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例题讲解
［例1］分别写出由下列各组命题构成的“ｐ或ｑ”“ｐ且ｑ”“非p”形式的复合命题：
(1)p:是有理数,q: 是无理数；
(2)p:方程ｘ２＋ｘ－１＝０的两根符号不同，
ｑ：方程ｘ２＋ｘ－１＝０的两根绝对值不同.
选题意图：本例主要训练学生对逻辑联结词“或”“且”“非”的应用，加深对逻辑联结词的理解.
解：(1)p或q：是有理数或无理数；
p且q：是有理数且是无理数；
非p：不是有理数.
(2)p或q：方程ｘ２＋ｘ－１＝０的两根符号不同或绝对值不同.
p且q：方程ｘ２＋ｘ－１＝０的两根符号不同且绝对值不同.
非p：方程ｘ２＋ｘ－１＝０的两根符号相同.
［例2］分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.
(1)ｘ＝２或ｘ＝３是方程ｘ２－５ｘ＋６＝０的根；
(2)π既大于3又是无理数；
(3)直角不等于90°；
(4)ｘ＋１≥ｘ－３；
(5)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
选题意图：本例主要考查对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解.
解：(1)这个命题是p或q的形式，其中
ｐ：ｘ＝２是方程ｘ２－５ｘ＋６＝０的根，
ｑ：ｘ＝3是方程ｘ２－５ｘ＋６＝０的根.
(2)这个命题是p且q的形式，其中
ｐ：π大于3.
ｑ：π是无理数.
(3)这个命题是非p的形式，其中ｐ：直角等于90°．
(4)这个命题是p或q的形式，其中
ｐ：ｘ＋１＞ｘ－3，
ｑ：ｘ＋１＝ｘ－３．
（５）这个命题是p且q的形式，其中
ｐ：垂直于弦的直径平分这条弦.
ｑ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.
说明：有的“ｐ或ｑ”与“ｐ且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，如此例中的(2)与(4)，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.
［例3］分别指出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题的真假.
(1)p：4∈｛２，３｝，q:2∈｛2，3｝
(2)p：1是奇数，q：1是质数
(3)ｐ：０∈，ｑ：｛ｘ｜ｘ２－３ｘ－５＜０｝?Ｒ．
（４）ｐ：５≤５，ｑ：２７不是质数.
(5)p:不等式ｘ２＋２ｘ－８＜０的解集是｛ｘ｜－４＜ｘ＜２｝，ｑ：不等式ｘ２＋２ｘ－８＜０的解集是｛ｘ｜ｘ＜－４或ｘ＞２｝．
选题意图：本例主要根据学生对逻辑联结词的理解训练学生判断复合命题真假的能力.
解：(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假.“非p”为真.
(2)因为p真q假，所以“p或q”为真
“p且q”为假，“非p”为假.
(3)p或q：０∈或｛ｘ｜ｘ２－３ｘ－５＜０＝？？Ｒ，
ｐ且ｑ：０∈且｛ｘ｜ｘ２－３ｘ－５＜０＝？？Ｒ，
非ｐ：０．
因为p假q真，所以
“ｐ或ｑ”为真，“ｐ且q”为假，“非p”为真.
(4)p或q：５≤５或27不是质数，p且q:5≤５且27不是质数，
非ｐ：５＞５．
因为p为5＜５或５＝５，而５＝５为真，故p为真，又q也为真，所以“ｐ或ｑ”为真，“ｐ且q”为真，“非p”为假.
(5)p或q:不等式ｘ２＋２ｘ－８＜０的解集是｛ｘ｜－４＜ｘ＜２}或是｛ｘ｜ｘ＜
－４或ｘ＞２｝，
p且q：不等式ｘ２＋２ｘ－８＜０的解集是｛ｘ｜－４＜ｘ＜２}且是｛ｘ｜ｘ＜－４或ｘ＞２}，
非p：不等式ｘ２＋２ｘ－８＜０的解集不是｛ｘ｜－４＜ｘ＜２｝．
因为p真q假，所以“ｐ或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
说明：注意复合命题“ｐ或q”与“ｐ且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结命题p与q，而不能用“或”与“且”去联结命题p与q中的条件.又非p是对p的否定，命题p中的“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定.
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§1.6.1 逻辑联结词
●教学目标
(一)教学知识点
1.命题的概念．
2.含有“或”“且”“非”的复合命题的构成.
3.“或”“且”“非”的含义.
(二)能力训练要求
1.了解命题的概念和含有“或”“且”“非”的复合命题的构成.
2.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
3.培养学生观察，推理的思维能力.
(三)德育渗透目标
培养学生积极探索，主动发现的思维品质.
●教学重点
1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
2.复合命题的构成.
●教学难点
1.对“或”的含义的理解.
2.复合命题的构成.
●教学方法
问题与发现教学法．
●教具准备
多媒体课件或用投影片
投影片三张：
第一张：(记作§1．6．1 A)
下列语句中哪些是命题，哪些不是命题 并说明理由：
(1)12＞6 (2)3是15的约数．
(3)0.2是整数 (4)3是12的约数吗
(5)x＞2 (6)这是一棵大树.
第二张：(记作§1．6．1 B)
下列语句是命题吗 如果是命题，则与前命题(1)、(2)、(3)的区别是什么
(7)10可以被2或5整除.
(8)菱形的对角线互相垂直且平分.
(9)x＞3或x＝－1.
(10)x＜5且x≥4．
(11)0.5非整数
第三张：(记作§1．6．1 C)
指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；
(2)小李是篮球运动员或跳高运动员；
(3)平行线不相交；
(4)方程＝0有实根0或1；
(5)小张是学生，小王也是学生．
●教学过程
Ⅰ．提出问题
［师］初中时已学习过命题，现请一位同学回顾说出命题的概念．
［生］判断一件事情的句子叫做命题．
［师］回答正确.本节将继续研究和讨论命题及命题的构成.
Ⅱ．讲授新课
［师］(板书)
二 简易逻辑
§1．6．1 逻辑联结词
［师］请看投影片(§1．6．1 A)
下列语句中哪些是命题，哪些不是命题 并说明理由：
(1)12＞6． (2)3是15的约数.
(3)0．2是整数． (4)3是12的约数吗
(5)x＞2． (6)这是一棵大树.
［师］请同学们讨论后回答．
［生］其中(1)、(2)、(3)是命题，因为它们是能判断一件事情的语句；而(4)、(5)、(6)不是命题，其中(4)是疑问句，不涉及真假；(5)不能判断其是否正确；(6)中由于“大树”的概念没有界定，也不能判断其是否正确.
(师据学生讨论回答情况归纳出命题的定义)
［师］(板书)
(1)命题的定义：“可以判断真假的语句叫做命题．”
［师］上述语句中(4)、(5)、(6)不是命题的主要理由是不能判断真假的语句. 上述定义与初中定义不同，但实质是一样的.
语句是不是命题，关键在于是否能判断其真假，即判断其是否成立.而不能判断真假的语句就不能叫命题.
请同学们再分析考虑下列语句：
投影片：(§1．6．1 B)
下列语句是命题吗 如果是命题，则与前命题(1)、(2)、(3)的区别是什么
(7)10可以被2或5整除.
(8)菱形的对角线互相垂直且平分.
(9)x＞3或x＝－1．
(10)x＜5且x≥4．
(11)0．5非整数．
［生］(甲)：上述语句都是命题，但比前面的命题复杂了．
(乙)：上述语句不都是命题，其中(7)、(8)、(11)语句是命题，而语句(9)，(10)不是命题，因(9)，(10)语句不能判断真假．命题(7)、(8)、(11)与命题(1)、(2)、(3)的区别是比它们复杂了.
［师］乙同学回答正确.上述五个语句中只有(7)、(8)、(11)是命题，这三个命题是由简单的命题组合成的新的比较复杂的命题．
［师］那么命题(7)中的“或”与集合中学过的哪个概念的意义相同呢
［生］与集合并集定义中：A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝的“或”意义相同．
［师］命题(8)中的“且”与集合中学过的哪个概念的意义相同呢
［生］与集合交集定义中：A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B｝的“且”意义相同．
［师］回答很好，命题中的“或”与“且”的意义与在集合概念中的含义相同．而对命题(11)中的“非”的意义显然是否定的意思，即“0．5非整数”是对命题“0．5是整数”进行否定而得出的命题．
［师］上述命题(7)、(8)、(11)是较复杂的命题.(师归纳并板书)：
(2)复合命题的构成.
1°命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．
2°不合逻辑联结词的命题叫做简单命题.
3°由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
［师］上述命题中哪些是简单命题 哪些是复合命题 其区别是什么
［生］由复合命题的概念可知：命题(1)、(2)、(3)是简单命题，而命题(7)、(8)、(11)是复合命题.其区别是简单命题不含逻辑联结词，而复合命题含有逻辑联结词.
［师］上述语句中“(9)x＞3或x＝－1；(10)x＜5且x≤4”同学们已讨论过并不是一个命题，这是因为对于语句“x＞3”“x＝－1”“x＞5”“x≥4”本身就不是命题，那么语句中的“或”与“且”也不是逻辑联结词，这是以后判断命题与复合命题时应注意的．
(3)复合命题构成形式的表示.
［师］常用小写拉丁字母p，q，r，s，…表示命题.上述复合命题(7)，(8)，(11)构成的形式分别是什么
［生］复合命题(7)构成的形式是“p或q”；(8)构成的形式是“p且q”；(11)构成的形式是“非p”.
［师］回答正确.下面请同学看投影片：
投影片：(§1．6．1 C)
指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；
(2)小李是篮球运动员或跳高运动员；
(3)平行线不相交；
(4)方程＝0有实根0或1；
(5)小张是学生，小王也是学生.
［生］(1)中的命题构成是“p且q”的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数．
(2)中的命题的构成是“p或q”的形式，其中p：小李是篮球运动员；q：小李是跳高运动员；命题(3)的构成是“非p”的形式；其中p：平行线相交；命题(4)的构成是“p或q”的形式，其中p：方程＝0有实根0；q：方程＝0有实根1；命题(5)是“p且q”的形式，其中p：小张是学生；q：小王是学生．
Ⅲ．课堂练习
［师］请同学们打开课本第26页，回答练习题中的1．2题．
［生］(略)
Ⅳ．课时小结
［师］本节课重点研究讨论了简单命题与复合命题的构成；逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，即：(师板书).
复合命题的构成．
Ⅴ．课后作业
(一)课本P29习题1．6．1 1、2.
(二)1.预习内容：下节内容
2.预习提纲：
(1)复合命题材料真假的方法是什么
(2)复合命题“p或q”“p且q”“非p”判断真假的规律分别是什么
●板书设计
§1．6．1 逻辑联结词
(1)命题的定义；
(2)逻辑联结词；
(3)复合命题构成形式的表示；
(4)小结.
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逻辑联结词
教材： 逻辑联结词（2）
目的： 通过实例，要求学生理解逻辑联结词，“或”“且”“非”的含义，并能利用真值表，判断含有复合命题的真假。
过程：
一、复习：“命题”“复合命题”的概念
本堂课研究的问题是：概括简单命题的真假，讨论含有“或“且”“非”的复合命题的真假。
二、先介绍“真值”：命题分“真”“假”两种判断结论。也可用1表示“真”；
0表示“假”。这里1与0表示真值，所以真值只能是1或0。
生活中常有“中间情况”从而诞生了“模糊逻辑”。
三、真值表：
1．非p形式：
例：命题P：5是10的约数（真） 命题p：5是8的约数（假）
则命题非p：5不是10的约数（假） 非p：5不是8的约数（真）
结论：为真非为假 、为假非为真
p 非p
真 假
假 真
记忆：“真假相反”
2．p且q形式
例：命题p：5是10的约数（真） q：5是15的约数 （真）
s：5是12的约数 （假） r：5是8的约数 （假）
则命题p且q：5是10的约数且是15的约数（真）
p且q：5是10的约数且是8的约数（假）
p且q：5是12的约数且是8的约数（假）
p q p且q p q p或q
真 真 真 真 真 真
真 假 假 真 假 真
假 真 假 假 真 真
假 假 假 假 假 假
记忆：“同真为真”（其余为假） “同假为假”（其余为真）
3．p或q形式 仍看上例
则命题p或q： 5是10的约数或5是15的约数 （真）
p或r：5是10的约数或5是8的约数 （真）
s或r：5是12的约数或5是8的约数 （假）
四、几个注意问题：
1．逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的
例：“苹果是长在树上或长在地里”生活中这句话不妥，但在逻辑中却是真命题。
2．逻辑联结词中“或”与“且”的意义：
举出一些生活例子，见 P28 洗衣机例子 开门的事
电路：
或门电路（或） 与门电路（且）
3．学生讨论：举例
五、例题：P25例二
练习（提问） P28
六、有时间则处理“教学与测试”第11课
七、作业：P29 习题1．6 3、4
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联结词，简单命题，复合命题教案
教学目标
了解命题的概念和命题的构成，理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，会运用它们由简单命题构造复合命题．并识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题．
教学重点和难点
重点：命题的概念，命题的构成，逻辑联结词，简单命题，复合命题．
难点：对逻辑联结词“或”“且”“非”的深刻理解，及运用．能正确运用逻辑联结词由简单命题构造复合命题．
教学过程设计
(一)学生阅读课文．
阅读思考题：
(1)什么是“命题”．
(2)什么是“逻辑联结词”．你是怎样理解“或”“且”“非”这三个逻辑联结词的．
(3)什么是“简单命题”，什么是“复合命题”．
(二)在提问学生思考题后教师讲述．
1．命题．
可以判断真假的语句叫做命题．
如“12＞5，”①“3是12的约数”②“0.5是整数”③
其中“12＞5，”“3是12的约数”判断正确，是真的，叫做真命题．“0.5是整数”判断不正确是假的，叫做假命题．
再看一例，“x＞2”，这个语句是不是命题呢？经过大家议论，我们应当明白，像x＞2这样的语句不能算命题．因为这些语句中含有变量x，在不给定这些变量的值之前，我们无法确定这些语句的真假．这样的语句叫做“开语句”．如果我们给定变量确定的值，就可以转换成命题．如x=4时，x＞2，这是一个命题，并且是一个真命题．
前面研究的命题都比较简单，它们的构造是
由“条件”和“结论”两部分组成，一般的形式是“如果……，那么……”“若……，则……”．
如命题①“12＞5”，就是说“如果一个数是12，那么这个数大于5．”
命题②“3是12的约数”就是说“如果一个数是3，那么这个数是12的约数．”
命题③“0.5是整数”就是说“如果一个数是0.5，那么这个数是整数．”
在简单命题间加上一些联结词就组合成新的比较复杂的命题．
“末位数字是0或5的整数是5的倍数”④
这是两个简单的命题“末位数字是0的整数，是5的倍数”“末位数字是5的整数，是5的倍数”中间用一个“或”字联结在一起构成的新的命题．
“菱形的对角线互相垂直且平分”⑤
这是两个简单的命题“菱形的对角线互相垂直”、“菱形的对角线互相平分”中间用一个“且”字联结在一起构成的新的命题．
“0.5非整数”⑥
这是用“不是”来表示对命题“0.5是整数”的否定而得到的新的命题．
这里的“或”(或者)“且”(并且)“非”(不是)这些词叫做逻辑联结词．
不合逻辑联结词的命题，叫做简单命题．如①，②，③．
由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．如④，⑤，⑥．
我们常用小写的拉丁字母p，q，r，s…来表示命题，上面复合命题④⑤⑥的构成形式分别是
④“p或q”这里
p：末位数字是0的整数是5的倍数，
q：末位数字是5的整数是5的倍数．
⑤“p且q”这里
p：菱形的对角线互相垂直，
q：菱形的对角线互相平分．
⑥“非p”这里
p：0.5是整数．
例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题．
(1)24既是8的倍数，也是6的倍数．
(2)李强是篮球运动员或跳高运动员．
(3)平行线不相交．
解
(1)p且q，其中，
p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．
(2)p或q，其中，
p：李强是篮球运动员，q：李强是跳高运动员．
(3)非p，其中，
p：平行线相交．
例2．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题．
(1)12是48和36的公约数．
(3)四边形ABCD是平行四边形或梯形
(4)明天天阴或有小雨．
(5)△ABC是等腰直角三角形．
解
(1)p且q，这里，
p：12是48的约数，q：12是36的约数．
(3)p或q，这里，
p：四边形ABCD是平行四边形，q：四边形ABCD是梯形．
(4)p或q，这里，
p：明天天阴，q：明天有小雨．
(5)p且q，这里，
p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形．
(三)学生练习，教师辅导．
课本练习1
(1)p或q(5是15或20的约数)．
p且q(5是15和20的约数)
非p(5不是15的约数)
(2)p或q(矩形的对角线相等或互相平分)
p且q(矩形的对角线相等且互相平分)．
非p(矩形的对角线不相等)
课本练习2
(1)p且q，(2)p或q，(3)非p．
通过以上学习，同学们对“或”“且”“非”三种形式的复合命题有了一定的理解．如果把一个命题看作一个集合，那么逻辑联结词“或”与并集具有类似的意义，同样，“且”与交集具有类似的意义，“非”与补集具有类似的意义．仔细用复合命题的观点去理解．
A∪B={x|x∈A或x∈B}．
A∩B={x|x∈A且x∈B}．
这样可以提高大家对知识的认识．
(四)小结
命题，逻辑联结词，简单命题，复合命题．
(五)作业
习题1.6，1.2．
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简易逻辑知识系统及其结构
这一大节首先给出命题和含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．然后讲述了四种命题及其相互关系，并且在初中教学的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．
教学中应注意结合具体实例，特别是初中代数、几何中的有关命题，帮助学生理解、归纳出抽象的概念及法则．然后，再指导学生运用这些概念和法则去分析、判断、研究具体的数学命题．教学中还应注意由浅入深，循序渐近，把握好尺度，难度要适当．
知识结构图
命题
复合命题
选言命题 联言命题 命题的否定 假言命题
(或) (且) (非) … (如果 那么)
四种命题
真值表 复合命题真假的判断 反证法
逻辑联词
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§1.6.2 判断复合命题真假的方法
[教学目的]
会判断复合命题的真假.
[重点难点]
重点：判断复合命题真假的方法；
难点：对“或”的含义的理解.
[教学过程]
一、复习引入
⒈什么叫简单命题？什么叫复合命题？
⒉复合命题的构成形式是什么？
⒊“或”、“且”、“非”的含义是什么？
⒋练习：⑴分别写出由命题“p：是无理数”和“q：是实数”构成的三种形式的复合命题.
⑵指出下列复合命题的形式及其构成：① x2+55；② 梯形集合与矩形集合都是四边形集合的子集.
答案：⑴p或q：是无理数或是实数；p且q：是无理数且是实数；非p：不是无理数.
⑵①是p或q的形式，其中p：x2+5>5，q：x2+5=5；
②是p且q的形式，其中p：梯形集合是四边形集合的子集，q：矩形集合是四边形集合的子集.
⒌上述⑴的答案中给出的三个命题是否成立，即它是真命题还是假命题？
对于一般的复合命题，怎样来判断它的真假呢？下面我们就来研究这个问题.
二、学习、讲解新课
（一）判断复合命题真假的方法
⒈ 真值表
对于“非 p”形式的复合命题：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真.即“非 p”形式的复合命题的真假与p
的真假相反.如表一.
例如，p：2是10的约数为真，则非p：2不
是10的约数为假.
对于“p且q”形式的复合命题：当p，q都为真时，“p且q”为真；当p，q中至少有一个为假时，“p且q”为假.即
“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，
其他情况时为假.如表二.
例如，p：5是10的约数，q：5是15的约数，
r：5是8的约数，则p且q：5是10的约数且是15的约数为真，因为p，q都为真；p且r：5是10的约数且是8的约数为假，因为r为假.
对于“p或q”形式的复合命题：当p，q中至少有一个为真时，“p或q”为真；当p，q都为假时，“p或q”为假.
即“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时
为假，其他情况时为真.如表三.
例如，p：5是12的约数，q：5是15的约数，
r：5是8的约数，则p或q：5是12的约数或是15的约数为真，因为q为真；p或r：5是12的约数或是8的约数为假，因为p，r都为假.
像上面（表一至表三）用来表示命题的真假的表叫做真值表.
在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.
例（P28例2）分别指出由下列各组命题构成的“ p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：
⑴p：2+2=5，q：3>2；⑵p：9是质数，q：8是12的约数；
⑶p：1∈{1，2}，q：{1}{1，2}；⑷p：φ{0}，q：φ={0}.
解：⑴p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+25.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
⑵p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
⑶p或q：1∈{1，2}或{1}{1，2}；p且q：1∈{1，2}且{1}{1，2}；非p：1{1，2}.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
⑷p或q：φ{0}或φ={0}；p且q：φ{0}且φ={0} ；非p：φ{0}.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
练习：课本P28练习：1，2.
答案：1.⑴真；⑵真；⑶假.
2.⑴p或q：4∈{2，3}或2∈{2，3}；p且q：4∈{2，3}且2∈{2，3}；非p：4{2，3}.
∵p假q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
⑵p或q：2是偶数或不是质数；p且q：2是偶数且不是质数；非p：2不是偶数.
∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
⒉ 逻辑符号
“或”的符号是“∨”，“且”的符号是“∧”，“非”的符号是“┐”.
例如，“p或q”可记作“p∨q”； “p且q”可记作“p∧q”；“非p”可记作“┐p”.
⒊数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别
“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：
一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.
二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者.例如“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xA∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点.还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.
另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.
⒋学习逻辑的意义
一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例.可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的.
同学们可以结合日常生活中电器的自动控制功能，再找出一些这样的例子.
三、小 结
本节主要学习了判断复合命题真假的方法—真值表法，并对三种复合命题进行了真假判断的概括，通过实例说明了学习逻辑的意义.
四、布置作业
(一)复习：课本P27-28的内容，熟悉巩固有关概念和方法.
(二)书面：课本P29习题1.6：3，4.
答案：3.⑴真；⑵真；⑶假；⑷真.
4.⑴p或q：是无理数或是实数；p且q：是无理数且是实数；非p：不是无理数.
∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
⑵p或q：2>3或8+715；p且q：2>3且8+715；非p：23.
∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
(三)思考题：命题“p或q”与“p且q”的否定形式各是什么？
答：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.
(四)预习：课本1.7四种命题.
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§1.6 逻辑联结词
教学目的:(1)了解含有“或” “且” “非”的复合命题的构成
(2)理解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义。
教学重点:判断复合命题真假的方法
教学难点:对“或”的含义的理解
教学过程:
一、引言
师：咱班有20名同学组成。（故意说错）
生：不对，有70名同学组成。
师：是我说错了。在现实生活中我们经常遇到判断某一语句的正误的事情。在数学学习中也有必要来辨别一些数学语句的正误，而在初中我们学习过“判断一件事情的句子叫做命题”。
二、新课
（1） 基本概念
1. 命题
命题：可以判断真假的语句叫做命题
请看下面的语句是否是命题：
(1) 12 > 5
(2) 3是12的约数
(3) 0.5是整数
(4) 0是很小的数
(5) x=1
(6) 3是12的约数吗
(7)求证:若x∈R方程x2–x+1=0无实根。
分析：（1）、（2）、（3）是命题（其中（1）、（2）是真命题（3）是假命题），（4）不是命题。因为“很小的数”没有明确的判断依据，所以不能判断真假。（5）不是命题。因为语句中含有变量x，在不给定变量x的值之前无法判断真假(这种含有变量的语句叫做开语句)。（6）不是命题。因为语句本身是疑问句，没有做出真假判断。（7）不是命题，因为语句本身没有做出真假判断。
注： （1）疑问句、开语句、祈使句不是命题。
（2）句子是不是命题关键在于能否判断真假。
（3）常用小写字母p、q、r、s…表示命题
2. 逻辑联结词
例：（1）不等式的解集是
（2）不等式的解集是
（3）0.5非整数
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题。
复杂命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复杂命题。
那怎样判断复合命题的真假呢？分析上面讲过的三种形式，最后列出真值表.
q 非p P或q P且q
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
注意：为了正确判断复合命题的真假，首先应该确定复合命题的构成形式，然后指出其中简单命题的真假，再根据真值表判断这个复合命题的真假.
例1：分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题.
（1） 24既是8的倍数，也是6的倍数；
（2） 李强是篮球运动员或跳高运动员；
（3） 平行线不相交.
解：（1）这个命题是“p且q”的形式，其中
p：24是8的倍数 q：24是6的倍数
（2）这个命题是“p或q”的形式，其中
p：李强是篮球运动员 q：李强是跳高运动员
（3）这个命题是“非p”，的形式，其中
p：平行线相交.
例2：分别指出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题的真假：
（1） p：2+2=5，q：3>2
（2） p：9是质数， q：8是12的约数
（3） p：1∈{1，2}， q：{1}{1，2}
（4） p：Φ{0}， q：Φ={0}
解：（1）因为p假q真，所以，
“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.
（2）因为p假q假，所以，
“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.
（3）因为p真q真，所以，
“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.
（4）因为p真q假，所以，
“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.
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1.6 逻辑联结词
教学目的：知识目标：（1）了解“或”“且”“非”的复合命题的构成；
（2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
（3）判断复合命题的真假。
能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力
的培养；
（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立
思考，学会分析问题和创造地解决问题；
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概
括能力和逻辑思维能力；
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情
操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学
习态度和勇于创新的精神。
教学重点：判断复合命题的真假。
教学难点：对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习提问：
1．命题：可以判断真假的语句叫命题。
2．真命题，假命题
3．例如：判断下列语句是否是命题，如果是，是真命题还是假命题？
①12>5 ②3是12 的约数 ③0.5是整数 ④3是12 的约数吗？
⑤x>5
二、新课引入：
看下面的例子：
⑥10可以被2或5整除；
⑦菱形的对角线互相垂直且平分；
⑧0.5是非整数
这里的“或”“且”“非”叫做什么呢？
三、讲授新课：
(一) 逻辑联结词
1．逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。
2．简单命题：不含逻辑联结词的命题。如①②③
3．复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。如⑥⑦⑧
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题
故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p
4．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合的“交”“并”“补”的关系：
例如：指出下列命题是简单命题还是复合命题？若是复合命题，
指出它的形式及构成它的简单命题。
①24既是8的倍数，也是6的倍数；
②李强是篮球运动员或跳高运动员；
③平行线不平行。
练习：教材P261，2
（二）判断复合命题的真假
1．“非p”形式的复合命题真假：
显然，当p为真时，非p为假；
当p为假时，非p为真。
例：如果p表示“2是10的约数”，
则表示“2不是10的约数”为假
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p 非p
真 假
假 真
2．“p且q”形式的复合命题真假：
例：如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，
r表示“5是8的约数”，那么，
p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；
p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）
所以得：当p、q为真时，p且q为真；
当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
3．“p或q”形式的复合命题真假：
例：如果p表示“5是12的约数” q表示“5是15的约数”
r表示“5是8的约数”，那么，
p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（q为真）；
p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）
所以得：当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；
当p、q都为假时，p或q为假。
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q P或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；
2°由真值表得：
“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；
“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；
“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；
3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的
复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。如：p表
示“圆周率π是无理数”，q表示“△ABC是直角三角形”，
尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判
断其命题p或q 的真假。
4°由教材P28介绍“或门电路”“与门电路”。说明数学在实际
生活中的应用。计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础
设计的。
例：1.分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的
复合命题的真假：
（1）p：2+2=5； q：3>2
（2）p：9是质数； q：8是12的约数；
（3）p：1∈{1，2}； q：{1}{1，2}
（4）p：{0}； q：{0}
2．判断下列命题的真假：
（1）3≥3
（2）3≥2
（3）对一切实数
以（3）为例
第一步：把命题写成“对一切实数或”
是p或q形式
第二步：其中p是“对一切实数”为真命题；q是“对
一切实数”是假命题。
第三步：因为p真q假，由真值表得：“对一切实数”
是真命题。
4．判断复合命题真假的步骤：
（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；（2）判断简单命题的真假；
（3）根据真值表判断复合命题的真假。
四、课堂练习： P28练习：1，2
五、小 结：本节课学习了以下内容：
（1）简单命题，复合命题，真值表
（2）复合命题真假的判断方法
六、课后作业：教材P291，2，3，4
七、板书设计：
课题一、知识点（一）（二） （三） 例题：1．2． 3．4．
八、课后反思：
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§1.6.1 逻辑联结词与复合命题教案
[教学目的]
理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；了解含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成.
[教学过程]
一、复习引入
⒈什么叫命题？
先看下列语句：
① 12>5；② 3是12的约数；③ 0.5是整数.
我们知道，①、②是真的，③是假的.
再看下列语句：
④ 这是一棵大树；⑤ 3是12的约数吗？⑥ x>5.
对于④，由于“大树”没有界定，就不能判断其真假；对于⑤，它不涉及真假；对于⑥，由于x是未知数，也不能判断它是否成立（即真假）.
一般地，可以判断真假的语句就叫做命题；语句是真的，就叫真命题，语句是假的，就叫假命题.
例如，语句①、②、③都是命题，其中①、②是真命题，③是假命题.
不能判断真假（或不涉及真假）的语句不是命题.
例如，语句④、⑤、⑥都不是命题.
说明：⑴初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的.
⑵注意不是所有的语句都是命题，语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，即能不能判断其是否成立.不能判断真假的语句，就不是命题.
⑶与命题相关的概念是开语句.例如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句（有的逻辑书也称之为条件命题）.
⒉ 上述①、②、③三个命题都比较简单，由简单的命题可以组合成新的比较复杂的命题，下面我们就来学习这种较复杂命题的构成形式.
二、学习、讲解新课
⒈ “或”、“且”、“非”的含义
看下面的例子：
⑦ 10可以被2或5整除；⑧ 菱形的对角线互相垂直且平分；
⑨ 0.5非整数 .
这里的“或”我们已经学过，像不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2,或x>3}；
“且”我们也学过，像不等式x2-x-6 <0的解集是{x|-2-2，且x<3}；
“非”是否定的意思，“0.5非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得出的新命题.
“或”、“且”、“非”这些词就叫做逻辑联结词.
⒉ 简单命题与复合命题
像上述①、②、③这样的命题，是不含逻辑联结词的命题，称为简单命题；像上述⑦、⑧、⑨这样的命题，它们是由简单命题与逻辑联结词构成的命题，称为复合命题.
⒊ 复合命题的构成形式
我们常用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题，由上述复合命题⑦、⑧、⑨可知，复合命题的构成形式分别是：
p或q； p且q；非p.
非p也叫做命题p的否定.
“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如，“xA或xB”，是指x可能属于A但不属于B（这里的“但”等价于“且”），x也可能不属于A但属于B，x还可能既属于A又属于B（即xA∩B）；又如在“p真或q真”中，可能只有p真，也可能只有q真，还可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者.例如，“xA且xB”，是指x属于A，同时x也属于B（即xA∩B）.
“非p”是指p的否定，即不是p.例如，p是“xA”，则“非p”表示x不是集合A的元素（即xCUA）.
例（P26例1）分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题：
⑴ 24既是8的倍数，也是6的被数；
⑵ 李强是篮球运动员或跳高运动员；
⑶ 平行线不相交.
解：⑴ 这个命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数.
⑵ 这个命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员，q：李强是跳高运动员.
⑶ 这个命题是非p的形式，其中p：平行线相交.
练习：课本P26的练习：1，2.
答案：⒈ ⑴ p或q：5是15或20的约数；p且q：5是15的约数且是20的约数；非p：5不是15的约数.
⑵ p或q：矩形的对角线相等或互相平分；p且q：矩形的对角线相等且互相平分；非p：矩形的对角线不相等.
⒉ ⑴ p且q；⑵ p或q；⑶ 非p；⑷ p或q.
三、小 结
本节在复习命题概念的基础上，主要学习了逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，以及由简单命题和上述三个逻辑联结词构成的复合命题的形式.
四、布置作业
(一)复习：复习课本内容，巩固有关概念.
(二)书面：课本P29习题1.6：1.⑵⑷；2.⑴⑵⑶⑷.
答案：1.⑵p或q：方程x2+x-1=0的两根符号或绝对值不同；
p且q：方程x2+x-1=0的两根符号不同且绝对值不同；
非p：方程x2+x-1=0的两根符号相同.
⑷p或q：三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边；
p且q：三角形两边之和大于第三边且两边之差小于第三边；
非p：三角形两边之和不大于第三边.
2.⑴这个命题是p且q的形式，其中p：12是48的约数，q：12是36的约数.
⑵这个命题是非p的形式，其中p：方程x2+1=0有实根.
⑶这个命题是p或q的形式，其中p：10是5的倍数，q：15是5的倍数.
⑷这个命题是p且q的形式，其中p：有两个角为450的三角形是等腰三角形，q：有两个角为450的三角形是直角三角形.
(三)思考题：试举出日常生活中与“或”、“且”有关的例子.
(四)预习：课本P27-28内容：怎样判断复合命题的真假？
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判断复合命题真假的方法教案
教学目标
进一步加深对复合命题的理解，能根据复合命题的意义或真值表，判断含有“或”“且”“非”的复合命题的真假．
教学重点和难点
重点：复合命题的意义及真值表．
难点：对真值表的深刻理解．
教学过程设计
(一)提出问题，学生思考问答，教师小结．
通过以上问题，同学们可以发现判断复合命题真假的一点思路．下面就一般情况，我们来分析三种复合命题的真假判定．
(二)引入新课，教师列出表，提出问题，让学生讨论，填空．然后教师总结，得出结论．
1．非p形式的复合命题：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．
2．p且q形式的复合命题：p，q都真时，p且q为真，p，q只要有一个假时，p且q为假．
3．p或q形式的复合命题：p，q都假时，p或q为假，p，q只要有一个真时，p或q为真．
( )表示学生讨论完后，教师再填入．
通过以上真值表，我们可把结论进一步简化记忆：
这一点我们还可以借助电路的“并联”、“串联”来理解，
“p或q”可联想“并联”电路．
只要有一个开关闭合，则电路闭合．只有两个开关都开启，则电路开启．
即理解为“同开才开，一闭必闭．”
“p且q”可联想“串联”电路．
只有两个开关都闭合，则电路闭合．只要有一个开关开启，则电路开启．
即理解为“同闭才闭，一开必开．”
“非p”可联想电路的开、闭．
p为开，非p为闭，p为闭，非p为开．
例1．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题的真假．
(1)p：2＋2=5，q：3＞2．
(2)p：9是质数，q：8是12的约数．
(4)p：0是自然数，q：0是质数．
解
(1)p假，q真．
p或q为真，p且q为假，非p为真．
(2)p假，q假．
p或q为假，p且q为假，非p为真．
(3)p真，q真．
p或q为真，p且q为真，非p为假．
(4)p真，q假．
p或q为真，p且q为假，非p为假．
例2．指出下列命题的真假．
(1)2≤3．(2)2≥2．(3)5≤4．
解
(1)2≤3的含义是“2＜3或2=3”，这里2＜3是真命题，所以2≤3是真命题．
(2)2≥2的含义是“2＞2或2=2”，这里2=2是真命题，所以2≥2是真命题．
(3)5≤4的含义是“5＜4或5=4”，这里5＜4和5=4都是假命题，所以5≤4是假命题．
(三)学生练习
课本练习2
(1)p假，q真，p或q为真；p且q为假；非p为真．
(2)p真，q假，p或q为真；p且q为假；非p为假．
(四)小结
p或q：同假才假，一真必真；p且q：同真才真，一假必假；非p：真变假，假变真．
(五)作业
习题1.6，3.4．
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例题讲解
［例1］分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
(1)圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
(2)小李是体操运动员也是跳高运动员.
(3)平行线不相交.
解：(1)“p且q”的形式，其中p：圆内接四边形的对角互补；q：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
(2)是“p且q”的形式．其中p：小李是体操运动员；q：小李是跳高运动员．
(3)是“┐p”形式，其中p：平行线相交.
评述：分析复合命题的构成，要重视理解逻辑联结词在复合命题中的不同表达方式.
［例2］分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.
(1)5和7是30的约数.
(2)菱形的对角线互相垂直平分.
(3)8x－5＜2无自然数解.
解：(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题．
(2)是“p且q”的形式．其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题．
(3)是“┐p”的形式.其中p：8x－5＜2有自然数解.∵p：8x－5＜2有自然数解．如x＝0，则为真命题．故“┐p”为假命题．
［例3］设p：1∈，q：｛x｜x＞3｝，写出由其构成的“p或q”“p且q”“┐p”形式的复合命题．
解：p或q：1∈或｛x｜x＞3｝，p且q：1∈且｛x｜x＞3｝，┐p：1．
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复合命题的真值表
非p形式复合命题的真值表
p 非p
真 假
假 真
p且q形式复合命题的真值表
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
p或q形式复合命题的真值表
P q P且q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
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