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3.1.2 圆周角
教学目标
【知识与技能】
1.理解圆周角的概念及圆周角和圆心角的关系。
2.会进行有关圆周角问题的简单推理和计算。
【过程与方法】经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，加深对分类讨论和由特殊到一般的转化等数学思想方法的理解。
【情感态度与价值观】在探索过程中体验到数学思想方法，进一步提高探究能力和动手能力，通过合作学习，培养学生合作精神。
教学重点和难点
【重点】圆周角概念和圆周角定理。
【难点】圆周角定理的证明。
教学过程
一 创设情境，导入新课
1.如图，(1) ∠BOC是什么角？它对那一段弧？（2）∠BAC有什么特点？
(3) ∠BOC与∠BAC有什么异同？
引出定义：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角。
思考：如图所示的角哪些是圆周角？
2. ∠BOC与∠BAC的大小有什么关系呢？下面我们来探究这个问题。
二合作交流，探究新知
1.探究圆周角定理
画一个圆，在圆周上任意取点A、C、D连接AB、AC、CB、CD、DB、DC，量出∠BOC,∠A,∠C,∠D的度数。你发现了什么？
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
你能证明这个猜想吗？
分析：圆心和圆周角的位置只有三种可能，（1）圆心在圆周角内部，（2）圆心在圆周角的一边上，（3）圆心在圆周角外部。下面就分这三种情况来进行分析。
情形一 圆周角的一边通过圆心
如图 （1）圆O中，∠BAC的一边AB通过圆心O
由于OA=OC，因此∠C=∠BAC， 从而∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC
即∠BAC= ∠BOC
情形二 圆心在圆心角的内部
如图，圆O在∠BAC的内部．作直径AD ,根据情形一的结果得:
从而，
=_______=____________.
情形三 圆心在圆周角的外部．
如图，圆心O在∠BAC的外部(由学生独立完成证明过程)
证明:作直径AD
因为：
归纳：定理2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2.圆周角定理的拓展
思考：
(1)如图，点A、B、C、D、E在同一个园上，则∠A, ∠B,∠C有什么关系？
为什么？
（2）如图，AB是直径，点C在圆上，则∠C=____°。为什么？
由此你能得到什么结论？
归纳：
在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等.
直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
三 应用迁移，巩固提高∠DAC=120°
1.圆周角的概念问题
下面说法正确的是（ ）
A 顶点在圆上的角是圆周角。 B 等弦所对的圆周角相等。
C 等弧所对的圆周角相等。 D 90°的角所对的弦是直径。
2.利用圆周角定理计算
例2.填空：
（1） 如图，∠BOC=70°,则∠BAC=___°,(2) ∠DAC=120°则∠BOC=____°
(1) 如图，∠AOC=100°,则∠ABC=____°(4)圆中一条弦的长等于半径，这条弦对的圆周角等于_____度。
3.圆周角定理在实际生活中的应用
例3.木工师傅为了检图所示的工件的凹面成半圆是否合格，他只用了只用了一把曲尺（它的角是直角）即可。你知道他是怎么做的吗？
4.利用圆周角定理证明几何问题
例4.如图，已知∠APC=∠CPB=60°,求证：△ABC是等边三角形。
四 总结反思，拓展升华
这节课主要学习了圆周角的概念和圆周角定理及其应用。
作业：P 70 7,7,9
补充：如图，E是弧BC的中点，点A在圆O上，AE交BC于D，求证：
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义务教育课程标准实验教科书
SHUXUE 九年级下
湖南教育出版社
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
1、如图，∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E，
∴____________,______________
(依据是： ）
复习提问：
2、如图，∵∠AOB=∠COD,
则___________,_________依据是：_
AE=BE
垂直弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧。
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
新课引言
如图，∠BAC有什么特点？
·
O
C
B
A
∠BAC的顶点A在圆上，它的两边都与圆相交.
观
察
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角．
辩一辩 图中的∠BAC是圆周角吗
圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从团旗上的图案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角．同一条弧所对的圆周角和圆心角的度数有什么关系呢？这节课我们来探究这个问题。
E
·
A
O
D
B
C
·
O
A
C
B
同一条弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？
∠BAC= ∠BOC
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
如图，
探究活动
这是为什么呢？
主题一、同一条弧所对的
圆周角和圆心角的关系
动脑筋
利用定理2，以及圆心角与所对的弧的关系，你能说出下述结论成立的道理吗？
1、在同圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ ∠ C= ∠AOB,
∠D= ∠AOB
∴ ∠C= ∠D
∠A= ∠BOC,
∠F= ∠DOE
∴ ∠A= ∠F
F
2、直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径.
若BC是直径，则∠BOC=180 °
又因为∠A= ∠BOC,
∴ ∠ A=90 °
若∠A=90 °
则∠BOC=2∠A
=180 ,
∴ BC是直径。
主题二、应用拓展
【例1】下面说法正确的是（ ）
A 顶点在圆上的角是圆周角。
B 等弦所对的圆周角相等。
C 等弧所对的圆周角相等。
D 90°的角所对的弦是直径。
C
例2.填空：
(1)如图(1)，∠BOC=70°,则∠BAC=___°;
(2)如图（2） ∠DAC=120°则∠BOC=____°;
(3)如图（3），∠AOC=100°,则∠ABC=____°;
(4)圆中一条弦的长等于半径，这条弦对的圆周角等于_____ 。
35
120
130
30
【例3】如图，一个工件要求是半圆，现在只有一个直角三角板，你能用这个三角板检查这个工件是否为半圆形工件吗？
方法：检查图中圆周角是否为直角，若是直角，这个工件就是半圆。
例4.如图，已知∠APC=∠CPB=60°,
求证：△ABC是等边三角形。
【证明】∵∠APC=∠ABC=60 =∠CPB=∠BAC
∴∠ACB=180 -∠ABC-∠BAC=60
∴△ABC是等边三角形。
1.如图,AB是圆O的一条直径, ∠CAB=65°,
求∠ABC的度数
练习
C
·
B
A
O
解:
因为AB是直径
所以∠C = 90°
所以△ABC为直角三角形
∠ABC+ ∠CAB= 90°
∠ABC+ ∠CAB= 90°－ ∠CAB = 90°－ 65°= 25°
C
·
·
A
O
M
D
B
⑴∠ACD与∠ABD相等吗 为什么
2. 如图在圆O中,弦AB与CD相交于点M.
⑵ ∠CAB与∠CDB相等吗 为什么
⑶ △ACM与△DBM相似吗 为什么
∠ACD=∠ABD
同弧所对的圆周角相等.
∠CAB=∠CDB
同弧所对的圆周角相等.
∵∠ACD= ∠ ABD
∠CAB=∠CDB
∴△ACM∽△DBM
小结
1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。一条弧只能对一个圆周角，但可以对很多的圆周角，所以利用这条性质，圆心角能起桥梁作用把同弧所对的圆周角的关系架接起来。
2、同圆（或等圆）中同弧或等弧所对的圆周角相等。要判断圆周角相等，往往考察这些圆周角是否是同一条弧或相等的弧所对的。
3、90 的圆周角所对的弦是直径。直径所对的圆周角是直角。遇到直径所对的圆周角，要想到直角三角形的性质。
作业：
P70A 7,8,9,
