一元二次方程及其应用
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一元二次方程及其应用（学案）
一、填空或选择
1、下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)④ x2-2y+6=0⑤( x2+1)= ⑥ -x-1=0
2、已知一元二次方程有一个根为零， 的值=
3、已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
4、某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，且月增长率为x，则可以列出方程为 .
5、 以 2+与2-为根的一元二次方程是
6、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 .
7、方程x2-3x+6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为
8、设是一元二次方程的两个实数根，则2X12-3X1+X22的值______
9、已知：实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，且a≠b，则
10、已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，则m= n=
11、已知：关于x的方程x2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y=(1+2k)/x的图像的两个分支在各自的象限内，y随x的增大而减小，则满足上述条件的k的整数值为 .
12、关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根
13、已知a，b，c是△ABC三条边的长那么方程的根的情况是( )
A、无实根 B、有两个不相等的正实根 C、有两个不相等的负实根 D、有两个异号实根
二，解答题
14、关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
（3）若方程的两个实数根和满足，求K的值
15、已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.
(1)求a、b的值；
(2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根
（3）若设（2）中方程的两根为X1和X2，且︳X1 ︳= ︳X2 ︳+2，求k的值
16、已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 2+ x22，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
17、已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．
（1）用含k的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y =的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．
18、体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长。
19、长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
20、随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
一元二次方程及其应用（教案）
一、填空或选择
1、下列方程中是一元二次方程的有（①②⑤ ）
①9 x2=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)④ x2-2y+6=0⑤( x2+1)= ⑥ -x-1=0
2、已知一元二次方程有一个根为零， 的值= -4
3、已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是M≤M≠ 1 ．
4、某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，且月增长率为x，则可以列出方程为 50+50(1+x)+50(1+x)2=182 .
5、 以 2+与2-为根的一元二次方程是 x2-4x+1=0
6、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 14 .
7、方程x2-3x+6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为 3
8、设是一元二次方程的两个实数根，则2X12-3X1+X22的值15______
9、已知：实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，且a≠b，则
10、已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，则m= 2 n= 3
11、已知：关于x的方程x2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y=(1+2k)/x的图像的两个分支在各自的象限内，y随x的增大而减小，则满足上述条件的k的整数值为 0或1 .
12、关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( D )
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根
13、已知a，b，c是△ABC三条边的长那么方程的根的情况是( C)
A、无实根 B、有两个不相等的正实根 C、有两个不相等的负实根 D、有两个异号实根
二，解答题
14、关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
（3）若方程的两个实数根和满足，求K的值
解（1）k≥-且k≠o
(2)不存在
（3）k=-
15、已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.
(1)求a、b的值；
(2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根
（3）若设（2）中方程的两根为X1和X2，且︳X1 ︳= ︳X2 ︳+2，求k的值
解(1) a=1、b=2
(2) △=4(X-1)2+8
(3)K=1或-1
16、已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 2+ x22，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
解(1) M≤
（2）当M=时，Y的最小值为
17、已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．
（1）用含k的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y =的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．
解（1），X,1=-1 X2=
（2）Y=-,Y=-16X-8
18、体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长。
解：（1）s=-x2+15x
(2)10米
19、长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得
5000（1－x）2= 4050
解得：x1=10％ x2＝（不合题意，舍去）
答：平均每次降价的百分率为10％．
（2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元）
方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元）
∵396900＜401400
∴选方案①更优惠．
20、随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为。根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）。
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。
（2）设全市每年新增汽车数量为万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为万辆，2011年底全市的汽车拥有量为万辆。根据题意得
解得
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
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一元二次方程及其应用（学案）
一、填空或选择
1、下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)④ x2-2y+6=0⑤( x2+1)= ⑥ -x-1=0
2、已知一元二次方程有一个根为零， 的值=
3、已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
4、某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，且月增长率为x，则可以列出方程为 .
5、 以 2+与2-为根的一元二次方程是
6、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 .
7、方程x2-3x+6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为
8、设是一元二次方程的两个实数根，则2X12-3X1+X22的值______
9、已知：实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，且a≠b，则
10、已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，则m= n=
11、已知：关于x的方程x2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y=(1+2k)/x的图像的两个分支在各自的象限内，y随x的增大而减小，则满足上述条件的k的整数值为 .
12、关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根
13、已知a，b，c是△ABC三条边的长那么方程的根的情况是( )
A、无实根 B、有两个不相等的正实根 C、有两个不相等的负实根 D、有两个异号实根
二，解答题
14、关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
（3）若方程的两个实数根和满足，求K的值
15、已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.
(1)求a、b的值；
(2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根
（3）若设（2）中方程的两根为X1和X2，且︳X1 ︳= ︳X2 ︳+2，求k的值
16、已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 2+ x22，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
17、已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．
（1）用含k的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y =的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．
18、体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长。
19、长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
20、随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
一元二次方程及其应用（教案）
一、填空或选择
1、下列方程中是一元二次方程的有（①②⑤ ）
①9 x2=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)④ x2-2y+6=0⑤( x2+1)= ⑥ -x-1=0
2、已知一元二次方程有一个根为零， 的值= -4
3、已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是M≤M≠ 1 ．
4、某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，且月增长率为x，则可以列出方程为 50+50(1+x)+50(1+x)2=182 .
5、 以 2+与2-为根的一元二次方程是 x2-4x+1=0
6、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 14 .
7、方程x2-3x+6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为 3
8、设是一元二次方程的两个实数根，则2X12-3X1+X22的值15______
9、已知：实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0，且a≠b，则
10、已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，则m= 2 n= 3
11、已知：关于x的方程x2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y=(1+2k)/x的图像的两个分支在各自的象限内，y随x的增大而减小，则满足上述条件的k的整数值为 0或1 .
12、关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( D )
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1
C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根
13、已知a，b，c是△ABC三条边的长那么方程的根的情况是( C)
A、无实根 B、有两个不相等的正实根 C、有两个不相等的负实根 D、有两个异号实根
二，解答题
14、关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
（3）若方程的两个实数根和满足，求K的值
解（1）k≥-且k≠o
(2)不存在
（3）k=-
15、已知关于x的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.
(1)求a、b的值；
(2)已知k为一实数，求证：关于x的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根
（3）若设（2）中方程的两根为X1和X2，且︳X1 ︳= ︳X2 ︳+2，求k的值
解(1) a=1、b=2
(2) △=4(X-1)2+8
(3)K=1或-1
16、已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 2+ x22，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
解(1) M≤
（2）当M=时，Y的最小值为
17、已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．
（1）用含k的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k－1)x+b与反比例函数y =的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式．
解（1），X,1=-1 X2=
（2）Y=-,Y=-16X-8
18、体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长。
解：（1）s=-x2+15x
(2)10米
19、长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得
5000（1－x）2= 4050
解得：x1=10％ x2＝（不合题意，舍去）
答：平均每次降价的百分率为10％．
（2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元）
方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元）
∵396900＜401400
∴选方案①更优惠．
20、随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为。根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）。
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。
（2）设全市每年新增汽车数量为万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为万辆，2011年底全市的汽车拥有量为万辆。根据题意得
解得
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
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