本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
一个数列问题的推广及应用
问题：如果成等差数列，成等比数列，且都是正数，
求证：
该题出自高中《代数》下册（必）第129页，本文试图对它作两方面的推广，并予以应用.
1．问题的推广
因正数成等比数列，必有成等差数列，故问题的等价说法是：
如果与分别成等差数列，那么
于是可推广，得
定理1 如果和P、Q、R分别是两个等差数列的第、、项，则
证明：设它们的公差分别是与，则
左边
右边.
考虑到自然数列也是等差数列，便有
推论1 如果P、Q、R是某等差数列的第项，则
另外，问题的结论可改写成：
于是又得：
定理2 若和分别是一个等差数列和一个等比数列的第项，则
.
证明：由推论1知成立，设定理中等比数列的公比为，则
左边右边.
仍然注意自然数数列，有
推论2 若分别是等比数列的第项，则
注记 如果都是正数，则定理2和推论2的结论均可相应地写成问题的结论的形式.
2．应用举例
例1．等差数列中，设求
解：由推论1，得
∴
如令则，用同样的方法可速解《代数》下册第48页第5题.
例2．已知等差数列满足记求数列的前30项之和.
解：先求，由推论1，有
从而=
∴
例3．若同时是一等差数列和一等比数列的第项，求证：
证明：视由定理2直接得证.
例4．一个等比数列的首项为公比t＞0，P,Q,R分别是第项，
则
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
略解：由推论2有取以为底的对数知故选D.
例5．10，11，12能否同时成为一等比数列的三项，试说明理由.
解：假设10，11，12是一等比数列的第项，由推论2有（设＜＜
∴
上式左端不能等于10的幂，从而矛盾，故10，11，12不能同时成为一等比数列的三项.
≤20），
≥21），
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充要条件教案
教学目标
1．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件3个概念，并能在判断、论证中正确运用．
2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．
教学重点与难点
正确理解3个概念，并在分析中正确判断．
教学过程
师：上堂课后留了一道题：给出原命题“若A，则B”(板书)，写出它的逆命题、否命题、逆否命题．请同学们回答．
生：(口答，师板书)
原命题：若A，则B．
逆命题：若B，则A．
否命题：若非A，则非B．
逆否命题：若非B，则非A．
师：请同学们构造4个原命题，写在投影片上．要求是：
(1)原命题成立，逆命题不成立；
(2)原命题不成立，逆命题成立；
(3)原命题成立，逆命题成立；
(4)原命题不成立，逆命题也不成立．
(师巡视后，选4位同学的投影片待用．以下讨论将随机应变，下面写的只是一种设想．)
师：(取第一位同学的投影片定格，并板书．)
原命题：如果 x=y，那么x2=y2．
师：这个原命题成立吗？
生：(口答)成立．
师：这个原命题的逆命题是什么？是否成立？
生：(口答)这个原命题的逆命题是：如果x2=y2，那么x=y．不成立．
师：请举一个逆命题不成立的例子．
生：(口答)例：取 x=1，y=-1．满足x2=y2，但x≠y．
师：如果我们把原命题的条件“x=y”记作A，把原命题的结论
称A是B的充分条件，B是A的必要条件．由于逆命题不成立，即
这个例子的原命题成立，但它的逆命题不成立．即“x=y”是“x2=y2”的充分但不必要条件．
师：(取第二位同学的投影片定格，并板书．)
原命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等．
师：这个原命题成立吗？
生：(口答)不成立．
师：请举一个例子．
生：(板书)
因为AA′∥BC，所以S△ABC=S△A′BC．但这两个三角形不全等．
师：请叙述这个原命题的逆命题，并说明是否成立．
生：(口答)
如果两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等．
这个逆命题成立．
师：如果原命题不成立，而逆命题成立．我们说原命题的条件对结论的成立是必要但不充分的．也就是说：“两个三角形面积相等”是“这两个三角形全等”的必要但不充分条件．把本例原命题的条件记作A，结论记作B．由于原命题不成立，而逆命题成立．即：A B，则称A是B的必要但不充分条件．
师：(取第三位同学投影片定格，板书．)
原命题：x2+y2=0，则x=0且 y=0．这个命题成立吗？
生：(口答)成立．
师：这个原命题的逆命题怎样叙述？是否成立？
生：(口答)“如果 x=0且 y=0，则x2+y2=0”．这个逆命题是成立的．师：如果原命题成立，逆命题也成立．我们说原命题的条件是其结论的既充分又必要的．本例中，把“x2+y2=0”记作A，把“x=0且y=0”
分且必要条件，简称A是B的充要条件．
师：(取第四位同学的投影片定格，并板书．)
原命题：如a＞b，则|a|＞|b|．
这个原命题成立吗？并说明理由．
生：(口答)不成立．例：a=-1，b=-2．满足a＞b，但不满足|a|＞|b|．师：请说出这个原命题的逆命题，并说明是否成立．
生：(口答)“如果|a|＞|b|，则a＞b”．不成立．例：a=-3，b=1．满足|a|＞|b|，但不满足a＞b．
师：如果把原命题的条件记作A，原命题的结论记作B．本例是
A B，则称A是B成立的既不充分又不必要条件．
现在我们总结一下，本节所讲叙的概念(板书．)
件，B是A的必要条件．
A B，称A是B的充分但不必要条件；
A B，称A是B的必要但不充分条件；
A B，称A是B的既不充分又不必要条件．
以上前两条给出了充分条件、必要条件、充要条件这3个概念；第3条给出了判断A是B的什么条件的依据．
现在请同学们回答：A B，B是A的什么条件？
生：(讨论后回答)B是A的必要但不充分条件．
师：请同学们阅读课本第50页，有关“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．
(投影或计算机操作显示)
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系：
1．曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形)．
师：我们把“曲线的方程”和“方程的曲线”看成条件A，把关系1、2看成B．它们都是A的必要条件．两者都满足了，A才具备充分性，即A是B的充要条件．如果两者缺一，譬如仅把关系1看成B，那么A是B的充分但不必要条件．为此，在定义“曲线的方程”和“方程的曲线”时，关系1、2缺一不可．实际上这也是一个充要条件问题，是我们数学中常见的等价转换问题．
现在请看以下例题：
例1 两条不重合的直线l1、l2(共同前提)．l1与l2的斜率分别为k1、k2，且k1=k2是l1∥l2的什么条件？
(学生讨论后回答)
生甲：两条不重合的直线l1、l2的斜率相等是l1∥l2的充要条件．
师：这个结论对吗？
生乙：不对．因为l1∥l2，有可能l1和l2的斜率不存在．故两条不重合的直线l1、l2的斜率相等是l1∥l2的充分但不必要条件．
师：生乙的回答很好．如何改变命题的条件(或结论)，使命题的条件是结论的充要条件呢？
生丙：把命题的结论改为“l1∥l2，且l1、l2都有斜率”即可．
例2 “0.1lgx2＞1”是“|x|＜1”成立的
[ ]．
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(学生讨论后回答)
例3 “三棱锥(底面是非正三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等”是“三棱锥的顶点在底面的射影是底面的内心”的什么条件？
生：(口答)是充要条件．
师：同学们再想一想．
生：是充分但不必要条件．
师：为什么？
生：因为顶点在底面的射影有可能是非等边三角形的旁心．
师：大家再讨论一下，这位同学的结论是否正确？
生：(讨论后回答)不正确．应该是必要但不充分条件．其理由是：把条件“三棱锥(底面是非等边三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等”看成A，“三棱锥的顶点在底面的射影是底面的内心”看成B．那么A B．理由是有可能三棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的旁心．所以，A是B的必要但不充分条件．
师：这位同学回答得很好．如何改变命题的条件，使其成为充要条件呢？
生：条件A是“三棱锥(底面是非等边三角形)的侧面和底面所成的二面角均相等，且顶点在底面的射影落在底面三角形内”即可．
[ ]
(同学们讨论回答)
例5 已知α是β的充要条件，S是γ的必要条件同时又是β的充分条件，试求α与γ的关系．
师：请同学们把解答写在投影片上．
(师巡视后，选错误及正确解答展示，最后把正确解答定格．)
解：由已知得
所以γ是α的充分条件，或α是γ的必要条件．
例6 (投影展示)
A B A是B的什么条件
n是自然数 n是整数
x是实数 x是有理数
x＞5 x＞3
m、n是奇数 m+n是偶数
a＞b a2＞b2
四边形对角互补 四顶点共圆
△ABC≌△A′B′C′ △ABC∽△A′B′C′
α=45° tanα=1
x∈A且x∈B x∈(A∩B)
ab≠0 a≠0
(x+1)(y-2)=0 x=-1或y=2
m是4的倍数 m是2的倍数
方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实根 Δ=b2-4ac=0
x=1或x=-3 x2+2x-3=0
a2-b2=0 a＝0
(学生兴趣盎然，数学交流达到了高潮，在争论中得到正确答案．)
师：今天我们学习了充分条件、必要条件、充要条件3个概念，并学会了判断条件A是B的什么条件．也为今后我们解决数学问题打下了等价转化的基础．今天的作业：
1．第58页练习1，2，3，4．
2．第61页习题四，9．
3．构造16个小题，代数、三角、立体几何、解析几何各4个．分别为A是B的充分但不必要条件、A是B的必要但不充分条件、A是B的充要条件、A是B的既不充分又不必要条件．
设计说明
1．“充要条件”是高中数学中一个重要的数学概念，也是学生解决数学问题时进行等价转换的逻辑基础．在实际教学中，这一节一般有两种处理方法：第一种是，在高一讲授或高二解析几何起始课时讲授，俗称“前充要”；第二种是按教材编排，放到解析几何第二章讲授，俗称“后充要”．本节教案为“后充要”设计．
2．由于“充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”紧密相关．而学生在初中都了解到原命题与逆否命题、否命题与逆命题是等价的．为此，本教案着重从“原命题、逆命题”与“充要条件”的联系进行分析，从而没有提及否命题和逆否命题．在实际教学中，可将否命题与逆否命题容纳进去．
3．本教案有悖于教材，仅从A是B的充分但不必要条件，必要但不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件4个方面进行明确叙述，便于学生进行正确的判断．
4．由于这节课概念性、理论性较强．一般的教学使学生感到枯燥无味．为此，激发学生的学习兴趣是关键．把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学生为主，让学生自己构造数学题，自我感到数字美．从而培养学生的数学能力，为强化等价转换这一数学思想打下良好的逻辑基础．
5．充要条件这节课是个难点，也是高中数学的基础．如有可能，不妨先给学生介绍点简易逻辑知识．譬如，什么叫命题？用语言、符号或式子表达的，而且能判断真假的语句叫做命题．两个命题p、q用逻辑联词“且”联结起来构成一个新命题，称为联言命题．联言命题的真假，只有当p、q同真时，才是真命题．两个命题p、q用逻辑联词“或”联结起来构成一个新命题，称为选言命题．选言命题的真假，如p、q中至少有一个是真命题，则这个选言命题是真命题，只有当p、q同时是假命题，这个选言命题才是假命题．这种逻辑知识对学生判断是十分有用的．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充分条件与必要条件
充分条件与必要条件是重要的数学概念，主要讨论命题的条件和结论的关系，它是“简易逻辑”这一单元学习内容的重点和难点．
一、充分条件与必要条件
如果某几个条件能分别地、独立地产生同一结论，那么其中每一个条件都是结论的充分条件．
注意：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q．如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件．
如果某几个条件合在一起，才能产生某一结论，那么其中每一个条件都是某一结论的必要不充分条件．
注意：①“q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p．如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6整除)．
二、充要条件
若互逆或互否的两个命题同真，则它们的条件和结论互为充要条件．
类命题常常用“当且仅当”或者“必须并且只需”等词句来叙述．“p是q的充要条件”常常说为“p当且仅当q”或者“p必须并且只需q”．
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：a，b不全是偶数；q：a＋b不是偶数．
(2)p：a，b，c∈R，b2－4ac≥0；q：关于x的二次方程ax2＋bx＋c=0有实数根．
(3)p：两个三角形相似；q：两个三角形等积．
分析 (1)a，b不全是偶数，即a，b二数“一奇一偶”或“同奇”，所以a
所以p是q的既不充分又不必要条件．
例2 已知A是B的充分条件，B是C的必要条件，C是D的必要条件，B是D的充分条件，试问：(1)A是C的什么条件？(2)B是C的什么条件？
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充要条件教案
一、教学目标
(一)知识教学点
通过这节课的教学，要求学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用．
(二)能力训练点
充要条件是重要的数学概念．它主要讨论命题的条件和结论的关系．通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
(三)学科渗透点
运用充分、必要、充要条件以及轨迹的纯粹性、完备性等知识，阐明曲线与方程在坐标系建立的条件下是怎样既对应又统一的，怎样互相转化的，在进一步理解曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系的过程中进行辩证唯物主义思想教育．
二、教材分析
1．重点：充分条件、必要条件和充要条件的概念．
(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)
2．难点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用．
(解决办法：先要求学生分清什么条件是什么条件的充分条件或必要条件，同时要注意一些常见命题的正确性．)
3．疑点：证明有关充要条件的命题．
(解决办法：先要学生分清充分性、必要性，再进行证明，要加强这方面的训练．)
三、活动设计
1．活动：提问、讲授、引导练习．
2．教具：小黑板．
四、教学过程
(一)复习引入
教师概述一下命题的四种形式，并指出原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．而命题的四种形式与条件的充分性和必要性有密切联系，所以本节课着重讨论充分条件、必要条件和充要条件三个概念．课题是“充要条件”．
(二)充分条件
1．问题
命题“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”中，条件和结论各是什么？条件和结论是什么关系？
请一同学回答．条件是“有两个角相等”，结论是“三角形是等腰三角形”，条件是结论的充分条件，即“有两个角相等”是“三角形是等腰三角形”的充分条件．
2．定义
如果A成立，那么B成立，即A B，就称条件A是B成立的充分条件．也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了．
立，可以推得A也不成立，那么同样可得条件A是B成立的充分条件．
3．例题1(列举4个例子，用一小黑板事先写好，请4名同学完成．)
(1)如果x=y，那么x2=y2，因此x=y是x2=y2的______条件；(充分)
(2)如果两角是对顶角，那么这两角相等，因此，两角是对顶角是这两角相等的______条件；(充分)
(3)如果A=B，那么sinA=sinB，因此A=B是sinA=sinB的______条件；(充分)
(4)如果不重合的两条线l1、l2的斜率k1=k2，那么l1//l2，因此k1=k2是l1//l2的______条件．(充分)
(三)必要条件
1．问题
命题“如果三角形是等腰的，那么它有两个角相等”中，条件和结论是什么？条件和结论有什么关系？
请一同学回答．条件是“三角形是等腰的”，结论是“有两个角相等”，“三角形是等腰三角形”是“它有两个角相等”的充分性．接着追问：“有两个角相等”是“三角形是等腰三角形”的什么条件？引导学生回答：是必要条件．
2．定义
如果B成立，那么A成立，即B A，就称条件A是B成立的必要条件．也就是说，要使B成立，就必须A成立．
立，可以推得B也不成立，那么同样可得条件A是B的必要条件．
3．例题2(列举4个例子，用一小黑板写好，请4名同学完成．)
(1)如果x=y，那么x2=y2，因此x2=y2是x=y的______条件；(必要)
(2)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等，因此，两个三角形面积相等是它们全等的______条件；(必要)
(3)如果A=B，那么sinA=sinB，因此，sinA=sinB是A=B的______条件；(必要)
(4)如果两条有斜率的直线l1//l2，那么它们的斜率k1=k2，因此，k1=k2是l1//l2的______条件．(必要)
(四)小结
学习充分条件与必要条件，一定要分清什么条件是什么条件的充分
A的必要条件．教师应教会学生按照：“如果A B，那么A是B的充
样可以避免错误．
如：x2=y2是x=y的充分条件吗？x=-y是x2=y2的必要条件吗？
=-y的充分条件，同时可知x=-y不是x2=y2必要条件．
(五)充要条件
1．定义
如果既有A B，又有B A，即如果有A B，那么从A B可知A是B成立的充分条件，又从B A可知A是B成立的必要条件，就称A是B成立的充分而且必要条件，简称充要条件．
提醒学生注意：若A B，则A是B成立的充要条件，显然B也是A成立的充要条件．
2．例题3(列举5个例子，事先用一小黑板写好，请5名同学完成．)
(1)“有两个角相等”是“三角形是等腰三角形”的______条件；(充要)
(2)“两条有斜率且不重合的直线l1、l2的斜率k1=k2”是“l1//l2”的______条件；(充要)
(3)“x=y”是“x2=y2”的______条件；(充分不必要)
(4)“两个三角形面积相等”是“它们全等”的______条件；(必要不充分)
(5)“A＞B”是“sinA＞sinB”的______条件．(既不充分又不必要)
这时，教师指出：判断“A”是“B”的什么条件时，先看A B是否成立，再看B A是否成立，从这两个方面作结论不会出错．
(六)巩固练习
1．下列四个命题中，甲是乙的什么条件？(请一同学演板)
(1)甲：ab=0，乙：a2+b2=0______条件．
(2)甲：|a|+|b|＞|a+b|，乙：ab≠0______条件．
(3)甲：a+b=-p，ab=q，乙：a，b是方程x2+px+q=0的两根______条件．
(4)甲：cosA＞cosB，乙：A＞B______条件．
答案：(1)必要不充分；(2)充分不必要；(3)充要；(4)既不充分又不必要
2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件．
试问：
(1)D是C的什么条件？
(2)A是B的什么条件？
引导学生完成，教师板书．
解：∵A是C的充分条件，∴A C．
∵D是C的必要条件，∴C D．
∵D是B的充分条件，∴D B．
由上述互推关系可得：A C D B．
又∵B是C的充分条件，∴B C．
A C D B C．
(1)∵C D，
∴D是C的充要条件；
∴A是B的充分不必要条件．
(七)全课小结
本课主要讲授了充分条件、必要条件、充要条件三个基本概念，着重理解A B即A是B成立的充分条件，B A即A是B成立的必要条件，A B即A是B成立的充要条件(或B是A成立的充要条件)．
五、布置作业
1．在下列括弧中填写：“充分条件”或“必要条件”或“充要条件”：
(1)“m是有理数”是“m是实数”的( )；
(2)“x2-1=0”是“x-1=0”的( )；
(3)“x=2”是“x2-5x+6=0”的( )；
(4)“x＜5”是“x＜3”的( )；
(5)“内错角相等”是“两直线平行”的( )；
(6)“ABCD是矩形”是“ABCD是平行四边形”的( )；
(7)“两边和夹角对应相等”是“三角形全等”的( )．
2．(1)已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是
(2)kAB=kBC是A，B，C三点在一直线上的______条件．
3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的什么条件？
作业答案：
1．(1)充分条件；(2)必要条件；(3)充分条件；(4)必要条件；(5)充要条件；(6)充分条件；(7)充要条件
2．(1)必要，必要；(2)充分不必要
六、板书设计
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.8 充分条件与必要条件
[教学目的]
使学生正确理解和掌握充分条件、必要条件和充要条件.
[重点难点]
重点、难点：关于充分条件、必要条件和充要条件的判断.
[教学设想]
1.教法 2.学法 3.课时
[教学过程]
§1.8.1 充分条件与必要条件
[教学目的]
使学生理解充分条件与必要条件的涵义，并会进行判断.
[教学过程]
一、引 入
同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.
二、学习、讲解新课
⒈符号“”的含义
前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq.
简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；
“若p则q”为假，记作pq（或qp）.
符号“”叫做推断符号.
例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 x2>0；
又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等两三角形面积相等.
说明：⑴“pq”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.
⑵“pq”也可写为“qp”，有时也用“p→q”.
练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.
答案：⑴；⑵；⑶；⑷.
若用符号“”与“”填空再做上题，结果如何？
答：⑴；⑵；⑶：⑷.
⒉什么是充分条件？什么是必要条件？
如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.
⒊充分条件与必要条件的判断
1.直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.
⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.
分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：⑴由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；
又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.
练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.
答案：⑴∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；
⑵∵qp，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；
⑶∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.
⑷∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.
以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.
2.利用逆否命题判断：即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.
例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.
解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色 A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.
先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式.
再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式.
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.
例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.
三、小 结
本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.
判断充分条件与必要条件的依据是：
若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；
若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件.
四、布置作业
(一)复习：课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容.
(二)书面：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 充分 条件；
⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件；
⒊“x3”是“|x|3”的 充分 条件；
⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的 充分 条件；
⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 充分 条件；
⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；
⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 必要 条件；
⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的 充分 条件；
⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的 必要 条件；
⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的
充分 条件.
(三)思考题：设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？
解：由题意作出逻辑图（右图），便知，
D是A的必要条件；A是B的充分条件.
(四)预习：课本P35-36内容.
§1.8.2 充要条件
[教学目的]
使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断.
[教学过程]
一、复习引入
⒈什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？
答：若pq（或若┐q┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⒉指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
⑴p：x>2，q：x>1；⑵p：x>1,q：x>2；
⑶p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；⑷p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.
解：⑴∵x>2x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵∵x>1x>2，但x>2x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.
⑶∵x>0 ,y>0x+y<0，x+y<0x>0 ,y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.
⑷∵x=0，y=0x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.
⒊在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.
二、学习、讲解新课
⒈什么是充要条件？
如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说q是p的充要条件）
例如，“x=0，y=0”是“x2+y2=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件.
说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”. “pq”有时也用“pq”；
⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.
⒉几个相关的概念
若pq，但pq，则说p是q的充分而不必要条件；
若pq，但pq，则说p是q的必要而不充分条件；
若pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件.
例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件.
⒊充要条件的判断方法
四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：
⑴确定条件是什么，结论是什么；
⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；
⑶确定条件是结论的什么条件.
例(P35例2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不
必要条件”中选出一种）？
⑴p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.
⑵p：同位角相等；q：两直线平行.⑶p：x=3；q：x2=9.
⑷p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形.
解：⑴∵(x-2)(x-3)=0x-2=0，(x-2)(x-3)=0x-2=0，∴p是q的必要而不充分的条件；
⑵∵同位角相等两直线平行，∴p是q的充要条件；
⑶∵x=3x2=9， x=3x2=9，∴p是q的充分而不必要的条件；
⑷∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形的对角线相等四边形是平行四边形，∴p是q的既不充分也不必要的条件.
练习：课本P36练习：1，2；P36-38习题：3.
答案：练习：1.⑴；⑵；⑶；⑷.
2.⑴充分而不必要的条件；⑵充分而不必要的条件；
⑶充要条件；⑷必要而不充分的条件.
习题：3.⑴假；⑵假；⑶假；⑷真.
4.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？
答：有两种说法：⑴若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）.
在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合.
⑵若pq，说明p的真值集合q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条件（此时q也是p的充要条件）.
三、小 结
1.本节主要学习了充要条件的概念，以及判断充要条件的方法步
骤（分三步），判断时主要有两种方法：一是直接证法；二是间接证法，如证其逆否命题、用反证法等.
2.要证明命题的条件是充要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立；证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性.
四、布置作业
(一)复习：课本P34-36内容，进一步熟悉和巩固有关概念和方法.
(二)书面：课本P36-37习题1.8：1，2.
答案：1.⑴p：x>0，y>0；q：x+y>0. （∵）
⑵p：x>3；q：x>5.（∵）
⑶p：判别式b2-4ac0；q：方程ax2+bx+c=0(a0)有实根.（∵）
⑷p：x>y；q：x2>y2. (∵)
2.⑴充分而不必要的条件；⑵必要而不充分的条件；⑶必要而不
充分的条件；⑷充要条件；⑸必要而不充分的条件；⑹必要而不充分的条件.
(三)思考题：试寻求关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.(练习册P15探索题2)
解法1：关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根方程在(0，1)内有实根.
解法2：方程在(0，1)内有实根
.
(四)预习：课本P38-41的本章小结与复习.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
“充分条件”、“必要条件”辨析
“充要条件”是重要的数学概念，既是教学重点，也是学习难点，实际应用中常常混淆“充分条件”、“必要条件”这两个不同的概念．以下从四个方面帮助学生辨析．
一、“充分条件”之“充分”是足够的意思
＝0”．因此，“x＝3”是“x2－2x－3＝0”的充分条件．换句话说，要使“x2－2x－3=0”成立，有“x=3”这个条件就足够了．同理，“x=－1”也是“x2－2x－3=0”的充分条件．再如“α=β”是“sinα=sinβ”的充分条件，“α=2kπ＋β(k∈Z)”也是“sinα=sinβ”的充分条件．这就告诉我们，“充分条件”不唯一，但它们都是使“结论”成立的条件．就好比“一元钱”是购买“一张平信邮票”的充分条件一样，足够就行．“|x|=5”不是“x－5=0”的充分条件(|x|=5时，x可能是－5，这样|x|=5不足以使x－5=0成立)．
二、“必要条件”之“必要”含有必不可少之意
要条件．
我们何以能把“x2－2x－3=0”这个由“x=3”推出的必然结果,称之为“x
中，如果二次三项式x2－2x－3不等于零，那么x就不能是3．因此，“x2－2x－3=0”是“x=3”的必不可少的条件，即必要条件．再如定理“若四边形为正方形，则其四边相等”中，“四边相等”是“四边形为正方形”必不可少的条件(否则，不是四边相等的四边形，一定不是正方形)，即必要条件．这就好比人家告诉你：“你要买的书是红皮的，”那么，你在书店里就会选择，凡不是红皮书，就不是我要买的书．由此可见，“必要条件”确具有“必不可少”的含义．但是，“必不可少”并不意味“足够”(难道红皮书都是你要买的吗？)．
三、数学术语中的“必要条件”与日常生活中用语“有必要”、“是必要的”等一类词是截然不同的．
不能把生活中用语混同数学用语，否则总分不清“充分条件”、“必要条件”．如上例中，“x=3”是“x2－2x－3=0”的充分条件，但“x=3”不是“x2－2x－3=0”的必要条件，为什么呢？因为x≠3时，x2－2x－3=0照样可以成立(只要x=－1即可)．也就是说，“x=3”并不是“x2－2x－3=0”成立的必不可少的条件．而有些同学则认为：“x=3不是x2－2x－3=0所必要的吗？”生活用语与数学术语混淆了．另外，书写不规范也有可能导致错误理解，如有人写：“∵x2－2x－3=0，∴(x－3)(x＋1)＝0，
么能说“x=3不是x2－2x－3=0的必要条件”呢？其实，由x2－2x－3＝0解得x＝3或
四、“充分条件”、“必要条件”同一于原、逆命题皆真的命题之中．
从“x2－2x－3=0”是“x=3”的必要条件，“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件，我们看到，必要条件不是充分条件．同样，“x=3”是“x2－2x－3=0”的充分条件，但不是必要条件．但在有些命题中，一个条件既是另一个条件的必要条件，也是充分条件，如“有两个角相等”是“等腰三角形”的充分条件，同时也是必
B的必要条件．一般地，原命题、逆命题均为真命题的命题，其条件必为充要条件．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充分条件与必要条件教案
教学目标
1．使学生理解充分条件、必要条件、充要条件的概念
2．通过对充要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性
3．培养学生学风的严谨性及思维的准确性，以提高自身的文化素质
教学设计
1．利用有关课件，揭示命题间的逻辑关系，帮助学生理解概念、正确判断，提高逻辑思维能力
2．通过学生的活动，培养其主动参与的意识及独立思考的品质
教学过程
新课引入
学生活动一：打开“四种命题”的课件，对于给定的原命题，回答它的…逆命题、否命题、逆否命题是什么？并逐一判断它们的真假．
原命题 逆命题
A B B A
x>0 x2>0 (真) x2>0 x>0 (假)
否命题 逆否命题
A B B A
x≤0 x2≤0 (假) x2≤0 x≤0 (真)
学生活动二：指出下列各组命题中，“”、“”是真是假．
1．p：∠A，∠B为对顶角．q：∠A=∠B
2．p：三角形三条边相等．q：三角形的三个角相等
3．p：x=y．q：x2=y2
4．p：x是4的倍数．q：x是6的倍数
教师评述：
1．由∠A，∠B为对顶角∠A=∠B成立，即
一般地，如果已知，那么我们说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
由于“”与“”等价，故若则q是p的必要条件．
2．由三角形三条边相等三角形三个内角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件，反过来由三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件．一般地，如果既有又有，记作就说，p是q的充分必要条件．
3．由
但其逆命题不成立
(或否命题不成立)
即且(或且)我们说p是q成立的充分但不必要条件
(4) 且
∴ p是q的既不充分也不必要条件
小结
若则p是q的充分条件
若则的q是p的必要条件
若则p是q的充分条件
学生活动三：
内容：利用动画，在“库”中任选某对象为p，填入格中，再任选逻辑上有联系的另一对象为q，也填入格中，然后按格中栏目逐次写出命题“”及“”并对命题的真假做出判断，在此基础上，判断p是q的什么条件，并填在格中．
目的：学生在活动中，学会判断p是q的什么条件的具体的工作步骤和逻辑依据．
教师小结：
问题：试判断p是q的什么条件(指充分、必要、充要)？
这类问题的解题步骤是
第一步：构造命题一：，并判断其真假
第二步：构造命题二：，并判断其真假
第三步：根据两个命题的真假对p是q的什么条件做出判断；
一真，二真，p是q的充要条件
一真，二假，p是q的充分非必要条件
一假，二真，p是q的必要非充分条件
一假，二假，p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
课件：“充要条件及其判断”
元素库：
表格
p q (判断) (判断) p是q的什么条件
学生活动四
学生回答下列命题的真假，并判断p是q的什么条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分也不必要”中选取一种答案)
p q p是q q是p
(1) (x－2)(x－3)=0 x－2=0 (x－2)(x－3)=0x－2=0假 x－2=0(x－2)(x－3)=0真 必要不充分 充分的必要
(2) x=3 x2=9 x=3x2=9真 x2=9x=3假 充分的必要 必要不充分
(3) 四边形对角线相等 四边形是平行四边形 四边形对角线相等四边形是平行四边形假 四边形是平行四边形四边形对角线相等假 既不充分又不必要
(4) a>b a+c>b+c a>ba+c>b+c a+c>b+ca>b 充要条件
学生活动五
教师引导学生思考下列问题：
常见两种命题(“或”字命题与“且”字命题)的条件，结论间的相互关系与充要条件．
1．给出“或”字命题
如ab=0a=0或b=0
x2=y2x=y或x=－y
由学生编写出AB的命题形式，指出A、B及A是B的什么条件．
教师点评：a=0ab=0 (a=0是ab=0的充分条件)
b=0ab=0(b=0是ab=0的充分条件)
再由学生编写出的命题形式，指出、及B是A的什么条件．
(ab=0是a=0的必要条件)
( ab=0是b=0的必要条件)
2．给出“且”字命题
如且
由学生编写出AB的命题形式，指出A、B及A是B的什么条件
教师点评：
(是a=0的充分条件)
(是b=0的充分条件)
再由学生编写出的命题形式，指出A，B及B是A的什么条件．
(a=0是的必要条件)
(b=0是的必要条件)
小结：
①充要条件是重要的数学概念，主要是讨论命题的条件和结论的关系
②条件A能保证结论B成立，就说条件A对结论B是充分的没有条件A就没有结论B成立，就说条件A对结论B是必要的，这时A就是B的充分必要条件
③如果原命题成立，但它的逆命题不成立，就说原命题的条件对结论是充分不必要的
如果原命题不成立而逆命题成立，就说原命题的条件对结论是必要而不充分的．
如果原命题成立，它的逆命题也成立，就说原命题的条件对结论是充分必要的．
作业：
P.36－37 习题1.8
求证：实系数的二次方程ax2+bx+c=0有两个异号实根的充要条件是ac<0．
/
/
/
/
①x=y ②x2=y2 ③x=0 ④x>3
⑤xy=0 ⑥x>－1 ⑦x=0或y=0 ⑧y=0
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
测试题
45分钟，满分100分
一、选择题(每小题9分，共27分)
1．下列命题中不成立的命题是 ( )
(A) 若则a=b=0．
(B) 等腰三角形有两个角相等．
(C) 关于x的方程ax2+bx+c=0中，若b2－4ac>0则方程有两个不等实根．
(D) 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
2．x≠0是xy≠0的 ( )
(A) 充要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分而不必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3．下列说法中正确的是 ( )
(A) x>4是x≥3的必要而不充分条件． (B) a2>b2是|a|>|b|的充分而不必要条件．
(C) A∪B=B的充要条件是． (D) ab≥0是的充要条件．
二、填空题(每小题9分，共27分)
4．如果是pq是真命题，那么q是p的____________条件．
5．p：平行四边形是轴对称图形．则p的否定命题p是：____________．
6．命题pq的逆否命题是___________．
三、解答题(每小题14分，共42分)
7．已知命题p：个位是0的整数能被5整除；q：个位是5的整数能被5整除．用“且”、“或”将命题p、q连结起来组成复合命题，判断此复合命题是否存在，若存在是否正确．
8．用反证法证明：三角形的三个外角中至多有一个角是锐角．
9．求证：ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根的充分而不必要条件．
答 案
一、1．C 2．B 3．C
二、4．充分 5．平行四边形不都是轴对称图形 6．qp．
三、7．p且q不存在，个位是0或5的整数能被5整除(真)．
8．提示：假设三角形的三个外角中有两个角是锐角，则与其相邻的内角中有两个角是钝角，那么三角形内角和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
9．提示：当ac<0时可得b2－4ac>0，所以有两个不等实根；若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，则b2－4ac>0即b2>4ac．其中ac≥0时，方程也可以有两个不等实根，例如x2－4x+1=0中a=1，c=1，虽然ac>0，但仍有b2－4ac=15>0．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
简易逻辑习题课
目的：通过习题的讲解与练习，努力达到熟练技巧。
过程：
一、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：
1．p：李明是高中一年级学生 q：李明是共青团员
解：p或q：李明是高中一年级学生或是共青团员
p且q：李明是高中一年级学生且是共青团员
非p：李明不是高中一年级学生
2．p： q：是无理数
解：p或q：是大于2或是无理数
p且q：是大于2且是无理数
非p： 不大于2
3．p：平行四边形对角线相等 q：平行四边形对角线互相平分
解：p或q：平行四边形对角线相等或互相平分
p且q：平行四边形对角线相等且互相平分
非p： 平行四边形对角线不一定相等
4．p：10是自然数 q：10是偶数
解：p或q：10是自然数或是偶数
p且q：10是自然数且是偶数
非p： 10不是自然数
二、分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：
1．x=2或x=3是方程x25x+6=0的根
解： p：x=2是方程x25x+6=0的根 q：x=3是方程x25x+6=0的根
是p或q的形式
2．既大于3又是无理数
解： p：大于3 q：是无理数 是p且q的形式
3．直角不等于90
解： p：直角等于90 是非p形式
4．x+1≥x3
解： p：x+1>x3 q：x+1=x3 是p或q的形式
5．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
解： p：垂直于弦的直径平分这条弦
q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是p且q的形式
三、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假：
1．p：末位数字是0的自然数能被5整除 q：5{x|x2+3x10=0}
解：p或q：末位数字是0的自然数能被5整除或5{x|x2+3x10=0}
p且q：末位数字是0的自然数能被5整除且5{x|x2+3x10=0}
非p：末位数字是0的自然数不能被5整除
∵p真q假 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为假。
2．p：四边都相等的四边形是正方形 q：四个角都相等的四边形是正方形
解：p或q：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形
p且q：四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非p：四边都相等的四边形不是正方形
∵p假q假 ∴“p或q” 为假，“ p且q”为假，“非p”为真。
3．p：0 q：{x|x23x5<0} R
解：p或q： 0或{x|x23x5<0} R
p且q： 0且{x|x23x5<0} R
非p： 0
∵p假q真 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为真。
4．p：5≤5 q：27不是质数
解：p或q：5≤5或27不是质数
p且q：5≤5且27不是质数
非p： 5>5
∵p真 q真 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为真，“非p”为假。
5．p：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4
q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x| x<4或x> 2}
解：p或q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4 2}
p且q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4 2}
非p：不等式x2+2x8<0的解集不是：{x|4∵p真 q假 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为假。
四、把下列改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：
1．实数的平方是非负数。
解：若一个数是实数，则它的平方是非负数。（真命题）
2．等底等高的两个三角形是全等三角形。
解：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形。（假命题）
3．被6整除的数既被3整除又被2整除。
解：若一个数能被6整除，则它能被3整除又能被2整除。（真命题）
4．弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。
解：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。 （真命题）
五、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：
1．面积相等的两个三角形是全等三角形。
解：逆命题：两个全等三角形面积相等。（真命题）
否命题：面积不等的两个三角形不是全等三角形。（真命题）
逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等。（假命题）
2．若x=0则xy=0。
解：逆命题：若xy=0则x=0。（假命题）
否命题：若x0则xy0。（假命题）
逆否命题：若xy0则x0。（真命题）
3．当c<0时，若ac>bc则a解：逆命题：当c<0时，若abc。（真命题）
否命题：当c<0时，若ac≤bc则a≥b。（真命题）
逆否命题：当c<0时，若a≥b则ac≤bc。（真命题）
4．若mn<0，则方程mx2x+n=0有两个不相等的实数根。
解：逆命题：若方程mx2x+n=0有两个不等实数根，则mn<0。（假命题）
否命题：若mn≥0，则方程mx2x+n=0没有两个不等实数根。（假命题）
逆否命题：若方程mx2x+n=0没有两个不等实数根，则mn≥0。（真命题）
六、写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假：
1．若x,y都是奇数，则x+y是偶数。
解：命题的否定：x,y都是奇数且x+y不是偶数。（假命题）
否命题：若x,y不都是奇数，则x+y不是偶数。（假命题）
2．若xy=0则x=0或y=0
解：命题的否定：xy=0且x0又y0。（假命题）
否命题：若xy0则x0且y0。（真命题）
七、用反证法证明：
1．已知a与b均为有理数，且和都是无理数，证明+也是无理数。
证明：假设+是有理数，则（+）（）=ab
由a>0, b>0 则+>0 即+0
∴ ∵a,bQ 且+Q
∴Q 即（）Q
这样（+）+（）=2Q
从而 Q （矛盾） ∴+是无理数。
2．在同一平面内一直线的垂线与斜线一定相交。
证明： 假设l1与l2不相交，则l1∥l2
如图，设l1与l2相交所得的一对同位角为1和2
则1=2 ∵l2是l的斜线 ∴290
从而 190
说明l1与l的交角不是直角，这与l1l矛盾
∴l1和l2一定相交。
八、指出下列各组命题中p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）：
1．p：a2>b2 q：a>b 则p是q的 既不充分也不必要条件 。
2．p：{x|x>2或x<3} q：{x|x2x6<0} 则p是q的 必要而不充分条件 。
3．p：a与b都是奇数 q：a+b是偶数 则p是q的 充分不必要条件 。
4．p：0则p是q的 充要条件 。
九、判断下列命题的真假：
1．(x2)(x+3)=0是(x2)2+(y+3)2=0的充要条件。
解：是假命题。反例；若x=2, y3
2．x2=4x+5是 x的必要条件。
解：是假命题。{x| x2=4x+5}={1,5} {x| x}={0,5}
3．内错角相等是两直线平行的充分条件。
解：是真命题。
4．ab<0是 |a+b|<|ab| 的必要而不充分条件。
解：是假命题。|ab|>|a+b|≥0 (ab)2>(a+b)2 a22ab+b2> a2+2ab+b2
4ab<0 ab<0 ∴(ab<0是 |a+b|<|ab| 的充要条件)
十、已知关于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0 aR 求：
1) 方程有两个正根的充要条件；
2) 方程至少有一个正根的充要条件。
解：1) 方程(1a)x2+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是：
即：
即： a≥10或a≤2且a1
设此时方程两根为x1，x2 ∴有两正根的充要条件是：
12) 从1)知1当a=1时, 方程化为 3x4=0有一个正根x=
方程有一正、一负根的充要条件是：
a<1
综上：方程(1a)x2+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。
l2 l1
2 1
l
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充要条件教案
教学目标
1.理解充要条件的意义。
2.掌握判断命题的条件的充要性的方法。
3.进一步培养学生简单逻辑推理的思维能力.
教学重点
理解充要条件意义及命题条件的充要性判断.
教学难点
命题条件的充要性的判断.
教学方法
讲、练结合教学
教具准备
投影片共2张
教学过程
（I）复习回顾
师：由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，即有哪四类？
生：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。
师：本节课将继续研究命题中既充分又必要的条件。
（II）讲授新课：§1.8.2 充要条件
师：请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件？（投影片1）
（1）若a是无理数，则a+5是无理数；（2）若a>b,则a+c>b+c;(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式Δ>0。
生：命题（1）中因：a是无理数a+5是无理数，所以“a是无理数”是“a+5是无理数”的充分条件；又因：a+5是无理数a是无理数，所以“a是无理数”又是“a+5是无理数”的必要条件。因此“a是无理数”是“a+5是无理数“既充分又必要的条件。
师：由上述命题（1）的条件判定可知：
板书
一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：p q.“ ”叫做等价符号。p q表示pq且qp。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
师：下边请回答命题（2）、（3）。
生：命题（2）中因：a>ba+c>b+c.又a+c>b+ca>b,则“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件。
命题（3）中因：一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根Δ>0，又由Δ>0一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等根。
则“一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根”是“判别式Δ>0”的充要条件。
师：讨论解答下列例题：（投影片2）
指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？（1）p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0.(2)p:同位角相等；q：两直线平行。（3）p:x=3;q:x2=9.(4)p:四边形的对角线相等；q:四边形是平形四边形。 ；q：2x+3=x2 .
生：（1）因x-2=0 (x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0 x-2=0.
所以p是q的必要而不充分条件。
（2）因同位角相等 两直线平行，所以p是q的充要条件。
（3）因x=3x2=9,而x2=9 x=3，所以p是q的充要分而不必要条件。
（4）因四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，又四边形是平四边形 四边形的对角线相等。所以p是q的既不充分也不必要条件。
（5）因 ,解得x=0或x=3.q:2x+3=x2得x=-1或x=3。则有p q,且q p,所以p是q的既不充分也不必要条件。
师：由例（5）可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定。
师：再解答下列例题：
设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件？
生：
解：由“x∈M或x∈P”可得知：x∈P，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x|2则由x∈P x∈{x|2故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件。
（III）课堂练习：课本P36，练习题1、2。
（IV）课时小结
本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果pq且qp，则p是q的充要条件。
（V）课后作业
一、书面作业：课本P37，习题1.8 1.(3)、（4） 2.（4）、（5）、（6） 3.
二、预习：小结与复习，预习提纲：
1.本章所学知识的主要内容是什么？
2.本章知识内容的学习要求分别是什么？
板书设计
§1.8.2 充要条件如果既有pq，又有qp，那么p就是q的既充分又必要条件，即充要条件。
教学后记
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充分条件与必要条件教案
教学目标
(1)使学生正确理解充分条件、必要条件，及充分必要条件的含义，能从本质上理解掌握它们．
从而能判断一些简单的充要条件的问题．
教学重点和难点
重点：充分条件、必要条件、充要条件定义的准确理解；推断符号的正确使用；充分条件、必要条件、充要条件的简单判断．
难点：充分条件、必要条件、充要条件本质的理解和正确的应用．
教学过程设计
(一)学生阅读课文
阅读要点：什么是“充分条件”、什么是“必要条件”、什么是“充分必要条件”
(二)导入新课 教师针对阅读要点，仔细向学生阐述．
前面我们学习了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假．
如果“若p则q”为真是指由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立．
三角形面积相等．
p是q的充分条件，q是p的必要条件．
x2＞0是x＞0的必要条件．这表明x2＞0这一条件是x＞0必要的条件，如果没有x2＞0这一条件，肯定不会有x＞0．
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．这表明两三角形全等这一条件足以充分保证两三角形的面积相等．
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．这表明两三角形要全等这两个三角形必须面积相等，两三角形面积相等这一条件是必不可少的，是必要的．
请同学们注意下面这段话：
大家应作如下理解：
成立”的充分根据和保证．
是说“没有q成立”就“没有p成立”可见“有q成立”对于“有p成立”是必不可少的，因此说q是p的必要条件．
继续深入地研究上面的两个例子：
∴x＞0是x2＞0的充分而不必要条件．
要条件．
充分条件．
∴两三角形面积相等是两三角形全等的必要而不充分条件．
一般来讲：
p是q的充分而不必要条件．
p是q的必要而不充分条件．
再看一例：若一个三角形的三条边相等，则这个三角形的三个角相等．
三角形的三条边相等既是三角形三个角相等的充分条件，又是必要条件，我们说三角形三条边相等是三角形三个角相等的充分必要条件，简称充要条件．
p与q互为充分必要条件，简称互为充要条件．
(三)课堂练习：学生练习，教师指导，讲评．
指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：x=y；q：x2=y2．
(2)p：a∈Q；q：a∈R．
(3)p：a∈R；q：a∈Q．
(4)p：x=0；q：xy=0
(5)p：两直线平行；q：内错角相等．
(6)p：x是6的倍数；q：x是2的倍数．
(7)p：x是2的倍数；q：x是6的倍数．
(8)p：x既是2的倍数也是3的倍数；q：x是6的倍数．
(9)p：两个角是对顶角，q：两个角相等．
(10)p：x是4的倍数；q：x是6的倍数．
[讲评]
q是p的必要而不充分条件．
q是p的必要而不充分条件．
q是p的充分而不必要条件．
q是p的必要而不充分条件．
q是p的必要而不充分条件．
q是p的充分而不必要条件．
q是p的必要而不充分条件．
(四)小结
(1)判断充分条件、必要条件要十分注意指向，即要弄清谁是谁的什么条件．
(3)p、q是两个简单命题．
(4)命题的条件与结论之间的四种关系是：
充分而不必要条件；必要而不充分条件；充要条件；既不充分也不必要条件．
(五)作业
习题1.8 1．2．3．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充分条件与必要条件教案
●教学目标
(二)教学知识点
1.推断符号“”的含义.
2.充分条件的意义及应用.
3.必要条件的意义及应用.
(二)能力训练要求
1.理解推断符号“”的含义.
2.理解并掌握充分条件的意义及应用.
3.理解并掌握必要条件的意义及应用.
4.培养学生的逻辑推理能力.
●教学重点
充分条件，必要条件的判断.
●教学难点
理解并掌握充分条件，必要条件的判断方法．
●教具准备
多媒体课件或用投影片2张：
第一张：(记作§1．8．1 A)
(1)若a＞b，则ac＞bc．
(2)若a＞b，则a＋c＞b＋c．
(3)若x≥0，则x2≥0．
(4)若两三角形全等，则两三角形的面积相等．
第二张：(记作§1．8．1 B)
指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件
(1)p：x＝y；q：x2＝y2．
(2)p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等；
(3)p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0．
(4)p：x＝2或x＝3；q：x－3＝
●教学方法
讲、练结合教学法充分条件、必要条件及充要条件是教学中的重要概念，同时也是前面所学：命题的真假判断．四种命题的关系及四种命题真假间的关系等知识的灵活应用．因此在教学中应在学生理解充分条件与必要条件定义的基础上注重结合实际命题加以训练和练习．使学生理解掌握充分条件、必要条件的判断方法，并熟练前面的知识的应用．
●教学过程
Ⅰ．复习回顾
［师］前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假．
投影片：§1．8．1 A
(1)若a＞0，则ac＞bc．
(2)若a＞b，则a＋c＞b＋c．
(3)若x≥0，则x2≥0．
(4)若两三角形全等，则两三角形的面积相等．
［生］命题(1)为假，命题(2)、(3)、(4)为真.
［师］本节将在判断“若p则q”命题的真假的基础上，研究p是q成立的充分条件或必要条件的问题．(引出课题)
Ⅱ．讲授新课
§1．8．1 充分条件与必要条件
1.推断符号“”的含义.
［师］例如命题(2)、(3)、(4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，或者“qp”，又如命题(1)为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq．”
请一同学用推断符号“”或“ ”写出上述命题．
［生］(1)a＞bac＞bc；(2)a＞ba＋c＞b＋c；(3)x≥0x2≥0；(4)两三角形全等两三角形面积相等．
2.充分条件与必要条件
［师］下面给出充分条件与必要条件的定义.
［师］板书：
一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件．
［师］上述定义中，“pq”，即如果具备了条件p，就是以保证q成立，所以p是q的充分条件．这点容易理解，但同时说q是p的必要条件是为什么 请同学们讨论．
［生］(不很理解的较多，特别是q是结论，怎么又变为条件呢 )
［师］应注意条件和结论是相对而言的，由于“pq”的等价命题是“┐q┐p”，即若q不成立，则p就不成立，故q是p成立的必要条件了．但必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立．
［师］回答上述命题(2)、(3)、(4)中的条件关系．
［生］命题(2)中因“a＞ba＋c＞b＋c”，所以“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充分条件．“a＋c＞b＋c”是“a＞b”的必要条件．
命题(3)中，因“x≥0x2≥0”，所以“x≥0”是x2≥0的充分条件，“x2≥0”是“x≥0”的必要条件．
命题(4)中，因“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件．
［师］讨论回答下列题目.
投影片：§1．8．1 B
指出下列各组命题中，p是q的什么条件；q是p的什么条件
(1)p：x＝y；q：x2＝y2．
(2)p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等．
(3)p：x＝1或x＝2；q：x2－3x＋2＝0．
(4)p：x＝2或x＝3；q：x－3＝．
［生］命题(1)因x＝yx2＝y2即pq，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．
命题(2)因“三角形的三条边相等三角形的三个角相等”，即pq，同时因“三角形的三个角相等三角形的三条边也相等”，即qp．所以p是q的充分条件，p也是q的必要条件；q是p的必要条件，也是p的充分条件．
命题(3)中因“x＝1或x＝2x2－3x＋2＝0”．即pq．则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
又因“x2－3x＋2＝0x＝1或x＝2”即qp，所以q也是p的充分条件，p也是q的必要条件．
命题(4)中因“x＝2或x＝3x－3＝，但由“x－3＝x＝2或x＝3”即p q，而qp．所以q是p的充分条件，p是q的必要条件．
［师］回答正确.由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程.可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为几类 请同学们讨论.
生(充分讨论后归纳回答)可分为四类：(1)充分不必要条件，即pq，而qp．(2)必要不充分条件，即：pq，而qp．(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp．(4)既不充分又不必要条件，即pq，又有qp．
Ⅲ．课堂练习
课本P35 1、2题
Ⅳ．课时小结
本节课主要研究了三点内容：
命题充分性、必要性的判断．
Ⅴ．课后作业
(一)书面作业：课本P36习题1．8 1．(1)、(2)、2．(1)、(2)、(3)
(二)1.预习内容：下节内容
2.预习提纲：
(1)充分必要条件的意义是什么
(2)怎样判断命题的充要条件
●板书设计
§1．8．1 充分条件与必要条件
1．推断符号“”的含义.
2.充分条件与必要条件的意义．
小结(略)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
简易逻辑复习总结课教案
教学目标
对第一章集合与简易逻辑两个单元的基础知识进行复习总结，帮助学生把这部分知识系统化，精确化，通过一些综合性例题，把知识相关联结，使学生对知识的理解和应用更加巩固和深入．
教学重点和难点
重点是对全章知识体系的全面了解和理解，对一些重要知识点的准确掌握．难点是对基础知识的相互沟通和联系．
教学过程设计
教师上课后首先对上节课布置给学生的复习总结表进行检查，并从中发现几份总结的较全面较深刻的表，在展示学生总结表的基础上，教师加以补充、修改、完善，完成第一章两个单元的总结复习．然后展示给学生．
一、知识体系
(一)集合
(二)简易逻辑
二、基础知识
(一)集合
(二)简易逻辑
三、综合例题
｛4｝，p、q∈E，试求p＋g的值和A∪B．
这时，
∴p＋q=－1，A∪B=｛2，3，4｝，
点评：准确掌握交集，并集，补集的概念，是解题的关键．
的实根的充分必要条件是ac＜0．
分析：方根根的状况的判断应从判别式及根与系数的关系去入手考虑，这里要注
数a的值．
解题时，首先求出A=｛0，－4｝，根据A∪B=A，用分类讨论的思想，分别
当B=｛0｝，即方程有两个等根为零时，
综合以上情况，若A∪B=A，则a≤－1，或a=1．
分析：此题可先将p和q的m取值范围解出，然后再根据p或q为真，p且q为假知此题是要p和q中必一真一假时的m的取值范围．
解：
∵p或q为真，p且q为假．
∴p为真，q为假，或p为假，q为真．
解得m≥3或1＜m≤2．
例5、用反证法证明：若a、b、c、d均为小于1的正数，且x=4a(1－b)，y=4b(1－c)，z=4c(1－d)，t=4d(1－a)，则x、y、z、t四个数中，至少有一个不大于1．
分析：结论的正面情况较多，较为复杂，但结论的反面情况唯一，而四个数都大于1，故宜用反证法．
证明：假设x＞1，y＞1，z＞1，t＞1，则xyzt＞1．
又因xyzt=256a(1－a)·b·(1－b)·c(1－c)·d·(1－d)
且a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，1－a＞0，1－b＞0，1－c＞0，1－d＞0．
∴假设不成立，原命题正确．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充分条件与必要条件教案
教学目标
(1)从多个角度加深学生对充分条件、必要条件、充要条件的理解，逐步达到准确地理解、灵活地应用．
(2)通过逐步、深化的例题，引导提高学生对充分条件、必要条件、充要条件的掌握应用．
教学重点和难点
重点：从多角度深刻理解充分条件、必要条件、充要条件，在准确理解的基础上，能熟练地去进行判断．
难点：熟练掌握应用充分条件、必要条件和充要条件去进行判断．
教学过程设计
(一)复习 教师边提问，边总结．
命题的条件与结论之间的四种关系：
充分而不必要条件；
必要而不充分条件；
充要条件；
既不充分也不必要条件．
设p，q是两个简单命题．
q是p的必要而不充分条件．
(二)引入新课
教师总结性讲述：
充分条件、必要条件是一个十分重要的数学概念，它在我们今后的学习中有着广泛的应用．为带动同学们进一步掌握它，我们再从多个角度来对它进行理解．
(1)从命题的角度来理解：
命题“若p则q”成立，就是说“有p必有q”
命题“若p则q”成立，其逆否命题“若＞q则＞p”成立，就是说“没有q必没有p”，q对p来说，“无之不可”即“无之必不然，有之未必然”．
我们说：p是q的充分条件，q是p的必要条件．
p是q的充分而不必要条件．
p是q的必要而不充分条件．
p、q互为充要条件．
p既不是q的充分条件也不是q的必要条件．
(2)从集合的角度来理解：
③p=q，p、q互为充要条件．
(三)学生练习，教师讲评
例1 下列说法是否正确？请说明理由．
[讲评]
如x=2，y=－2时，x≠y或x≠－y为真，但x2≠y2为假，只有在x≠y，x≠－y同时为真时，x2≠y2才为真．
例2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：(x－2)(x－3)=0，q：x－2=0．
(2)p：两三角形相似，q：两三角形全等．
(3)p：x＞3，q：x2＞9．
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(7)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实根．
(8)p：|x|－x≥0，q：x≤0．
[讲评]：
例3 证明：关于x的方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有一个根x=1的充要条件是a＋b＋c=0．
[讲评] 问题是要证明：
这里条件是a＋b＋c=0．
证明：(1)证条件的充分性：
(2)证条件的必要性：
ax2＋bx＋c=0(a≠0)有一个根是x=1，把x=1代入，a＋b＋c=0．
故方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有一个根x=1的充要条件是a＋b＋c=0．
例4 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么，
(1)s是q的什么条件，
(2)r是q的什么条件，
(3)p是q的什么条件．
[讲评] 按照已知条件，把命题间的关系用图表示出来
通过图形可以推出，
(1)s是q的充分必要条件，
(2)r是q的充分必要条件，
(3)p是q的必要条件．
(四)作业
复习题参考题一 A组 12，13
B组 6，7，8
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
数列中的函数思想
函数思想是一种很重要的数学思想，数列中蕴含着十分丰富的函数思想.
一、n与an的函数关系
数列可以看成是一列特殊的函数值，数列的通项公式就是函数的解析式，定义域为（或它的有限子集{1，2，…，n}）.它的图象上的点是一群孤立的点.
如：等差数列是的函数值系列，它的图象是直线上均匀排开的无穷多个孤立点；等比数列是的函数值系列，它的图象是指数函数图象上的无穷多个孤立点.
例1．已知等比数列：1，2，4，8，…，它的第n项为，求
解：易知
从函数观点看，
∴
例2．给定等差数列的任意两项，如已知试问满足上述条件的等差数列是否惟一确定？
解：给出即给出相异两点（）与（），过这两点的直线惟一确定.因此这个数列的通项公式惟一确定，这个数列就惟一确定.
二、n与Sn的函数关系
对于一个数列，也能够建立函数关系.如等差数列的前项和可以表示成当时，存在二次函数关系，点（）是二次函数的图象上的一些孤立点.
例3．已知数列的前n项和为，
解：令
由
∴
∴.
例4．在等差数列中，求的最大值.
解：由及得，
，
∴
考察二次函数
当时，函数有最大值.
又
∴当或7时，有最大值42.
三、其它的函数关系
例5．已知等差数列的前n项和为Sn，且
分析：由，得
建立的函数关系，可知点（）是直线上的一串点，即这些点共线，从而每两点连线的斜率相等.
解：点（10，10）、（100，）、（110，）共线，
故
n
13
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
测试题
（1）等式log3x2 = 2成立是等式 成立的 ( )
（A）充分条件但不是必要条件
（B）必要条件但不是充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分又不必要的条件
（2）设M，N是非空集合，则“MN”是“MN = M”成立的 ( )
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）既非充分条件，也非必要条件
（3）在△ABC中，“sin A < sin B”是A < B成立的 ( )
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充要条件
（D）既非充分条件，也非必要条件
（4）α = β是 tg α = tg β成立的 ( )
（A）充分非必要条件
（B）必要非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分条件，也非必要条件
（5）设a是实数，那么| a | < 5成立的一个必要非充分条件是 ( )
(A) a < 5 (B) | a | < 4
(C) a2 < 25 (D) 0 < a < 4
（6）如果A是B的充分条件，那么B是A的_________________条件；如果A是B的必要条件，那么是的_______________________条件．
（7）圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0与x轴相切的充要条件是_____________________．
（8）求证：关于x的方程 ax2+ bx + c = 0有一个根为1的充要条件是 a + b + c = 0（要求对必要性和充分性分别证明）．
答案与提示
（1）B．
log3x2 = 2 x2 = 32 x = 3或 x = －3；
x = 3．
（2）A．
由图 可得 MN MN = M．
但当MN = M成立时，可能有M = N．
（3）C．
依正弦定理有：sin A < sin B a < b A < B．
（4）D．
，tg α，tg β均无意义．
（5）A．
| a | < 4 －4 < a < 4，它是| a | < 5的充分条件；
a2 < 25 －5 < a < 5，它是| a | < 5的充要条件；
0 < a < 4是| a | < 5的充分条件．
（6）B是A的必要条件；是的充分条件．
注意命题与其逆否命题间的真假关系．
（7）D2 = 4F且 E≠0．
先把所给方程变为 ．
此方程表示圆，且圆与x轴相切
， ．
（8） ① 先证必要性：
若x = 1是x的方程 ax2+ bx + c = 0的根，
∴ a·12 + b·1 + c = 0，即 a + b + c = 0．
② 再证充分性：
若a + b + c = 0，此时把x = 1代入方程左边，
得：左边 = a·12 + b·c = a + b + c = 0．
∴ x = 1是方程 ax2+ bx + c = 0的根．
由①，②，原命题成立．
M
N
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充分条件与必要条件教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.充要条件的概念.
2.判断命题的条件的充要性的方法.
3.把充要条件的思想自觉地运用到解题之中.
(二)能力训练要求
1.理解并掌握充要条件的概念.
2.掌握判断命题的条件的充要性的方法.
3.培养学生简单的逻辑推理的思维能力.
(三)德育渗透目标
使学生充分认识对逻辑知识，特别是充要条件的判断及推理在日常生活、学习和工作中是认识问题及分析问题不可缺少的工具．
●教学重点
1.理解充要条件的意义.
2.命题条件的充要性判断.
●教学难点
命题条件的充要性判断.
●教学方法
讲、练结合教学法
本节在学生掌握充分条件与必要条件的基础上，对充要条件的意义的理解是较容易的，但充要条件是数学中最重要的概念之一，数学推理的过程，计算方法以及问题的解决等都要靠它去完成．因此在本节教学中更充分调动学生主动运用这个概念去分析问题．解决问题，提高和培养学生把充要条件的思想自觉地运用到解题过程之中的逻辑思维能力．
●教具准备
多媒体课件或投影片2张
第一张：(记作§1．8．2 A)
试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件
(1)若a是无理数，则a＋5是无理数．
(2)若a＞b，则a＋c＞b＋c．
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．
第二张：(记作§1．8．2 B)
指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)．
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0．
(2)p：同位角相等，q：两直线平行．
(3)p：x＝3，q：x2＝9．
(4)q：四边形的对角线相等．q：四边形是平行四边形．
(5)p：x＝x2，q：2x＋3＝x2．
●教学过程
Ⅰ．复习回顾
［师］由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为哪四类
［生］充分不必要条件；必要不充分条件；充分必要条件；既不充分又不必要条件．
［师］本节课将继续研究命题中充分必要条件．
Ⅱ.讲授新课
§1．8．2 充要条件
［师］请判定下列命题的条件是结论成立的什么条件
(投影片§1．8．2 A)
下列命题的条件是结论成立的什么条件
(1)若a是无理数，则a＋5是无理数．
(2)若a＞b，则a＋c＞b＋c．
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．
［生］命题(1)中因：a是无理数a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分必要条件．
［师］回答正确．由上述命题(1)的条件判定可知：(板书)：
一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：“pq”，“”叫做等价符号，“pq”表示“pq”且qp”．
这时p既是p的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
［师］下边请回答命题(2)，(3)．
［生］命题(2)中因“a＞ba＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋ca＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．
命题(3)中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根Δ＞0”，又有“Δ＞0”?“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．”
则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．
［师］下面讨论并解答下列例题：
(投影片：§1．8．2 B)
指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0
(2)p：同位角相等，q：两直线平行．
(3)p：x＝3，q：x2＝q．
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(5)p：x＝x2；q：2x＋3＝x2．
［生］命题(1)中因“(x－2)(x－3)＝0x＝2或x＝3x－2＝0”；而“x－2＝0 (x－2)(x－3)＝0”，所以p是q的必要而不充分条件．
［生］命题(2)中因“同位角相等?两直线平行”，所以p是q的充要条件.
命题(3)中因“x＝3x2＝9”，而“x2＝9” x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件．
命题(4)中因“四边形的对角线相等 四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形四边形的对角线相等．”所以p是q的既不充分又不必要条件．
命题(5)中因：p：x＝x2x(－x)＝0，解得x＝0或x＝3；q：2x＋3＝x2得x＝－1或x＝3．则有pq且qp．所以p是q的既不充分也不必要条件．
［师］由命题(5)可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定.
［师］再讨论解答下列例题：
设集合M＝｛x｜x＞2｝，P＝｛x｜x＜3｝，则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件
［生］解由“x∈M或x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈｛x｜2＜x＜3＝．
则由x∈P，即x∈｛x｜x＜3＝x∈｛x｜2＜x＜3｝．但由“x∈｛x｜2＜x＜3｝x∈｛x｜x＜3｝，即x∈P．
故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．
Ⅲ．课堂练习
课本P36，练习题1、2
Ⅳ．课时小结
本节课主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果pq且qp，则p是q的充要条件．
Ⅴ．课后作业
(一)书面作业
课本P37习题1．8 1．(3)、(4)；2．(4)、(5)、(6)；3．
(二)1.预习内容：小结与复习
2.预习提纲：
(1)本章所学知识的主要内容是什么.
(2)本章知识内容的学习要求分别是什么
●板书设计
§1．8．2 充要条件
充要条件的概念
如果既有pq，又有qp，那么p就是q的既充分又必要条件，即充要条件．
小结(略)
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
测试题
(45分钟，满分100分)
一、选择题(每小题9分，共27分)
1．下列命题中不成立的命题是 ( )
(A) 若则a=b=0．
(B) 等腰三角形有两个角相等．
(C) 关于x的方程ax2+bx+c=0中，若b2－4ac>0则方程有两个不等实根．
(D) 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
2．x≠0是xy≠0的 ( )
(A) 充要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分而不必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3．下列说法中正确的是 ( )
(A) x>4是x≥3的必要而不充分条件．
(B) a2>b2是|a|>|b|的充分而不必要条件．
(C) A∪B=B的充要条件是．
(D) ab≥0是的充要条件．
二、填空题(每小题9分，共27分)
4．如果是pq是真命题，那么q是p的____________条件．
5．p：平行四边形是轴对称图形．则p的否定命题p是：____________．
6．命题pq的逆否命题是___________．
三、解答题(每小题14分，共42分)
7．已知命题p：个位是0的整数能被5整除；q：个位是5的整数能被5整除．用“且”、“或”将命题p、q连结起来组成复合命题，判断此复合命题是否存在，若存在是否正确．
8．用反证法证明：三角形的三个外角中至多有一个角是锐角．
9．求证：ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根的充分而不必要条件．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．C
二、填空题
4．充分
5．平行四边形不都是轴对称图形
6．qp．
三、解答题
7．
p且q不存在，个位是0或5的整数能被5整除(真)．
8．
假设三角形的三个外角中有两个角是锐角，则与其相邻的内角中有两个角是钝角，那么三角形内角和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
9．
当ac<0时可得b2－4ac>0，所以有两个不等实根；若方程ax2+bx+c=0有两个不等实根，则b2－4ac>0即b2>4ac．其中ac≥0时，方程也可以有两个不等实根，例如x2－4x+1=0中a=1，c=1，虽然ac>0，但仍有b2－4ac=15>0．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
充分条件、必要条件练习课教案
教学目标
通过对典型例题的练习和讲评，使学生进一步掌握应用充分、必要条件进行判断和推理，巩固加深学生对这一重要数学概念的理解运用．同时强化对相关知识的掌握．
教学重点和难点
重点：充分、必要条件的深刻理解．
难点：在判断过程中，如何根据相关的知识正确进行推断，从而确定是什么条件．要逐步提高学生思维的全面性和准确性．
教学过程设计
(一)对学生在充要条件一单元作业中暴露出的典型错误进行剖析、讲评．
(二)学生进行课堂练习，教师针对学生的完成情况进行点评讲解，巩固提高学生对这一数学概念的理解掌握．
例1、三个数a、b、c不全为零的充要条件是
[ ]
A．a、b、c都不是零
B．a、b、c中最多有一个是零
C．a、b、c中只有一个是零
D．a、b、c中至少有一个不是零
(83年高考题)
[讲评] a、b、c不全为零即a、b、c中至少有一个不是零，a、b、c不全
例2、设集合M=｛x|x＞2｝，P=｛x|x＜3｝，那么“X∈M或X∈P”是“X∈M∩P”的
[ ]
A．充分条件但非必要条件
B．必要条件但非充分条件
C．充分必要条件
D．非充分条件也非必要条件
(92年上海高考题)
[讲评] “X∈M或X∈P”即A=｛x|x＞2或x＜3｝，“X∈M∩P”即B=｛x|2＜x＜3｝，
A是B的必要而不充分条件．应选(B)．
例3、“(a＋b)＞2c”的一个充分条件是
[ ]
A．a＞c或b＞c
B．a＞c且b＜c
C．a＞c且b＞c
D．a＞c或b＜c
(93年上海高考题)
[讲评]
a＞c且b＞c，同向不等式相加(a＋b)＞2c，应选(C)．
例4、|x|≤2是|x＋1|＜1的
[ ]
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(88年上海高考题)
[讲评]
|x|≤2，－2≤x≤2，|x＋1|＜1，－2＜x＜0
应选(A)．
例5、设命题甲方：0＜x＜5，命题乙方：|x－2|＜3，那么
[ ]
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件
(90年高考题)
[讲评]
命题甲：0＜x＜5，命题乙：－1＜x＜5，
甲是乙的充分条件但不是必要条件．
应选(A)．
例6、设命题甲：△ABC的一个内角为60°，命题乙：△ABC的三个内角的度数存在关系∠A－∠B=∠B－∠C．那么
[ ]
A．甲是乙的充分而不必要条件
B．甲是乙的必要而不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件也不是必要条件
(88年高考题)
[讲评]
命题乙：△ABC中，
命题甲：
命题甲是命题乙的必要条件．
命题甲：
△ABC中，
命题乙：
命题甲是命题乙的充分条件．
∴命题甲是命题乙的充要条件．应选(C)．
例7、设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的
[ ]
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
(86年高考题)
[讲评] 按题设条件作图．
∴丁是甲的既不充分也不必要条件．应选(D)．
例8、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么
[ ]
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件也不是甲的必要条件
(91年高考题)
[讲评] 按题设条件作图．
丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．应选(A)．
例9、已知h＞0，设命题甲方：两个实数a，b满足，|a－b|＜2h；命题乙方：两个实数a，b满足|a－1|＜h，且|b－1|＜h，那么
[ ]
A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
(90年高考题)
[讲评] 命题甲：－2h＜a－b＜2h
命题乙：
－h＜a－1＜h
－h＋1＜a＜h＋1
－h＜b－1＜h
－h＋1＜b＜h＋1，－h－1＜－b＜h－1
－2h＜a－b＜2h
似乎命题甲要与命题乙等价了，互为充要条件了，但仔细去分析命题乙：两个实数a，b满足|a－x|＜h，且|b－x|＜h都可类似地推下去，－h＜a－x＜h，－h＋x＜a＜h＋x，－h＜b－x＜h，－h＋x＜b＜h＋x，－h－x＜－b＜h－x．
两个同向不等式相加：－2h＜a－b＜2h
这样由命题甲，|a－b|＜2h不一定总是推得，|a－1|＜h且|b－1|＜h，即．
甲是乙的必要条件，甲不是乙的充分条件．应选(B)．
例10、已知E、F、G、H为空间中的四个点，设命题甲：点E、F、G、H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，那么
[ ]
A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
[讲评]
命题乙：直线EF和GH不相交，则直线EF和直线GH可能平行，而两条平行直线是共面的．显然．再来考虑命题甲：空间四点E、F、G、H不共面，直线EF，直线GH可以是平行的，或者是既不平行也不相交的．总之直线
甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件．应选(A)．
(三)作业：第一章“集合与简易逻辑”已经学习完了．要求同学们课后对第一章的知识进行复习总结．就这一章的知识体系结构，基础知识进行书面总结．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网