课件18张PPT。一元二次方程的根的判别式苏南中学 王成宁回顾知识一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式用公式法解下列一元二次方程
(1) 2x2-3x=0
(2) x2-2x+1=0
(3) 4x2+x+1=0通过计算发现：
（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实数根
（2）b2-4ac=0，有两个相等的实数根
（3）b2-4ac=-15<0，没有实数根
问题：上面的结论能否推广到一般的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)中？探索新知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：因为a≠0，所以
（1）当b2-4ac>0时， 是正实数，因此方程有两个不相等的实数根：
(2)当b2-4ac=0时， =0，因此方程有两个相等的实数根：(3)当b2-4ac<0时， 在实数范围内无意义。因此方程没有实数根.
注：据上所述，可见一元二次方程的根的情况由b2-4ac来确定
的.定义：我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用“?”表示，即?=b2-4ac.
一般地，一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
当?>0时，有两个不相等的实数根；
当?=0时，有两个相等的实数根；
当?<0时，没有实数根.
反之也成立.
例1 不解方程，判别下列方程根的情况：讲练结合注：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式?=b2-4ac是针对一般形式而言的，所以不解方程，判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为:
一化：将一元二次方程化为一般形式；
二算：确定a、b、c的值，算出?的值；
三判断：根据定理判断方程根的情况.练习1 课本P32练习第1题
参考答案： （1）有两个不相等的实数根；
（2）没有实数根；
（3）有两个不相等的实数根.
例2 求证：关于x的方程x2-2mx-4=0有两个不相等的实数根.
分析：因为需要求证上面方程有两个不相等的实数根，联想到?>0方程就有两个不相等的实数根，故问题转化成为证明?>0.
证明：∵?=(-2m)2-4×1?(-2m-4)
=4m2+8m+16
=4(m2+2m+1)+12 （配方）
=4(m+1)2+12
又∵4(m+1)2+12一定大于0，即?>0，
∴原方程有两个不相等的实数根.练习2 求证：关于x的一元二次方程（2m2+1)x2-2mx+1=0没有实数根.
提示：通过配方证明上述方程的?<0，即证.例3 已知关于x的方程x2-3x+k=0,问当k取何值时，这个方程：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：?=(-3)2-4k=9-4k；
(1)当方程有两个不相等的实数根时，?=9-4k>0，即k<9/4；
(2)当方程有两个相等的实数根时， ?=9-4k=0，即k=9/4；
(3)当方程没有实数根时， ?=9-4k<0，即k>9/4练习3 已知关于y的方程
2y2-(4k+1)y+2k2-1=0，
问k为何值时，这个方程：
（1）有两个实数根？
（2）没有实数根？
参考答案: (1)k≥-9/8
(2)k<-9/8课堂小结
1．一元二次方程根的判别式与应用
2．由特殊到一般的思想；分类讨论思想 布置作业课本P33习题18.3第1、2、4题 谢 谢 ！主讲人：王成宁18.3一元二次方程的根的判别式
苏南中学 王成宁
【课型】新授课
【教学目标】
知识与技能：
1．理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况.
2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
过程与方法：
培养学生“分类讨论”的数学思想及其应用意识.
情感、态度与价值观：
通过对一元二次方程的根的判别式的探究，培养学生发散思维的能力.
【教学重点】一元二次方程的根的判别式定理及其逆定理的正确理解与运用.
【教学难点】含有字母系数的一元二次方程的根的情况的判定.
【教学方法】发现式、讲授式
【教学用具】多媒体
【教学过程】
一、复习引入
1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式
2.用公式法解下列一元二次方程
（1）2x2-3x=0 （2）x2-2x+1=0 （3）4x2+x+1=0
通过计算比较，得出结论：（1）b2-4ac=9>0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac= -15<0，没有实根.
二、探究新知
前面，通过配方，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式：
x=. 因为a≠0，所以
（1）当b2-4ac>0时，是正实数，因此，方程有两个不相等的实数根：
x1=，x2=；
（2）当b2-4ac=0时，=0，因此，方程有两个相等的实数根：
x1=x2=；
（3）当b2-4ac<0时，在实数范围内无意义。因此方程没有实数根.
注：据上所述，可见一元二次方程的根的情况由b2-4ac来确定的.
定义：我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“△”表示，即△=b2-4ac.
一般的，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△>0时，有两个不相等的实数根；
当△<0时，有两个相等的实数根；
当△=0时，没有实数根.
【反之也成立】
三、例题讲解
例1 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2-3x-2=0; (2)25y2+4=20y; (3)2x2+x+1=0.
解 （1）因为△=(-3)452-45(-2)=49>0，所以原方程有两个不相等的实数根.
（2）原方程可变形为
25y2-20y+4=0.
因为△=(-20)2-4254=0，所以原方程有两个相等的实数根.
（3）因为△=()2-421=-5<0，所以原方程没有实数根.
例2 求证：关于x的方程x2-2mx-2m-4=0有两个不相等的实数根.
证明 因为△=(-2m)2-41(-2m-4)=4m2+8m+16=4(m2+2m+1)+12=4(m+1)2+12，
而4(m +1)2+12一定大于0，
即△>0，所以原方程有两个不相等的实数根.
例3 已知关于x的方程x2-3x+k=0，问当k取何值时，这个方程：
有两个不相等的实数根？
有两个相等的实数根？
没有实数根？
解 △=(-3)2-4k=9-4k:
(1)当方程有两个不相等的实数根时，△=9-4k>0，即k<；
(2)当方程有两个相等的实数根时，△=9-4k=0，即k=；
(3)当方程没有实数根时，△=9-4k<0，即k>.
四、练习巩固
练习：1.课本P32页练习1
2.求证：关于x的一元二次方程（2m2+1）x2-2mx+1=0没有实数解
3.已知关于y的方程2y2-(4k+1)y+2k2-1=0,问k为何值时，这个方程：
(1)有两个实数根？
(2)没有实数根？
五、课堂小结
1．一元二次方程根的判别式与应用
2．由特殊到一般的思想；分类讨论思想
六、布置作业
课本P33习题18.3第1、2、4题
七、教学后记
