(2)m=2
(3)m=1
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复数练习与讲评
练习的讲与评要紧扣概念，抓住复数的任何问题必须从实部、虚部一一对有序的实数对——这两方面同时考虑才能解决．课本练习一般不难，但也要对“特殊问题”予以注意，因为特殊问题一般与概念定义时的形式不同，更能考察学生对概念理解的程度．
例如P179 练习6中
（4）－i－3，对应的点不是（－1，－3）．
（5）5，对应的点是（5，0）
（6）－3i，对应的点是（0，－3）不是（0，3）．
P180练习8题中
的共轭复数不是．应提醒学生将问题按复数表示的标准形式进行整理后，再按概念的要求回答问题．
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虚数
对于复数a＋bi（a，bR），当b≠0时，Z叫做虚数．
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复数知识讲解
1．由虚数单位i的性质，可知出现了形如a + bi（a、b∈R）的数，叫作复数，其中实数a，b 分别叫作复数a + bi（a、b∈R）的实部和虚部不难发现复数集的构成如下：
若z = a + bi（a、b∈R）
b = 0，z = a∈R 实数
z = a + bi
（a、b∈R） b≠0
注意：z为纯虚数时，必须满足两个条件：b≠0且a = 0，应特别强调b≠0．
2．z = a + bi（a、b∈R）称为复数时，只要求a、b∈R即可；称为“虚数”时，则要求a、b∈R且b≠0．
3．复数z = a + bi（a、b∈R）是什么样的数，完全由实数a与b的取值而定，为今后使用的方便，称a是复数z的实部，b叫做复数z的虚部（有的书称其为虚部系数）．
注意：复数z的“虚”部是b（i的系数）而不是bi！因为i是虚数单位，称bi为虚部，两个“虚”重叠是不必要的．
另外若只给出复数z = a + bi，而没有注明a、b是实数，则因为a或b可能也是复数（可能含有i），所以不能称a是z的实部，b是z的虚部！由此可知当给出复数z = a + bi
（a、b∈R）不是形式地附注，而是概念定义的需要．
4．复数的性质由它的实部与虚部确定，那么我们讨论与复数有关的任何概念时，必然用它的实部和虚部来定义．
（1）复数相等．
如果两个复数的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．
即复数z1 = a + bi，z2 = c + di（a、b、c、d∈R）则当且仅当： 时，z1= z2．或z1= z2 ．
注意：定义给出的是充要条件．
（2）共轭复数
当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（当虚部不等于0时也叫做共轭虚数）．
z = a + bi（a、b∈R）的共轭复数记为 ，．
又因为零的相反数是自己，所以若b = 0时，z = a，，即 ．（实数集就是自共轭的复数的集合）．
5．由复数相等我们知道，任何一个复数z = a + bi（a、b∈R），是由一个有序的实数对（a，b）唯一确定，而一个有序的实数对（a，b），刚好可以对应着直角坐标平面上的一个点Z（a，b），所以复数z = a + bi可以用点Z（a，b）来表示．
6．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴．实轴上的点与实部一一对应，虚轴上的点与纯虚数一一对应．
7．相等的复数对应着复平面上的同一个点，复数集与复平面上点集一一对应．两个共轭复数对应的复平面上的两点关于实轴对称．
8．本节重要概念多，教学方法必须讲、练结合，在具体应用中理解、掌握概念．但课本只给了一个正规的例题，但课本后的概念应用练习却有10个练习，因此要把课本后的练习中的多数习题（尤其是为理解概念而设计的问答题）当作课内的练习例题予以处理．
a = 0时，z = bi 纯虚数
a≠0时，z 是非纯虚数．
虚数
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共轭复数及其性质
共轭复数
当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
共轭复数的性质
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复平面内表示两个互为共轭复数的点z与z关于实轴对称
为纯虚数的充要条件是
为实数的充要条件是z=z
22=21+22本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
复数的一个性质的应用
设z1，z2∈C，若z1 = z2，则|z1| = |z2|．这是复数的一个简单性质．利用它可给某些高考复数题以简捷的解答．
1．求复数值
(95年上海)
又 |z1| = |z2| = 1，z1＋z2－(z1＋z2) = 0，
∴ z1，z2，－(z1＋z2)在复平面上的对应点均匀地分布在单位圆上．而－(z1＋z2)是1的一个立方根，由复数方根的几何意义知z1，z2是1的另外两个立方根．
2．解复数方程
(92年高考)
∴ |z|2 = 1，|z|2 = 10，
代入方程得 z1 = －1，z2 = －1＋3i，经检验知它们是原方程的解．
例3 设a≥0，在复数集C中解方程
z2＋2|z| = a
(90年高考)
解 方程变形为z2 = a－2|z| (*)
∴ z为实数或纯虚数．
(1)若z为实数，则|z|2＋2|z|－a = 0
(2)若z为纯虚数，则a－2|z|＜0，对(*)式两边取模得 |z|2－2|z|＋a = 0．
3．求复数的模
(83年高考)
4．求辐角
(93年高考)
5．证复数恒等式
证明
|z1＋A||z2＋A| = |A|2．
(87年高考)
6．确定三角形形状
所对应的点分别为P，Q．证明：△OPQ为等腰直角三角形(其中O为原点)
(97年高考)
由此得OP⊥OQ，|OP| = |OQ|，故△OPQ为等腰直角三角形．
7．求复数轨迹方程
例8 设i为虚数单位，复数z和ω满足
求证：|ω－4i|的值是一个常数，并求出这个常数．
(89年广东)
分析 欲证|ω－4i|为定值，即证ω的对应点W的轨迹是以(0，4)为圆心的圆．
8．求三角函数值
求 tan(α＋β)的值．
(87年广东)
解 ∵ |z| = |u| = |z＋u| = 1，
9．求解圆锥曲线
例10 设p≠0，实系数一元二次方程z2－2pz＋q = 0有两个虚根z1，z2，再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2．求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴长．
(84年高考)
解 ∵ z2－2pz＋q = 0，
∴ 点Z1，Z2关于实轴对称，且椭圆的短轴在实轴上．由椭圆过原点知
短轴长 = 2b = |z1＋z2| = 2|p|；
综上可知，利用上述性质解决某些问题，思路明朗，方法简捷，避免了设z = x＋yi(x，y∈R)通过解方程或不等式求解的繁杂运算，提高了解题速度．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网解答题2
已知：，而是纯虚数，z1≠－1．求复数z对应的点Z的轨迹．
答案：
设 （b∈R，b≠0），则．
，
∴
设z = x＋yi，（x，y∈R），则
消去b，得y2 = －4（x－1）（y≠0，x≠1）
故轨迹是抛物线但不含顶点（1，0）．复数的加减运算习题3
一、判断题( 1分 )
若复平面上动点P对应的复数z满足方程｜z z1｜+｜z z2｜=2a(z1、z2为复数常数，a o)，则P点的轨迹是椭圆．……( )
二、单选题(第1小题 1分, 2-7每题 3分, 8-9每题 4分, 共 27分)
1. 复平面上点P对应的复数z满足方程｜z-3｜-｜z+3｜=8则P点的轨迹是[ ]
A．线段 B．椭圆
C．双曲线右支 D．双曲线左支
2. 已知z1，z2∈C．则z1+z2∈R是z1、z2为共轭复数的[ ]
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3. 已知复数z满足│z+3+4i│=2，则│z│的最大值是[ ]
A．2 B．3 C．5 D．7
4.
5.
6.
7. 集合M={z││z+2│+│z-2│=6，z ∈C }，N={z││z+1│=1，z ∈C}的关系是[ ]
A．M B．N C． D． ∩
8.
9. 两个非零复数z1、z2满足不等式│z1+z2│≤│z1│+│z2│中等号成立的充要条件是[ ]
A．z1=z2 B．z1=-z2
C．│z1│=│z2│ D．z1、z2对应的向量方向相同．
三、填空题(1-4每题 2分, 5-6每题 4分, 共 16分)
1. 已知2z+│z│=3+6i，则z=___________；
2. 已知椭圆的两个焦点对应的复数是-1+3i和 1 i，复数2+3i在椭圆上，则椭圆的复数形式的方程是________________．
3. 双曲线的两个焦点对应的复数是1+5i和1 i，双曲线上一点对应的复数是1+i，则双曲线下支方程的复数形式是___________________________．
4. {z││z+5i│+│z-5i│=26}∩ {z││z│=13}=__________．
5. 已知│z│=1，则1- i +z的模的最大值是_______，最小值是_______．
6.
四、计算题(每道小题 5分共 10分 )
1.
2. 计算：0.2i (0.3+0.4i)+(0.6 0.7i)
五、解答题(1-3每题 5分, 第4小题 7分, 共 22分)
1. 已知复数z1=2 i，z2=3+4i
(1)求z1 z2的模．
(2)在复平面内画出与复数z1，z2对应的向量．
2.
3.
复数的加减运算习题3答案
一、判断题
1. ×
二、单选题
1. D
2. B
3. D
4. D
5. B
6. C
7. D
8. C
9. D
三、填空题
1. 3i
2. │z+1-3i│+│z+1+i│=8
3. │z (1+5i)│ │z (1 i)│=2
4. {13i， 13i}
5.
6. 5 i； 5+i．
四、计算题
1.
2. 0.3 0.9i
五、解答题
1.
2. 4 i
3.
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复数的向量运算习题2
一、判断题( 1分)
二、单选题每道小题3分共24分)
1.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2.
A． 2+5i B．2 5i
C． 2 5i D．2+5i
3. 下列各式中，唯一正确的是[ ]
A．5i 4i B．i2 i
C．│5+2i│ │ 1+7i│ D．│3+4i│ 4
4. 已知z1=2abi，z2=a2+b2i (a、b∈R)，又a、b满足方程a2+(b 2)i=b+(2a 3)i，
则│z1│ │z2│是[ ]
5. 若x∈R，不等式│2 x 1+4i│≤5的解集是[ ]
A．[ 3，3] B．[ 5，5]
C．[ 2，+∞] D．[ 2，4]
6.
7. 若(a 3)+4i (a∈R)在复平面上所对应的点在以原点为圆心，以5为半径的
圆内，则a的取值区间是[ ]
A．( 3，3) B．(0，3)
C．(0，6) D．( 3，0)
8.
A．( ∞，1] B．(0，3)
C．( ∞，0) D．(1，3)
三、填空题第1小题2分, 第2小题3分, 第3小题4分, 共9分)
1. 若z∈C，且│z│=0，则z所对应的向量是________________．
2.
3. 若m∈R，且│log2m+3i│=5，则m的值是___________．
四、解答题( 5分)
复数的向量运算习题2答案
一、判断题
1. ×
二、单选题
1. B
2. C
3. D
4. B
5. C
6. D
7. C
8. C
三、填空题
1. 零向量
2. 24 7i，25，24+7i
3.
四、解答题
1.
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