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四种命题教案2
教学目标
(1)理解“若p则q”形式的命题也是复合命题，要求学生能将其它叙述形式的命题改写为“若p则q”的形式，其中p与q都是简单命题或语句．
(2)能准确识别四种命题，并能正确表述四种命题的定义．
(3)能对给定的“若p则q”形式的命题，构造出它的逆命题、否命题、逆否命题．
教学重点和难点
重点：四种命题的定义，四种命题相互之间的联系，由一种命题形式构造出其它三种形式．
难点：对四种命题定义的深刻理解，由一种命题形式构造其它命题形式．
教学过程设计
(一)学生阅读课文
阅读思考题：(1)回忆初中学过的“命题”，它们是怎样构造的？什么是“原命题”，什么是“逆命题”．
(2)“若p则q”形式的命题，是复合命题吗？怎样理解．
(3)试叙述四种命题的定义．
(二)引入新课
教师在学生回答问题的基础上，进行总结、提高．
同学们在初中学过原命题、逆命题．这些命题一般都是由“条件”和“结论”两部分组成．一般的形式是“如果……那么……”或“若……则……”
如果用p表示条件(或题设)q表示结论．命题的形式是“若p则q”．这种“若p则q”形式的命题也是复合命题．因之我们现在学习的命题形式，有“p或q”“p且q”“非p”“若p则q”等．
下面仔细来研究“若p则q”这种类型的复合命题．一般来讲：如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中的一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题．
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中的一个命题叫做原命题，另一个就叫原命题的逆否命题．
例如：
(1)和(2)是互逆命题；(1)和(3)是互否命题．当然(2)和(4)也是互否命题，(3)和(4)也是互逆命题．
如果用p表示命题的条件，q表示命题的结论．
非p表示p的否定，非q表示q的否定．
学生完成例题，教师讲评．
例1．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，然后判断它们的真假．
(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等．
解
(1)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数；
(√)
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；
(×)
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；
(×)
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
(√)
(2)原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；
(√)
逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；
(×)
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；
(×)
逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．
(√)
例2．把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．然后判断它们的真假．
(1)如果a=0，那么ab=0．
解(1)原命题：若a=0，则ab=0；
(√)
逆命题：若ab=0，则a=0；
(×)
否命题：若a≠0，则ab≠0；
(×)
逆否命题：若ab≠0，则a≠0．
(√)
请同学们注意，这里“a=0且b=0”的否定是“a≠0或b≠0”而不是“a≠0且b≠0”．而“a=0或b=0”的否定是“a≠0且b≠0”并不是“a≠0或b≠0”．这点请同学们仔细去想想．
同学们要熟悉四种形式的互相转换．另外请大家研究一下四种命题的真值之间有什么关系，下一节课来解决．
(三)学生练习
课本练习1．
(1)若一个整数的末位是0，则它可以被5整除；
(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等；
(3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，可得结果仍是等式；
(4)若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线．
2．(1)可以被5整除的整数，末位是0；
(2)不在线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离不相等；
(3)若式子两边都乘以同一个数，可得结果不是等式，则这个式子不是等式；
(4)若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径．
(四)小结
小结四种命题的定义，并提出四种命题的真值情况，让学生思考，为下节课做好准备．
(五)作业
习题1.7，1.2．
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例题讲解
［例1］写出命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题、否命题，逆否命题．并判断其真假．
分析：应注意分析清楚原命题的条件与结论，并充分利用四种命题的定义，还要注意条件和结论中“或”“且”“非”的否定的语句表述的准确性．
解：原命题：“若x≥2且y≥3则x＋y≥5”为真命题．
逆命题为：“若x＋y≥5，则x≥2且y≥3”，为假命题．
否命题是：“若x＜2或y＜3，则x＋y＜5．”其为假命题．
逆否命题是：“若x＋y＜5，则x＜2或y＜3其为真命题．
评述：本题应注意理解掌握“p且q”的否定为“┐p或┐q”，“p或q”的否定为“┐p且┐q”．
［例2］写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．
(1)若x2＝1，则x＝1．
(2)对顶角相等．
(3)等腰三角形的两腰相等．
(4)x2＋2x＋8＞0的解集为空集．
分析：应先将原命题改写成“如果……，那么……的形式”然后再构造它的逆命题．
解：(1)逆命题是“若x＝1，则x2＝1．”
原命题为假命题，逆命题是真命题．
(2)逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”．
原命题为真命题，逆命题为假命题．
(3)逆命题是“如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形．”
原命题是真命题，逆命题也是真命题．
(4)逆命题是“空集是x2＋2x＋8＞0的解集”.原命题和逆命题都是假命题．
［例3］写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：
(1)如果x＞－3，那么x＋8＞0
(2)如果一个三角形的三边都相等，那么这个三角形的三角都相等．
(3)矩形的对角线互相平分且相等．
(4)相似三角形一定是全等三角形．
分析：将原命题的条件和结论同时加以否定，便得到其否命题．
解：(1)否命题是：“如果 x≤－3，那么x＋8≤0”原命题为真命题，否命题为假命题．
(2)否命题是：“如果一个三角形的三边不都相等，那么这个三角形的三角不都相等．
原命题为真命题，否命题也为真命题．
(3)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”．
原命题是真命题，否命题也是真命题．
(4)否命题是“不相似的三角形一定不是全等三角形．”
原命题是假命题，否命题是真命题．
评述：一个命题的否定应当包含除了本身以外的所有情况.如：“都相等”的否定应为“不都相等”，即至少有两个元素不相等；“p或q”与“p且┐q”互为否定；“一定是”的否定是“一定不是”．
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四种命题教案
教学目标
进一步深化对四种命题的理解，明确互为逆否的两个命题同真同假(等价)的结论，并能在判断命题真假时，得到应用．
教学重点和难点
重点：对四种命题互逆、互否关系的理解，特别是对两个互为逆否命题等价的掌握和应用．
难点：两个互为逆否关系命题等价的理解和应用．
教学过程设计
(一)提出问题，学生复习思考．
问题1：写出命题的四种形式．研究它们之间的关系．
问题2：若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题为t，研究命题s与命题t间的关系．
(二)引入新课
教师总结学生对问题的研究结果，导入新课．
我们已掌握命题的四种形式：
原命题：若p则q；逆命题：若q则p；
否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p．
其中，原命题与逆命题是互逆关系；原命题与否命题是互否关系．即：
用这种图形研究命题间的关系一目了然．如问题2．
依照条件，分别标出互逆，互否关系．问题2中命题s与命题t间的互否关系，一目了然．
后画出③．然后在s与t间出现双箭头)
下面我们来研究四种命题间的关系．
现在进一步研究四种命题的真值关系．
由此可见：原命题为真，它的逆命题不一定为真；
原命题为真，它的否命题不一定为真；
原命题为真，它的逆否命题一定为真．
因之我们得出一条重要结论“原命题与其逆否命题等价”这在今后判断命题的真假时，十分有用．下面同学们试作：
例1．原命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
[讲评]
逆命题：“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b”真命题
否命题：“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”真命题
逆否命题：“当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b”真命题
例2．设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a=b，c=d，则a＋c=b＋d”写出它的逆命题，否命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．
[讲评]
分析：“已知a，b，c，d是实数”是大前提，在改写其它命题时，这个条件保持不动．
原命题的条件是a=b，c=d，它是“r且s”的形式．(习惯上有时省去“且”字不变，而用“，”代替)，要特别注意它的否定的形式应是“(非r)或(非s)”．
逆命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c=b＋d，则a=b，c=d”
否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”
逆否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d”
由等式性质知，原命题为真．
由3＋5=2＋6，但3≠2，5≠6说明逆命题为假．
由5≠7但5＋4=7＋2说明否命题为假．
现在来说明逆否命题为真．
若a＋c≠b＋d，可分两种情况
(1)a≠b，于是命题为真．
(2)a=b，从而推出c≠d(否则a＋c=b＋d，命题也为真)．
(三)课堂练习
1．课本练习1
根据四种命题的真值图(1)，(2)两种说法都正确．
2．课本练习2
(1)逆命题“若两个三角形全等，则它们的三边对应相等”(真)
否命题“若三角形的三边对应不等，则两个三角形不全等”(真)
逆否命题“若两个三角形不全等，则这两个三角形的三边不等”(真)．
(2)逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”(真)
否命题“若a≤b，则a＋c≤b＋c”(真)
逆否命题“若a＋c≤b＋c，则a≤b”(真)
(四)小 结
再一次复习四种命题关系图．重点加深对“原命题与它的逆否命题”等价的理解．
(五)作 业
习题1.7，3.4．
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§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假关系判断
[教学目的]
使学生掌握四种命题的相互关系及真假关系.
[教学过程]
一、复习引入
⒈四种命题的形式是什么？
答：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p.
⒉什么叫互逆命题？互否命题？互为逆否命题？
答：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就叫做互逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这样的两个命题就叫做互否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题就叫做互为逆否命题.
⒊根据问题2，你能说出四种命题之间的相互关系和真假关系吗？这是今天我们要学习的主要内容.
二、学习、讲解新课
⒈四种命题的相互关系
经过前面的学习，我们已经有了四种命题的概念，而且知道互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：
⒉四种命题的真假关系
一个命题的真假与其他三个
命题的真假有如下三条关系：
⑴原命题为真，它的逆命题不
一定为真；
例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.
⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；
例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a0，则ab0”是假命题.
⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真.
例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab0，则a0”是真命题.
结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.
⒊巩固新课，反馈矫正
例（P32例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.
分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；
否命题：当c>0时，若ab，则acbc.它是真命题；
逆否命题：当c>0时，若acbc，则ab.它是真命题.
练习：课本P32练习：1，2.
答案：1.⑴正确；⑵正确.
2.⑴逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；
否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；
逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.
⑵ 逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.
否命题：若ab,则a+cb+c.否命题为真.
逆否命题：若a+cb+c，则ab.逆否命题为真.
三、小 结
本节课我们主要学习了四种命题之间的相互关系和真假关系，两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题）.
四、布置作业
(一)复习：课本P31-32内容，熟悉巩固有关概念和方法.
(二)书面：课本P33-34习题1.7：3，4.
答案：3.⑴真；⑵假；⑶真；⑷真.
4.⑴逆命题：若a是无理数，则a+5是无理数.逆命题为真.
否命题：若a+5不是无理数，则a不是无理数 .否命题为真 .
逆否命题：若a不是无理数，则a+5不是无理数.逆否命题为真.
⑵逆命题：若一个四边形的两条对角线相等，则它是矩形.逆命题为假.
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等 .否命题为假.
逆否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形.逆否命题为真.
(三)思考题：三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？
(四)预习：课本P32-33反证法.
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反正法教案
教学目标
(1)深化学生对“反证法”的掌握，进一步明确反证法证明命题的思路和步骤．
(2)能应用反证法证明一些简单的数学命题．
教学重点和难点
重点：对反证法证题的几个步骤的理解和掌握．
难点：反证法证题中在推理过程中发现矛盾．
教学过程设计
(一)复习提问：
想想大家在初中学过、用过的“反证法”是一种怎样的推理方法？它的主要步骤是什么？
(二)引入新课，教师总结提问．
同学们在初中学过、用过“反证法”．“反证法”是一种间接证法，对一些从正面进行推理困难的命题，我们经常用“反证法”去进行证明．
用“反证法”证明命题的步骤是：
(1)假设命题的结论不成立，我们假设命题的反面成立；
(2)从假设命题的反面成立出发，应用已知条件及公理、定理、法则进行推理，产生矛盾．(与已知条件矛盾，与已知的公理、定理矛盾，推理过程中自相矛盾)
(3)由矛盾判定假设不正确，从而推断命题的结论正确．
下面通过例题及练习带动同学们进一步掌握“反证法”
这样我们得到 a＜b，与已知条件矛盾．
例2 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．
[讲评]
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径．
求证：弦AB、CD不被P平分．
(分析：连接OP，如果AB、CD被P点平分，即P为弦AB和弦CD的中点，这样推出AB、CD都与OP垂直，出现矛盾)
证明：假设弦AB、CD被P点平分，连结OP后，由于P点一定不是圆心O，根据垂径定理．
OP⊥AB，OP⊥CD，
这样过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾．
故弦AB、CD不被P点平分．
(分析：有理数集与无理数集的并集是实数集．而有理数与无理数的根本区别在
这里m，n是互质的正整数．
∴2必为m的因数．
因而2是m，n的公因数，这与m、n是互质的正整数的假设相矛盾．∴假设
(三)课堂练习
∴x=3或x=2，这与已知条件x≠3，且x≠2矛盾．
2．课本练习2
用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，那∠B一定是锐角．
(分析：结论∠B一定是锐角的反面是∠B是直角，或∠B是钝角，从这两个假设出发推出矛盾)
证明：在△ABC中，假设∠B一定不是锐解，即∠B是直角或钝角．
假设∠B一定不是锐角不成立．
故∠B一定是锐角．
(四)小结 小结“反证法”的三个步骤
并向学生介绍，一般用反证法证明的题型有：
(1)命题的结论以原定形式出现时．
(2)命题的结论以“至多”“至少”的形式出现时．
(3)命题的结论以“无限”的形式出现时．
(4)命题的结论以“唯一”“共点”“共线”“共面”的形式出现时．
(5)命题不易直接证明的．
(五)作业，习题1.7 5.6
复习参考题－1(A组) 10.11．
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四种命题之间的相互关系及真假判断教案
教学目标
1.理解四种命题之间的相互关系.
2.理解一个命题的真假与其它三个命题真假间的关系.
3.培养学生逻辑推理能力.
教学重点
四种命题的关系及真假判断方法.
教学难点
理解命题间的关系.
教学方法
讲、义、练结合教学.
教具准备
投影片3张
教学过程
（I）复习回顾
师：什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题？
生：（略）.
师：本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断.
(II)讲授新课
§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断.
1.四种命题之间的相互关系
(黑板上列出四个命题：也可用投影片1)
师：请同学们讨论后回答下列问题：
（1）哪些之间是互逆关系？
（2）哪些之间是互否关系？
（3）哪些之间是互为逆否关系？
生（略）
（学生回答时，教师在黑板上填出关系之图. ）
师：我们已明确了四种命题之间的相互关系，下面讨论：（板书）
2.四种命题的真假之间的关系：例如（投影片2）
原命题：“若a=0,则ab=0.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
生：逆命题：若ab=0，则a=0；原命题：若a=0，则ab=0为真命题；逆命题：若ab=0，则a=0为假命题.
师：原命题与逆命题的真假关系如何？
生：原命题为真，它的逆命题不一定为真.
师：它的否命题呢？
生：它的否命题是：a≠0，则ab≠0为假命题.
师：你认为原命题与它的否命题的真假关系如何？
生：原命题为真，它的否命题不一定为真.
师：它的逆否命题呢？
生：它的逆否命题是：若ab≠0，则a≠0为真命题.
师：原命题与它的逆否命题的真假关系如何？
（学生充分讨论，例证后回答.）
生：原命题为真，它的逆否命题一定为真.
师：原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如休？
生：因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真，则原命题的逆命题也一定为真.
师：由上述讨论情况，请一学生归纳.
（学生归纳时，师板书）
生：1.原命题为真，它的逆命题不一定为真.
2.原命题为真，它的否命题不一定为真.
3.原命题为真，它的逆否命题一定为真.
师：由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。下面看例题：（投影片3）
例2：设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc.”写出它的逆命题.否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假。
（师应强调分析：“当c>0”是大前提，写其它命题时应保留，原命题的条件是a>b,结论是ac生：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.逆命题为真.
否命题：当c>0时，若a≤b,则ac≤bc.否命题为真.
逆否命题：当c<0时，若ac≤bc，则a≤b.逆否命题为真。
（III）课堂练习：课本P32，1、2 略
（IV）课时小结
本节课重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：
1. 四种命题之间的关系.(投影片)
2. 四种命题的真假关系：原命题为真
（V）课后作业
1、 书面作业：课本P33，3、4题
二、预习：（课本P32—33）预习提纲：反证法证明命题的一般步骤是什么？
板书设计
§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断 1.四种命题之间的相互关系。 2.四种命题的真假之间的关系.小结
教学后记
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1.7 四种命题
[教学目的]
⒈初步理解四种命题及其关系；⒉初步掌握反证法.
[重点难点]
重点：四种命题的关系；难点：四种命题的关系和反证法.
[教学设想]
1.教法 2.学法 3.课时
[教学过程]
§1.7.1 四种命题的概念和形式
[教学目的]
使学生理解四种命题的概念；掌握四种命题的形式.
[教学过程]
一、复习引入
⒈什么叫原命题？什么叫逆命题？试举例说明.
我们在初中已经学过原命题与逆命题的知识，即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.
例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；
它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.
再看下面的两个命题：
⑶同位角不相等，两直线不平行；
⑷两直线不平行，同位角不相等.
⒉比较命题⑴与⑶、⑴与⑷的条件与结论，你能发现什么？
答：在命题⑴与命题⑶中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
在命题⑴与命题⑷中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定.
这是今天我们要学习的另外两种命题概念.
二、学习、讲解新课
⒈什么叫否命题？什么叫逆否命题？
由上述问题2.我们看到：
在命题⑴与命题⑶中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
在命题⑴与命题⑷中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.
概括地说，设命题⑴为原命题，则命题⑵为逆命题；命题⑶为否命题；命题⑷为逆否命题.
关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：
⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.
⒉四种命题的形式
一般到，我们用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：
原命题：若p则q；
逆命题：若q则p；
否命题：若┐p则┐q；
逆否命题：若┐q则┐p.
⒊巩固新课，反馈矫正
例（P30例1）把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：
⑴负数的平方是正数；⑵正方形的四条边相等.
分析：关键是找出原命题的条件p和结论q.
解：⑴原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数.
另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；
否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；
逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方.
⑵原命题可写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；
逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；
逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形.
另解：（略）
注意：“若p则q”形式的命题，也是一种复合命题，其中的p与q，可以是命题，也可以是开语句，例如，命题“若x2+y2=0,则x，y全为0”，其中的p与q，就是开语句.
练习：P31练习：1，2.
答案：1.⑴若一个整数的末位是0，则它可以被5整除；⑵若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等；⑶若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式；⑷若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线.
2.⑴可以被5 整除的整数，末位是0；⑵不在线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离不相等；⑶若式子两边都乘以同一个数所得结果不是等式，则这个式子不是等式；⑷若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径.
三、小 结
本节课我们从初中学过的命题知识出发，学习了四种命题的概念及其形式，下一节我们将研究它们之间的相互关系及真假关系.
四、布置作业
(一)复习：课本P29-30的内容，熟悉巩固有关概念.
(二)书面：课本P33习题1.7：1，2.
答案：1.⑴若一个数是负数，则它的立方是负数；⑵若两圆相切，则它们的连心线经过切点；⑶当a>0时，若x的值增加，则函数y=ax+b的值也随着增加；⑷若一个三角形是等边三角形，则它的三内角相等.
2.⑴逆命题：若x,y全为0，则x2+y2=0；否命题：若x2+y20，则x,y不全为0；逆否命题：若x,y不全为0，则x2+y20.
⑵逆命题：相似三角形一定是全等三角形；否命题：不全等的三角形一定不是相似三角形；逆否命题：不相似的三角形一定不是全等三角形.
⑶逆命题：若x2+x-m=0有实根，则m>0；否命题：若m0，则x2+x-m=0没有实根；逆否命题：若x2+x-m=0没有实根，则m0.
⑷逆命题：若ABC中，c2=a2+b2,则C=900；否命题：若ABC中，C900，则c2a2+b2；逆否命题：若ABC中，c2a2+b2，则C900.
(三)思考题：
(四)预习：课本P31-32四种命题的相互关系和真假关系.
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四种命题之间的相互关系及真假判断教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.四种命题之间的相互关系．
2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.
3.互为逆否命题的等价性.
(二)能力训练要求
1.理解四种命题之间的相互关系.
2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.
3.理解和掌握互为逆否命题的等价性.
4.培养学生的逻辑推理能力.
(三)德育渗透目标
1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具．
2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力．
●教学重点
1.四种命题之间的关系.
2.四种命题的真假判断方法.
3.互为逆否命题的等价性.
●教学难点
1.理解四种命题间的关系.
2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用．
●教学方法
讲、议、练结合教学法.
在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点．
●教具准备
多媒体课件或投影片3张
第一张：(记作§1．7．2 A)
第二张：(记作§1．7．2 B)
原命题“若a＝0，则ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
第三张：(记作§1．7．2 C)
［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题
［生］若原命题是“若p则q”则它的逆命题是“若q则p”，否命题是“若┐p则
┐q”，逆否命题是“若┐q则┐p．”
［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断．
Ⅱ.讲授新课
§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断
1.四种命题之间的相互关系：
(师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A投影出四个命题)
［师］请同学们讨论后回答下列问题：
(1)哪些之间是互逆关系
(2)哪些之间是互否关系
(3)哪些之间是互为逆否关系
［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系．
原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系．
原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系．
(在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．)
［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书)
2.四种命题的真假之间的关系：
［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B)
原命题：“若a＝0，则ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
［生］逆命题是：“若ab＝0，则a＝0．”原命题“若a＝0则ab＝0”为真命题；逆命题：“若ab＝0则a＝0”为假命题．
［师］原命题与逆命题的真假关系如何
生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假．
生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真.
［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢
［生］它的否命题是“若a≠0，则ab≠0”为假命题.
［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何
［生］原命题为真，它的否命题不一定为真.
［师］正确.它的逆否命题呢
［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”，为真命题．
［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何
(由学生充分讨论，例证后回答)
［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真．
［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何
［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命
题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真．
［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书)
［生］(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.
(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.
(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.
［师］归纳正确.由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆
否命题的真假.下面看例题：
(投影片§1．7．2 C)
［例2］设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．
(师应强调分析：“c＞0”是大前提，写其他命题时应保留，原命题的条件是“a＞b”，结论是“ac＞bc”．)
［生］逆命题：“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞c．”逆命题为真．
否命题：“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc”，否命题为真.
逆否命题：“当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b”，逆否命题为真.
［师］回答正确.请看练习题.
Ⅲ．课堂练习
课本P32 1、2(略)
(学生回答后，教师加以评述)．
Ⅳ.课时小结
［师］本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即：
1.四种命题之间的关系：(投影片§1．7．2 A)
2.四种命题的真假关系：
Ⅴ.课后作业
(一)书面作业：课本P33 3、4题．
(二)1.预习内容：课本P32～P33
2.预习提纲：
(1)什么叫做反证法
(2)反证法证明命题的一般步骤是什么
●板书设计
§1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断
1.四种命题之间的相互关系.
2.四种命题的真假之间的关系.
小结：(略)
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例题讲解
［例1］把下列命题写成“若p则q”的形式，并判断其真假.
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；
(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.
选题意图：本例主要训练学生如何分析命题的条件和结论，强化对命题结构形式的认识.
解：(1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个命题是真命题.
(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.这个命题是假命题.
(3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.这个命题是真命题.
(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.这个命题是真命题.
说明：“若p则q”形式的命题也是复合命题，改写时，一定要注意找出命题的条件和结论，同时要注意所叙述条件和结论的完整性.
［例2］写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
(1)全等三角形一定相似.
(2)末位数字是零的自然数能被5整除.
选题意图：本例主要训练四种命题结构形式上的关系以及互为逆否命题之间的等价关系.
解：(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，逆命题为假.
否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，否命题为假.
逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，逆否命题为真.
(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，逆命题为假.
否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，否命题为假.
逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，逆否命题为真.
说明：原命题与它的逆否命题真、假相同，原命题的逆命题与否命题真、假相同，所以只要判断原命题与它的逆命题的真假，就可得到原命题的逆否命题与否命题的真假了.反之亦然.
［例3］用反证法证明：
(1)已知a与b均为正有理数，且和都是无理数，证明是无理数.
(2)如果一个三角形的两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等.
选题意图：本例主要训练学生应用反证法证题的格式及解题步骤.
证明：(1)假设为有理数，则()()=a-b
由a＞0,b＞0,得＞0.
∴=
∵a、b为有理数且为有理数.
∴ 即为有理数.
∴()＋()即2为有理数.
从而也应为有理数，这与已知为无理数矛盾，所以一定为无理数.
(2)证明：假设这两条边所对的角相等，那么这两条边就相等.这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题正确.
说明：本例推出的是与已知矛盾，其实推出的矛盾也可能是与定理、公理、定义矛盾、自相矛盾等等.值得注意的是结论的反面不一定只有一种情况，这时要把它们逐一否定，才能肯定命题的结论成立.
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四种命题
教材：四种命题
目的：要求学生掌握四种命题，给出一个简单的命题（原命题）要能写出它的逆命题、否命题、逆否命题。
过程：
一、复习初中学过的命题与逆命题的知识
定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
例：“同位角相等，两直线平行” （1）
条件（题设）：同位角相等。 结论：两直线平行
它的逆命题：两直线平行，同位角相等。 （2）
二、新授：
1．看两个命题：同位角不相等，两直线不平行 （3）
两直线不平行，同位角不相等 （4）
比较命题（1）与（3）：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定。…………互否命题
比较命题（1）与（4）：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定。……互为逆否命题
2．概括：（1）为原命题 （2）为逆命题
（3）为否命题 （4）为逆否命题
3．若p为原命题条件，q为原命题结论
则：原命题：若 p 则 q 逆命题：若 p 则 q
否命题：若 p 则 q 逆否命题：若 q 则 p
4．例一 见 P30 例一 略
注意：关键是找出原命题的条件（p），结论（q）
然后适当改写成更明显的形式。
5．注意：1．为什么称“互为”逆命题（否命题，逆否命题）
2．要重视对命题的剖析：条件、结论
三、练习 （P31）
四、拓宽引申：
例：写出命题“若 xy= 0 则 x = 0或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题
解：逆命题：若 x = 0或 y = 0 则 xy = 0
否命题：若 xy 0 则 x 0且 y 0
逆否命题：若 x 0且 y 0 则 xy0
五、作业：P33 习题1．7 1 、2
《课课练》P28-29 课时15中选部分
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反证法
[教学目的]
使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.
[教学过程]
一、引 入
古希腊哲学家是怎样觉察到自己的脸给涂黑了的？
答：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了.那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪.因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了.然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我.由此可知，我的脸也给涂黑了.
这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了.简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面—没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了.因此这是一种间接的证明方法.显然这种证明方法也是不可缺少的.
像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“.
我们证明数学命题，一般多用直接证法[就是直接从命题的题设(已知部分)出发，经过推理，推出命题的结论（求证部分）正确] .但有时用直接证法不易实现，则可采用间接证法，如反证法就是其中的一种，下面我们把上述问题变成数学上的叙述.
二、学习、讲解新课
⒈什么是反证法？
要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的. 即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法.
例如，在上述例子中，要证明的结论是“甲的脸也给涂黑了”.在证明这个结论时，是先提出与结论相反的假设：“甲的脸没被涂黑”，然后根据乙对丙的笑不感到奇怪这个事实（本来由“甲的脸没被涂黑”应推出“乙对丙的笑应感到奇怪”），推导出这个与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立.
关于反证法，实际上我们在初中学习平行线时，就早已遇到过了.
我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”.下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.
已知：如图，AB∥EF，CD∥EF，求证：AB∥CD.
证明：假设AB不平行于CD，则AB与
CD就要交于一点，设交点为P.∵AB∥EF，
CD∥EF，于是经过点P就将有两条直线AB
和CD都与EF平行，根据平行公理，这是不可能的.∴AB与CD不能相交，只能平行.
以上例子说明，无论是在日常生活中还是在数学中，都经常应用反证法.而且在某些情形下它还是一种比较简捷的证明方法.
⒉反证法的主要步骤
仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定—推理—否定—肯定，四个步骤，即
⑴否定结论—假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；
⑵推出矛盾—由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾；
⑶否定假设—由正确推理导出了矛盾，说明“暂时假设”不对；
为什么根据这个矛盾就可以断定原来的假设错了呢？因为在人们的思维中，有这样一个规律：在同一时间内，对于同一个对象的两个相互矛盾的思想，不可能都是对的，无论如何至少有一种是错误的.如一个说今天是星期一，另一个说今天是星期二，显然这两个说法不可能都对，至少有一个说法是错误的，因为对同一天来说不可能又是星期一，又是星期二.这个规律在逻辑学中叫做矛盾律.
⑷肯定结论—由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立.
为什么由否定结论是不对的，便可肯定结论成立呢？这是因为在人们的思维过程中，还要遵守这样一个规律：如果一种思想肯定某种东西，而另一种思想却断然否定这同一种东西，那么在这两种思想中必然有一种是正确的，而另一种是错误的，即若肯定是对的，那么否定就是错误的；若否定是正确的，那么肯定就是错误的.在这肯定与否定之间不会再有第三种解决的办法.如关于同一个时间，一个说现在是12点正，另一个说不，不是12点正，那么或者第一种说法是对的，或者第二种说法是对的；又如，这张纸是白的，不，这张纸不是白的，那么或者纸是白的对，或者纸不是白的对，不可能有第三种解答.这个规律在逻辑学中叫做排中律.
在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况：
①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；
②推出与已知条件相矛盾的结论；
③推出与“暂时假设”相矛盾的结论；
④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.
⒊例题巩固，反馈矫正
例1（P32例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么.
证明：假设不大于，则或者<,或者=.∵a>0，b>0，∴<<与<与ab>0矛盾，∴.
例2（P32例4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，
且AB、CD不是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分.
分析：假设弦AB、CD被P平分，连结OP后，可推出AB、CD都与OP垂直，则出现矛盾.
证明：假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾. ∴弦AB、CD不被P平分.
练习：课本P33练习：1，2.
提示：1.设b2-4ac0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾.
2.设B900，则C+B1800，得出矛盾.
三、小 结
本节主要学习了反证法的基本原理及其四个步骤.它的四个步骤实则是两大阶段，前三步是第一阶段，它是以矛盾律为依据，采用了一种特殊方法—先假设论题A的反面为真，然后进行推理，推出一个与已知的事实相矛盾的结果，从而说明A的反面是谬误的；于是进入第二阶段，它是根据排中律说明，既然A的反面是谬误的，那么论题A就一定是正确的，至此，论题得证.
四、布置作业
(一)复习：课本内容，熟悉巩固反证法的原理和步骤.
(二)书面：课本P33-34习题1.7：5.
补充题：⒈若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.
⒉试证：一个命题与它的逆否命题是等价的.
提示：5.已知ABC中，ABAC，设B=C，则AB=AC，得出矛盾.
补充题：⒈假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,∴a能被2整除.
⒉分析：所谓一个命题与它的逆否命题是等价的，是说这两个命题同真、同假.即有一个为真，二者都真；有一个为假，二者都假.因此，这个题要分以下四种情况来证明.
①已知：命题“若有A，则有B”为真.
求证：它的逆否命题“若无B，则无A”也真.
证明：假设“若无B，则无A”是假的，那么，‘若无B，则有A’就是真的，又已知‘若有A，则有B’，∴得‘若无B，则有A，若有A，则又有B’，即若无B，则又有B.这是一个同时无B又有B的自相矛盾的结果，∴命题“若无B，则无A”也真的.
②同理可证：如果“若无B，则无A”为真，那么“若有A，则有B”也真.（请自己完成）
③已知：命题“若有A，则有B”为假.
求证：它的逆否命题“若无B，则无A”也假.
证明：假设“若无B，则无A”是真的，那么，由②知‘若有A，则有B’也是真的，这个结果与已知条件“若有A，则有B”为假相矛盾，∴命题“若无B，则无A”是假的.
④同理可证：如果“若无B，则无A”为假，那么“若有A，则有B”也假.
综上所述，此题证毕.
(三)思考题：求证：世界上至少有两个人的头发根数相等.
答：这一命题若用直接证法，就应该把全世界许多人的头发数一数，然后进行比较，当然这是很难做到的.于是我们考虑用反证法.
假设世界上任何两个人的头发根数都不相等，那么我们可以按照头发根数将人编号：秃顶的编为0号，一根头发的编为1号，两根头发的编为2号，“三毛”编为3号……由于全世界的人口已超过50亿，所以一定有人的编号大于50亿，假定中国的李四就是其中的一个人.但根据常识，人的头皮（能长头发的部位）的面积小于103cm2，并且每平方厘米的头发根数都小于103103=106，即任何人的编号都应小于106，而106这个数远远小于50亿，这就与李四的编号大于50亿矛盾，所以“世界上至少有两个人的头发根数相等”成立.
(四)预习：课本1.8.
日常生活中使用反证法的例子：甲说：“刚才没有下大雨.”乙说：“何以见得？”甲说：“如果下过大雨，地上就要很湿，现在你看地上并不湿，可见刚才没有下过大雨.”这个例子中，要证明的结论是“刚才没有下过大雨”.在证明这个结论时，是先提出与结论相反的假设：“如果刚才下过大雨”，然后根据地上不湿的实际情况，推导出这个与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立.
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例题讲解
学生在初中代数、平面几何的学习中遇到了大量的命题，为了突出重点降低难度，在举例时尽量用学生熟悉的命题为例讲解简易逻辑的有关知识．
例1．分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
(1) 正方形既是矩形又是菱形．
(2) π不是有理数．
(3) 3≥3．
(4) 如果a2=b2，那么a=b．
说明：此例旨在让学生会判断命题的形式，属于p且q、p或q、非p、若p则q中的哪一种．判断命题真假可在学习了真值表之后再出现．(注：例中只有(4)是假命题)．
例2．判断命题真假：
(1) 质数都是奇数．
(2) 如果一个数是6的约数，那么这个数一定是3的约数．
(3) 四边相等的四边形是正方形．
(4) 所有(凸)多边形的外角和都是360°．
(5) 0≥－2．
说明：(1)－(4)是全称性命题，判断全称命题假只需举一反例，判断其真需加以证明．
例3．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题，否命题与逆否命题：
(1) 对顶角相等．
(2) 和为90°的角互余．
说明：只有把一个假言命题写成“若p则q”或“如果…那么…”的形式，才能比较容易地将原命题改写成它的逆命题，否命题与逆否命题的形式．应注意“若p则q”中的p、q都必须一个完整的命题，因此需添加必要的文字使p、q分别成为一个完整的句子．
例如：“和为90°的角互余”应改写为：
若两个角的和为90°，则这两个角互为余角．
例4．写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判断四种形式命题的真假：
(1) 等边三角形的三个角都是60°．
(2) 若x2+y2=0，则x=0且y=0．
说明：先将(1)改写成“若p则q”的形式，即：若一个三角形是等边三角形，则这个三角形的三个角都是60°．
应注意：“三个角都是60°”的否定应是“三个角不都是60°”，而不是“三个角都不是60°”．
命题(2)中“x=0且y=0”的否定应是“x≠0或y≠0”．
例5．用反证法证明：若一条直线与两条平行线中的一条直线相交，则这条直线与另一条直线也相交．
已知：如图，a∥b，l与a交于A．
求证：l与b相交．
分析：假设l与b不相交，则l∥b，又因为a∥b，可推出l∥a这与已知l与a相交矛盾．
说明：用反证法证明的题目应容易一些，主要目的是让学生熟悉反证法的原理及证题的步骤．
例6．x>2是x≥2的什么条件？
说明：判断p是q的什么条件，关键是判断以下两个命题的真、假：
“若p则q”和“若q则p”
若两个命题都真，则p与q互为充要条件；若前一个命题真，后一个命题假，则p是q的充分不必要条件，同时，称q是p的必要而不充分条件．
本例题应让学生理解“x≥2”的意思是“x>2”或“x=2”，所以“若x>2则x≥2”是真命题；反之由x≥2不能得出x一定大于2，所以“若x≥2则x>2”是假命题．
所以，x>2是x≥2的充分不必要条件．
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四种命题的概念教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.四种命题的概念.
2.四种命题形式的表示.
(二)能力训练要求
1.理解四种命题的概念.
2.掌握四种命题形式的表示.
3.培养学生简单推理的逻辑思维能力．
(三)德育渗透目标
1.培养发展学生的思维品质．
2.通过本节教学，使学生充分认识理解四种命题的概念及相互关系中进一步认识与加强辩证统一思想的理解．
●教学重点
1.四种命题的概念及表示形式.
2.由原命题准确写出另外三种命题.
●教学难点
由原命题写出另外三种命题．
●教学方法
读、议、讲、练结合教学.
1.在教师指导下，通过学生自学，在掌握初中学过的“原命题”与“逆命题”的基础上进一步理解掌握“否命题”与“逆否命题”的概念.并使学生体验“成功”的乐趣.
2.在学生掌握命题概念的基础上，结合实例，使培养学生理论联系实际，解决实际问题的能力．
●教具准备
多媒体课件或投影片1张．
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］初中已学习过命题与逆命题的知识，请一位同学回答：什么叫做命题的逆命题
［生］在两个命题中，如第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．
［师］回答正确，本书将进一步研究命题与其有关的命题的概念.
Ⅱ.讲授新课
§1．7．1 四种命题的概念
［师］请同学们阅读课本P20～30，并思考下列问题：
(1)原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义分别是什么
(2)若原命题的形式表示为“若p则q”，则其他三种命题的形式如何表示
(学生阅读时，师在黑板上写出下列三个命题)：
(1)两直线平行，同位角相等．
(2)负数的平方是正数．
(3)四边相等的四边形是正方形．
［师］请同学回答：什么叫做原命题 原命题的形式可如何表示
［生］通常把所给定的一个命题叫做原命题，如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，则原命题可表示为：若p则q．
［师］什么叫做逆命题 原命题的逆命题的形式如何表示
［生］在两个命题中，如果第一个命题.即原命题的条件是第二个命题的结论，且原命题的结论是第二个命题的条件，那么第二个命题就叫做原命题的逆命题.原命题的逆命题的形式可表示为：若q则p．
［师］两位同学回答正确．下面请同学回答黑板上第(1)个命题的逆命题．
［生］同位角相等，两直线平行．
［师］什么叫做原命题的否命题 其形式如何表示
［生］如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题．这个命题叫做原命题的否命题．
否命题的形式可表示为：若非p则非q．
［师］回答正确.但应注意：“若非p则非q”，可书写为：“若┐p则┐q”符号“┐”叫做否定符号，“┐p”表示p的否定，即“非p”．
请一同学写出命题(1)的否命题．
［生］两直线不平行，同位角不相等.
［师］什么叫做原命题的逆否命题 形式可如何表示
［生］如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题．这个命题叫做原命题的逆否命题．
逆否命题的形式可表示为：若┐q则┐p．
［师］写出命题(1)的逆否命题．
［生］同位角不相等，两直线不平行．
［师］上述讨论了原命题的逆命题、否命题、逆否命题的概念.请同学们写出命题(2)、(3)的表示形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.
注：教师应强调：关键是找出原命题的条件p与结论q．
［生］命题(2)的条件是p：“一个数是负数”；结论是q：“它的平方是正数”．
命题(3)的条件是p：“一个四边形的四条边相等”；结论是q：“这个四边形是正方形．”
［生］命题(2)的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．
否命题是：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．
逆否命题是：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
［生］命题(3)的逆命题是：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
否命题是：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．
逆否命题是：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．
Ⅲ.课堂练习
课本P31 1、2
学生口答，教学评述(略)
Ⅳ.课时小结
(投影片)
本节重点研究了四种命题的概念与表示形式，即如果原命题为：若p则q，则它的：逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题．
否命题为；若┐p则┐q，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题．
逆否命题为：若┐q则┐p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即得其逆否命题．
Ⅴ.课后作业
(一)书面作业：P33习题1．7 1、2
(二)1.预习内容：下节内容
2.预习提纲
(1)四种命题之间的关系是什么
(2)一个命题与其他三个命题之间的真假关系如何
●板书设计
§1．7．1 四种命题的概念
四种命题的概念与表示形式：
(1)原命题：即若p则q．
(2)逆命题：即若q则p．
(3)否命题：即若┐p则┐q．
(4)逆否命题：即若┐q则┐p．
小结：(投影片)
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