圆锥曲线统的一定义
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圆锥曲线统的一定义
一 教材分析
教学内容
本章主要研究圆锥曲线的定义
方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。
教材的地位与作用
前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。
本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课 ，上节课总结椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。这节课继续利用圆锥曲线的第二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。
教学重点和难点
圆锥曲线统一定义及其应用。
突破方法：
引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。
引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
教学目标
知识目标
圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标
分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标
在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
二 教法分析
高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。所以设计问题时应考虑灵活性。采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。
在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。
在教学手段上，采用多媒体等电教手段，增加教学容量和直观性，通过演示，激发学生学习数学的兴趣。
三 学法分析
指导读书
指导读书是培养学生自学能力以获得知识的一种非常好的方法，我在课堂上让学生带着问题研究课本知识。这不仅可以引导他们重视基础知识的作用，也可调动学生学习的积极性和主动性。
指导分析
从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生分析问题解决问题的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求解，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，选择最佳方案加以解决，从而避免“瞎撞、乱撞”的不良解题习惯。
四 教学过程
教师活动 学生活动 设计意图
阅读课本中的椭圆、双曲线的第二定义和抛物线的定义，从中找出共同点，思考能否用统一的形式把定义归纳出来。 学生阅读并讨论得出结论：平面内，到定点的距离与它到定直线的距离之比为一个常数e的点的轨迹。这里e∈（0，1）时轨迹是椭圆；e=1时轨迹是抛物线；e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。 通过分析比较三种曲线定义之间的共同点，培养学生的归纳总结能力，从而使所学知识前后联系，形成系统，加深学生对概念的理解。
例1．已知动点P(x，y)满足 EQ \F(, EQ \F(|x+y+2|,) ) =，则动点P的轨迹为 ______。 学生回忆所学知识分析：分子为到定点（2，2）的距离，分母为到定直线x+y+2=0的距离，它们的比值为定值，∈（0，1），所以点P的轨迹为椭圆。 用方程的形式进一步考查学生对圆锥曲线定义的理解。
思考：已知动点P(x，y)满足 EQ \F(, EQ \F(|x+y+2|,) ) =a，且动点P的轨迹为双曲线，求a的范围。若轨迹为抛物线呢？ 学生容易得到：轨迹为双曲线时，a>1；抛物线时a=1。 通过对例1问题的变化，不仅引导学生探究出问题的本质，而且使学生对圆锥曲线的概念能够进一步加深印象。
例2．设椭圆的右焦点为F2，AB为椭圆中过F2的弦，试分析以AB为直径的圆和右准线l的位置关系。分析：只要判断圆心到直线的距离与半径的大小关系即可。 学生讨论得解：设AB的中点为M，A，，M，，B，分别为A，M，B在直线l上的射影。由第二定义得=e (e为离心率) =e，则|AB|=|AF2|+|BF2|=e(|AA，|+|BB，|)=e·2|MM，|，∴=e| MM，|，又∵0思考：由例1作为基础能否联想双曲线与抛物线有没有类似题型，试写出并给出结论。 学生通过比较得到变式1：（双曲线）设双曲线的右焦点为F2，AB为双曲线中过F2的弦，试分析以AB为直径的圆和右准线l的位置关系。变式2：（抛物线）设抛物线的焦点为F，AB为抛物线中过F的弦，试分析以AB为直径的圆和准线l的位置关系。 由例1作为基础，学生可以自己出题，这对于学生的能力要求更高了。
例3．已知椭圆+=1（a>b>0），F1，F2为左右两焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=θ，求（1）△F1PF2的面积S。（2）双曲线有类似结论吗？是写出并求出。 （1）男生讨论：设P F1=m，PF2=n，且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积：S=mnsinθ，只要求出mn即可。由定义可知m+n=2a…①；由余弦定理得m2+n2－2mncosθ=(2c)2=4(a2－b2)…②。2－②得：2mn(1+cosθ)=4b2，mn=，所以S=mnsinθ= b2= b2tan。（2）女生讨论：已知双曲线－=1（a>0，b>0），F1，F2为左右两焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=θ，此时△F1PF2的面积？经过分析同上利用定义和余弦定理得出结论S =b2cot。 这题是考查学生圆锥曲线的第二定义及余弦定理的应用。采用男女生分开做难度相近的题，既培养学生团结合作精神，又能形成竞争意识。
例4．已知椭圆+=1（a>b>0），P为椭圆上一点，求证满足下列条件的kPM·kPN为一定值，①M、N为长轴的两个端点；②M、N为在椭圆上关于原点对称的两点。思考：双曲线有这个结论吗？试写出。 男生证明：①由题意得M（－a，0）、N（a，0），设P(xo，yo)∵P在椭圆上，∴+=1，变形得xo2－a2=－yo2，又∵kPM·kPN=·=，∴kPM·kPN=－。女生证明：②由题意可设M（m，n）、N（－m，－n），P(xo，yo)∵M、P在椭圆上，∴+=1，+=1，变形得yo2=b2(1－)，n2=(1－ )，yo2－n2=b2，∴kPM·kPN===－。讨论：已知双曲线－=1（a>0，b>0），P为椭圆上一点，求证满足下列条件的kPM·kPN为一定值，①M、N为长轴的两个端点；②M、N为在椭圆上关于原点对称的两点。方法同上可得在双曲线的结论为kPM·kPN= 这题考查圆锥曲线几何性质中的对称性及第二定义的应用。通过圆锥曲线方程形式上的共同点的联想对比，培养学生的类比思维能力。
布置作业 作业题目略 1置的作业有剃度，不能一刀切。2布置一些思考题，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。
五 板书设计
六 教学后记
在数学解题过程中，当思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的迁移，将已学过的知识（如例1与例2）或已掌握的解题方法（如例3、例4、例5）迁移过来，就有“柳暗花明又一村”的感觉了。
当然类比在解析几何的实际应用还有很多，例如新课学习焦半径，中点弦的应用等等都可以通过类比来进行学习。通过类比，学生可以对所学知识形成一个完整的体系，前后知识融会贯通后就能达到举一反三了。
研究数学的方法和手段越来越多，但类比方法仍然是我们数学教学中的一种重要的手段。在强调素质教育的今天，类比的方法应该得到进一步的加强。中学数学教材中可用来类比的素材很多，这就有待我们教师在教学中总结发现，把培养学生的类比联想思维的工作落到实处，那我们学生的思维就会上一个台阶。
X
Y
O
A，
B
A
B，
F2
M
M，
O
P
θ
F2
F1
X
Y
m
n
O
X
Y
P(xo，yo)
M（－a，0）
N（a，0）
X
Y
O
P(xo，yo)
M（m，n）
N（－m，－n）
圆锥曲线统一定义 例1 例3
例2 例4
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圆锥曲线统的一定义
一 教材分析
教学内容
本章主要研究圆锥曲线的定义
方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。
教材的地位与作用
前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。
本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课 ，上节课总结椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。这节课继续利用圆锥曲线的第二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。
教学重点和难点
圆锥曲线统一定义及其应用。
突破方法：
引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。
引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
教学目标
知识目标
圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标
分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标
在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
二 教法分析
高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。所以设计问题时应考虑灵活性。采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。
在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。
在教学手段上，采用多媒体等电教手段，增加教学容量和直观性，通过演示，激发学生学习数学的兴趣。
三 学法分析
指导读书
指导读书是培养学生自学能力以获得知识的一种非常好的方法，我在课堂上让学生带着问题研究课本知识。这不仅可以引导他们重视基础知识的作用，也可调动学生学习的积极性和主动性。
指导分析
从高考发展的趋势看，高考越来越重视学生分析问题解决问题的能力。因此，要求学生在学习中遇到问题时，不要急于求解，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，选择最佳方案加以解决，从而避免“瞎撞、乱撞”的不良解题习惯。
四 教学过程
教师活动 学生活动 设计意图
阅读课本中的椭圆、双曲线的第二定义和抛物线的定义，从中找出共同点，思考能否用统一的形式把定义归纳出来。 学生阅读并讨论得出结论：平面内，到定点的距离与它到定直线的距离之比为一个常数e的点的轨迹。这里e∈（0，1）时轨迹是椭圆；e=1时轨迹是抛物线；e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。 通过分析比较三种曲线定义之间的共同点，培养学生的归纳总结能力，从而使所学知识前后联系，形成系统，加深学生对概念的理解。
例1．已知动点P(x，y)满足 EQ \F(, EQ \F(|x+y+2|,) ) =，则动点P的轨迹为 ______。 学生回忆所学知识分析：分子为到定点（2，2）的距离，分母为到定直线x+y+2=0的距离，它们的比值为定值，∈（0，1），所以点P的轨迹为椭圆。 用方程的形式进一步考查学生对圆锥曲线定义的理解。
思考：已知动点P(x，y)满足 EQ \F(, EQ \F(|x+y+2|,) ) =a，且动点P的轨迹为双曲线，求a的范围。若轨迹为抛物线呢？ 学生容易得到：轨迹为双曲线时，a>1；抛物线时a=1。 通过对例1问题的变化，不仅引导学生探究出问题的本质，而且使学生对圆锥曲线的概念能够进一步加深印象。
例2．设椭圆的右焦点为F2，AB为椭圆中过F2的弦，试分析以AB为直径的圆和右准线l的位置关系。分析：只要判断圆心到直线的距离与半径的大小关系即可。 学生讨论得解：设AB的中点为M，A，，M，，B，分别为A，M，B在直线l上的射影。由第二定义得=e (e为离心率) =e，则|AB|=|AF2|+|BF2|=e(|AA，|+|BB，|)=e·2|MM，|，∴=e| MM，|，又∵0
例3．已知椭圆+=1（a>b>0），F1，F2为左右两焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=θ，求（1）△F1PF2的面积S。（2）双曲线有类似结论吗？是写出并求出。 （1）男生讨论：设P F1=m，PF2=n，且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积：S=mnsinθ，只要求出mn即可。由定义可知m+n=2a…①；由余弦定理得m2+n2－2mncosθ=(2c)2=4(a2－b2)…②。2－②得：2mn(1+cosθ)=4b2，mn=，所以S=mnsinθ= b2= b2tan。（2）女生讨论：已知双曲线－=1（a>0，b>0），F1，F2为左右两焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=θ，此时△F1PF2的面积？经过分析同上利用定义和余弦定理得出结论S =b2cot。 这题是考查学生圆锥曲线的第二定义及余弦定理的应用。采用男女生分开做难度相近的题，既培养学生团结合作精神，又能形成竞争意识。
例4．已知椭圆+=1（a>b>0），P为椭圆上一点，求证满足下列条件的kPM·kPN为一定值，①M、N为长轴的两个端点；②M、N为在椭圆上关于原点对称的两点。思考：双曲线有这个结论吗？试写出。 男生证明：①由题意得M（－a，0）、N（a，0），设P(xo，yo)∵P在椭圆上，∴+=1，变形得xo2－a2=－yo2，又∵kPM·kPN=·=，∴kPM·kPN=－。女生证明：②由题意可设M（m，n）、N（－m，－n），P(xo，yo)∵M、P在椭圆上，∴+=1，+=1，变形得yo2=b2(1－)，n2=(1－ )，yo2－n2=b2，∴kPM·kPN===－。讨论：已知双曲线－=1（a>0，b>0），P为椭圆上一点，求证满足下列条件的kPM·kPN为一定值，①M、N为长轴的两个端点；②M、N为在椭圆上关于原点对称的两点。方法同上可得在双曲线的结论为kPM·kPN= 这题考查圆锥曲线几何性质中的对称性及第二定义的应用。通过圆锥曲线方程形式上的共同点的联想对比，培养学生的类比思维能力。
布置作业 作业题目略 1置的作业有剃度，不能一刀切。2布置一些思考题，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。
五 板书设计
六 教学后记
在数学解题过程中，当思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的迁移，将已学过的知识（如例1与例2）或已掌握的解题方法（如例3、例4、例5）迁移过来，就有“柳暗花明又一村”的感觉了。
当然类比在解析几何的实际应用还有很多，例如新课学习焦半径，中点弦的应用等等都可以通过类比来进行学习。通过类比，学生可以对所学知识形成一个完整的体系，前后知识融会贯通后就能达到举一反三了。
研究数学的方法和手段越来越多，但类比方法仍然是我们数学教学中的一种重要的手段。在强调素质教育的今天，类比的方法应该得到进一步的加强。中学数学教材中可用来类比的素材很多，这就有待我们教师在教学中总结发现，把培养学生的类比联想思维的工作落到实处，那我们学生的思维就会上一个台阶。
X
Y
O
A，
B
A
B，
F2
M
M，
O
P
θ
F2
F1
X
Y
m
n
O
X
Y
P(xo，yo)
M（－a，0）
N（a，0）
X
Y
O
P(xo，yo)
M（m，n）
N（－m，－n）
圆锥曲线统一定义 例1 例3
例2 例4
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