空间向量及运算 同步练习

空间向量及运算 同步练习
1．若A、B、P三点共线，O为空间任意一点，＝α＋β（α，β∈R），则α＋β等于（　　）
A．0 B．1 C．与点O有关 D．不确定
【解析】∵A、B、P三点共线 设=λ
∴=+λ（－）=（1－λ） +λ=α+β
其中α=1－λ，β=λ，则α+β=1
【答案】B
2．若｛a、b、c｝为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（　　）
A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b
C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b
【解析】易知A、B、D中的三个向量共面．
【答案】C
3．已知ABCD为矩形，P点为平面ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，G为△PCD的重心，若＝x＋yz，则x＝ ，y＝ ，z＝ ．
【解析】＝＋＝＋[（－）＋（＋－）]
＝＋（－＋＋－）
＝＋＋
∴x＝，y＝，z＝．
【答案】
4．已知空间四边形ABCD，求值·＋·＋·＝ ．
【解析】原式＝（＋）·（＋）＋（＋）·（）＋（）·（）＝·＋·＋·＋·＋·＋·＋·＋·＋·＋·＋·＝0
【答案】0
5．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角．
图9—52
【解析】设=a，=b，=c
则=c－a，=a+b
·=（c－a）·（a+b）=－a2
∴cos<，>==－
∴<， >=120°
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°．
6．求证：空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等．
【证明】｜AB｜2＋｜CD｜2＝｜BC｜2＋｜AD｜2
｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2
（＋）2＋（＋）2＝（＋）2＋（＋）2
·＋·＝·＋·
·（－）－·（＋）＝0
·－·＝0
·（＋）＝0
·＝0
⊥
DB⊥AC．
7．设a⊥b，=，=且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求|a+b+c|．
【解析】|a+b+c|2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a
=1+4+9+2×1×2×0+2×2×3×+2×3×1×=17+6
∴|a+b+c|=．
?
【解题指导】
1．若表示向量a1，a2，…，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a1＋a2＋a3＋…＋an＝0．
2．应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量；另一方面要熟练地进行向量运算．
【拓展练习】
备选题
设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证M、N、P、Q四点共面．
【证明】=，
∴
又∵ （*）
∵A、B、C及A1、B1、C1分别共线
∴
代入（*）式得：）=λ+ω
∴、、共面
∴点M、N、P、Q四点共面．