第二十八章 锐角三角函数精品讲解资料+同步习题
文档属性
| 名称 | 第二十八章 锐角三角函数精品讲解资料+同步习题 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 853.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-03-15 12:10:00 | ||
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
锐角三角函数精品资料+同步
教学过程：
一、基础知识点：
1.定义：
如图在△ABC中，∠C为直角，
我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；
把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；
把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 。
2、三角函数值
（1）特殊角的三角函数值
角度三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinA 0 1
cosA 1 0
tanA 0 1 不存在
3、 同角、互余角的三角函数关系：
（1）、同角三角函数关系：.； ；
（2）、互余锐角的三角函数关系：，。
1、 解直角三角形:
由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表：
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边c和锐角A B=90°-A，a=csinA，b=ccosA，s=c2sinAcosA
直角边a和锐角A B=90°-A，b=acotA，，
两条边 两条直角边a和b ，由，求角A，B=90°-A，S=ab
直角边a和斜边c ，由，求 角A，B=90°-A，S=a
备注：a、b、c为三角形的三边；A、B、C为三角形的三个内角、S为三角形的面积
二、课前小测试：
(1)．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE:EB＝2:1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）
A．1:2 B．1:4 C．4:9 D．2:3
(2)．如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么:＝ 。
(3)．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交BD于H，AF交BD于G，CD＝4AB，则:＝ 。
(4) ．如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ADE：S△BCE=4：9，则S△ABD：S△ABC= ；
(5)．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．
三、典型例题：
1． 锐角三角函数的相关概念
直接考查锐角三角函数的概念主要以选择、填空题为主，通常是给定一个直角三角形，在这个直角三角形中进行相关计算。
例1、（ 包头市）如图1，在RT△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值
为（ ）
A． B． C． D．
例2、（ 绥化市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是，AC=2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
例3：已知在中，∠C为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sin∠A = ．
例4：在中，，分别是的对边，若，则 ．
例5：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝2，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
例5 例6
例6：如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为 ___cm.
例7：正方形网格中，如图3放置，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
概念巩固练习
1.已知中，AC=4，BC=3，AB=5，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为锐角，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知直角三角形的斜边长为，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
4.正方形网格中，如图放置，则=（ ）
A． B． C． D．
5.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，
又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（ ）
A.82米 B.163米 C.52米 D.70米
2、锐角三角函数的应用性问题
（1）求高
例1、某村计划开挖一条长1500m的水渠，渠道的断面为等腰梯形，上底宽2.8m，下底宽1.2m，坡角为45°，如图1，实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米？
（2）测量问题
例2、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图2，他们先在A处测得塔顶C的仰角为30°；再向塔的方向直行80步到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请用以上数据计算塔高。（学生的身高忽略不计，1步=0.8m，结果精确到1m）
（3）、航海问题
例3、如图3，灯塔A在港口0的北偏东55°的方向，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口0出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里/小时）（供选数据：sin55°=0.8192,cos55°=0.5736,tan55°=1.4281）
四、巩固练习：
1. （2009湖州）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2. （2009益阳）如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. B. C. D.
3. （2009宁波）如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α这35°，则坡屋顶的高度h为 米．（结果精确到0．1米）
4. （2009温州）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是 ；
5. 2009泸州）如图10，已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，
这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，，…，则CA1= ，
6. （2009衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为
7. （2009仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)
8. （2009荆门）=______．
9. （2009义乌）(1) 计算=
10. （2009湖州）（1）计算：=
五、课后练习
1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树
的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m
（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．（）m B．（）m C． m D．4m
2．（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为
（A） 2 （B） （C） （D）1
3．（2010四川凉山）已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2010四川眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．（2010 浙江省温州）如图，已知一商场自动扶梯的长z为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )
6．（2010 浙江台州市）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )
A．a B． C． D．
7．（2010 黄冈）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2010年贵州毕节）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2010湖北荆门）计算sin45°的结果等于（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2010湖南常德）在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( )
A． B．2 C． D．
11．（2010江苏常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB= ，sinA= 。
12．（2010山东潍坊）直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使得B点与D点重合，则∠BCE的正切值为 ．
21世纪教育网 ( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2010广东中山）如图，已知RtΔABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC= ．
14．（2010湖南怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A= ．
15．（2010湖北荆州）如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=，AC=5a，则△ABC的面积用含ａ的式子表示是 ．
16.如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑3 0 O米到离B点最近的D点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=4 5°，∠BCD=6 0°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B． (参考数据≈1.4，≈1.7)
17.如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m，看旗杆顶部的仰角为；小红的眼睛与地面的距离是1.5m，看旗杆顶部的仰角为．两人相距28米且位于旗杆两侧（点在同一条直线上）．请求出旗杆的高度．（参考数据：，，结果保留整数）
18.小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：
第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB的长度为9cm；
第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC为80°(O为AB中点)．
请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC的长．
(参考数据：sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67；sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84，结果精确到0.1cm．)
A
B
C
D
E
图4
A
C
B
图1
A
B
C
D
O
例2
A
C
B
A
B
O
例7
A
B
O
6
8
C
E
A
B
D
（第6题）
（第7题）
A
B
C
D
E
)
45°
图1
C
D
B
A
图2
A
B
O
北
东
西
南
图3
)
55°
B
C
A
（第1题）
图10
图9
A
B
C
D
6米
52°
35°
(第14题图)
B
A
E
D
C
30°
（第6题）
M
N
BO
A
DO
C
30°
45°
A
B
C
O
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
锐角三角函数精品资料+同步
教学过程：
一、基础知识点：
1.定义：
如图在△ABC中，∠C为直角，
我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；
把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；
把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 。
2、三角函数值
（1）特殊角的三角函数值
角度三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinA 0 1
cosA 1 0
tanA 0 1 不存在
3、 同角、互余角的三角函数关系：
（1）、同角三角函数关系：.； ；
（2）、互余锐角的三角函数关系：，。
1、 解直角三角形:
由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表：
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边c和锐角A B=90°-A，a=csinA，b=ccosA，s=c2sinAcosA
直角边a和锐角A B=90°-A，b=acotA，，
两条边 两条直角边a和b ，由，求角A，B=90°-A，S=ab
直角边a和斜边c ，由，求 角A，B=90°-A，S=a
备注：a、b、c为三角形的三边；A、B、C为三角形的三个内角、S为三角形的面积
二、课前小测试：
(1)．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE:EB＝2:1，AF⊥DE于G交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ）
A．1:2 B．1:4 C．4:9 D．2:3
(2)．如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，OE∥AD交CD于E，OF∥AB于F，那么:＝ 。
(3)．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF交BD于H，AF交BD于G，CD＝4AB，则:＝ 。
(4) ．如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ADE：S△BCE=4：9，则S△ABD：S△ABC= ；
(5)．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．
三、典型例题：
1． 锐角三角函数的相关概念
直接考查锐角三角函数的概念主要以选择、填空题为主，通常是给定一个直角三角形，在这个直角三角形中进行相关计算。
例1、（ 包头市）如图1，在RT△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值
为（ ）
A． B． C． D．
例2、（ 绥化市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是，AC=2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
例3：已知在中，∠C为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sin∠A = ．
例4：在中，，分别是的对边，若，则 ．
例5：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝2，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
例5 例6
例6：如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝，则BC的长为 ___cm.
例7：正方形网格中，如图3放置，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
概念巩固练习
1.已知中，AC=4，BC=3，AB=5，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为锐角，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知直角三角形的斜边长为，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
4.正方形网格中，如图放置，则=（ ）
A． B． C． D．
5.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
6.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，
又测得仰角为，则该高楼的高度大约为（ ）
A.82米 B.163米 C.52米 D.70米
2、锐角三角函数的应用性问题
（1）求高
例1、某村计划开挖一条长1500m的水渠，渠道的断面为等腰梯形，上底宽2.8m，下底宽1.2m，坡角为45°，如图1，实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米？
（2）测量问题
例2、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了测量，如图2，他们先在A处测得塔顶C的仰角为30°；再向塔的方向直行80步到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请用以上数据计算塔高。（学生的身高忽略不计，1步=0.8m，结果精确到1m）
（3）、航海问题
例3、如图3，灯塔A在港口0的北偏东55°的方向，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口0出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里/小时）（供选数据：sin55°=0.8192,cos55°=0.5736,tan55°=1.4281）
四、巩固练习：
1. （2009湖州）如图，在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2. （2009益阳）如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A. B. C. D.
3. （2009宁波）如图，在坡屋顶的设计图中，AB=AC，屋顶的宽度l为10米，坡角α这35°，则坡屋顶的高度h为 米．（结果精确到0．1米）
4. （2009温州）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是 ；
5. 2009泸州）如图10，已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，
这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，，…，则CA1= ，
6. （2009衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为
7. （2009仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点、C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)
8. （2009荆门）=______．
9. （2009义乌）(1) 计算=
10. （2009湖州）（1）计算：=
五、课后练习
1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树
的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m
（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．（）m B．（）m C． m D．4m
2．（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为
（A） 2 （B） （C） （D）1
3．（2010四川凉山）已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是
A． B． C． D．
4．（2010四川眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．（2010 浙江省温州）如图，已知一商场自动扶梯的长z为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )
6．（2010 浙江台州市）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )
A．a B． C． D．
7．（2010 黄冈）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2010年贵州毕节）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2010湖北荆门）计算sin45°的结果等于（ ）
A． B．1 C． D．
10．（2010湖南常德）在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( )
A． B．2 C． D．
11．（2010江苏常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB= ，sinA= 。
12．（2010山东潍坊）直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使得B点与D点重合，则∠BCE的正切值为 ．
21世纪教育网 ( http: / / www.21cnjy.com / )
13．（2010广东中山）如图，已知RtΔABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC= ．
14．（2010湖南怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则∠A= ．
15．（2010湖北荆州）如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=，AC=5a，则△ABC的面积用含ａ的式子表示是 ．
16.如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑3 0 O米到离B点最近的D点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=4 5°，∠BCD=6 0°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B． (参考数据≈1.4，≈1.7)
17.如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m，看旗杆顶部的仰角为；小红的眼睛与地面的距离是1.5m，看旗杆顶部的仰角为．两人相距28米且位于旗杆两侧（点在同一条直线上）．请求出旗杆的高度．（参考数据：，，结果保留整数）
18.小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：
第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB的长度为9cm；
第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC为80°(O为AB中点)．
请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC的长．
(参考数据：sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67；sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84，结果精确到0.1cm．)
A
B
C
D
E
图4
A
C
B
图1
A
B
C
D
O
例2
A
C
B
A
B
O
例7
A
B
O
6
8
C
E
A
B
D
（第6题）
（第7题）
A
B
C
D
E
)
45°
图1
C
D
B
A
图2
A
B
O
北
东
西
南
图3
)
55°
B
C
A
（第1题）
图10
图9
A
B
C
D
6米
52°
35°
(第14题图)
B
A
E
D
C
30°
（第6题）
M
N
BO
A
DO
C
30°
45°
A
B
C
O
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网