填空题3
1.点P（3，5）与直线3x－y + 5 = 0的位置关系是____________________．
2.点P（1，－7）与直线3x + y + 1 = 0的位置关系是_______________．
答案：
1.点P（3，5）在直线3x－y + 5 = 0的下方．
2.点P（1，－7）在直线3x + y + 1 = 0的上方．教学素材/简单的线性规划
教学素材/简单的线性规划
习题
1．求Z＝504－8x－4y的最小值，使式中的x、y满足约束条件
2．求Z＝15－0.3x－0.2y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（提示在直线.3x＋y＝90上找可行域）
3．某村共有20个劳动力，种50亩地．每亩地上分别可种瓜、果、菜三种作物．根据调查统计，每亩所需劳动力及预计产值如下表所求，试请你帮助安排一年的生产计划，要求：
作物 需要劳动力 年产值
瓜果菜 0.6万元0.5万元0.3万元
（1）每亩都种上作物；
（2）每个劳动力都有工作；
（3）年总产值最高．
（答案：20亩种瓜，30亩种果，不种菜）选择题1
右图中阴影部分的面积是
(A)
(B)
(C)
(D)
答案：C教学素材/简单的线性规划
教学素材/简单的线性规划
测试题
课后检测试题 （时间：10分钟）
（1）简答题：什么叫做线性规划问题？
（2）求Z＝400＋7x＋5y的最小值，使式中的x，y满足约束条件
（3）甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：
食物维生素 甲 乙 丙
维生素A（单位/千克） 600 700 400
维生素B（单位/千克） 800 400 500
成本（元/千克） 11 9 4
某食物营养研究所想用这三种食物各若干，配制成100千克的混合物，并使混合物至少含56000单位的维生素A和63000单位的维生素B，应当怎样取料才能使混合物的成本最低，最低是多少．
答 案
（1）（略）
（2）画出约束条件表示的平面区域（图略）即可行域．
作直线l：400＋7x＋5y＝0，并向右平移至点M，使在可行域上距离原点最小位置．
解方程组
得M（50，20）
所以，当x＝50，y＝20时Zmin＝850．
（3）设取甲种食物x千克，乙种食物y千克，则取丙种食物100－（x＋y）千克．
依题意列目标函数，整理，得Z＝400＋7x＋5y．
依题意列约束条件，整理，得
解这个线性规划，得x＝50，y＝20时，Zmin＝850．
答：甲、乙、丙种食物分别取50千克、20千克和30千克配制，能使混合物的成本最低为850元．线性规划的应用习题
1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：
问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？
2．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：
每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12，15，17块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小．
3．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小．
4．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低．并求出最低运费．
5．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要两种木料．生产一只圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利润100元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多．
线性规划的应用习题答案
1．设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，
目标函数z=200x＋240y，
线性约束条件：
作出可行域．
z最大=200×4＋240×8=2720
答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．
2．设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2．
目标函数z=x＋2y，
线性约束条件：
作出可行域．
作一组平行直线x＋2y=t．
的整点中，点(4，8)使z取得最小值．
答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．
3．设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=3x＋2y，
线性约束条件，
作出可行域．
作一组平等直线3x＋2y=t．
A不是整点，A不是最优解．
在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值．
z最小=3×1＋2×1=5，
答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m2．
4．设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．z=960x＋360y．
线性约束条件是：
作出可行域．
作直线960x＋360y=0．
即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．
z最小=960×10＋360×8=12480
答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．
5．设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．
作出可行域．
即M(350，100)．
当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到经过点M(350，100)时，z=6x＋10y最大．
答：圆桌和衣柜应分别生产350件、100件时，才能获得最大利润．
填空题1
直角坐标平面上的点的坐标满足2x－3y + 5 > 0的点在直线2x－3y + 5 = 0的__________．
答案：
与原点同侧的所有点的坐标都满足2x－3y + 5 > 0．二元一次不等式表示的平面区域习题1
1．不等式x＋2y－6＜0表示的平面区域在直线x＋2y－6=0的
[ ]
A．左下方
B．右上方
C．左上方
D．右下方
2．在下角坐标系内，满足不等式x2－y2≥0的点(x，y)的集合(用阴影表示)是
[ ]
3．用不等式组表示两条直线y=x和x＋y＋1=0上方的平面区域．
4．用不等式组表示由三条直线y=2，y=x，和y=－x所围成的三角形区域(包括边界)．
5．直线3x＋y－3=0上位于x轴下方的一点P到直线x－y－1=0
二元一次不等式表示的平面区域习题1答案
1．A
2．B
5．设点P为(x，3－3x)
线性规划习题
(1)指出三个可行解．
(2)画出可行域．
(3)函数z=3x＋2y能否同时有最大值和最小值．
(4)求最优解及z的最大最小值．
(5)若将约束条件中的“x≤3”改为“x≥3”，其它不改变，函数z=3x＋2y能否同时有最大值和最小值．
2．求z=x＋y的最小值，使式中的x，y满足约束条件：
3．求z=2x＋y的最大值和最小值，使式中的x，y满足约束条件：
4．已知x，y满足不等式组：
求f(x，y)=x－2y的最值．
5．变量x，y满足条件：
线性规划习题答案
1．(1)在直线x=3上找可行解得(3，1)、(3，2)、(3，6)．
(3)可行域为封闭区域，z能取得最大值和最小值．
(5)不能．因可行域不封闭．
3．最优解(1，1)和(4，8)
z最大=16，z最小=3．
5．作出可行域，如图
的斜率．
显然OA的斜率最大，OB的斜率最小，
附录：线性规划的思维方式，我们有时可以推广到非线性约束条件下去应用，把数量关系转化到图形上去思考解决，这是数形结合的又一体现．
例 已知a，b是正数，方程x2＋ax＋2b=0，x2＋bx＋a=0都有实根，求a＋b的最小值．
分析 由于所给方程均有实根，
这是关于a、b的约束条件，问题就是在这一约束条件下，求a＋b的最小值．我们用线性规划的思维方式去思考．
于是满足条件的点P(a，b)在平面区域G内．
设z=a＋b，则问题转化为，过区域G作直线a＋b=t，使直线有最小的纵截距．
从图形可以看出，当直线过点(4，2)时，纵截距最小，
∴a=4，b=2时，z最小=4＋2=6
a＋b的最小值为6．
填空题2
直角坐标平面上的点的坐标满足3x－5y<0的点在直线3x－5y = 0的______________．
答案：
与点P（1，0）异侧的点的坐标都满足3x－5y<0．二元一次不等式表示的平面区域习题2
1．已知原点O(0，0)，点A(－2，2π)和点B(3，－9)，则
[ ]
A．点B在直线OA的上方
B．点A、B在直线7x＋2y=0的同一侧
C．点A在直线OB的下方
D．点O在直线AB的上方
2．设a＞0，点集S的点(x，y)满足下列所有条件：
那么S的边界是一个有几条边的多边形
[ ]
A．4
B．5
C．6
D．7
3．画出(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．
4．已知点P(x1，y1)不在直线l：Ax＋By＋C=0(B≠0)上，证明：P在l上方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)＞0．
5．用二元一次不等式组表示由直线x＋y＋2=0，x＋2y＋1=0和2x＋y＋1=0围成的三角形内部的平面区域．
二元一次不等式表示的平面区域习题2答案
1．A
2．C
3．
4．(1)必要性：过P(x1，y1)作l：Ax＋By＋C=0的平行线l1：Ax＋By＋C1=0．
但Ax＋By＋C=0，Ax＋By=－C，
∴B[Ax1＋By1＋C]＞0，必要性得证．
(2)充分性：(1)中各步，步步可逆，逆推回去，充分性得证．
备课资料/直线的倾斜角和斜率
备课资料/直线的倾斜角和斜率
测试题1
一、选择题：（每小题6分，共30分）有且只有一个选项符合题目要求．
(1) 直线的倾斜角和所经过的定点分别是 ( )
A． B．
C． D．
(2) △ABC的三个顶点为A (2，8)，B (－4，0)，C (6，0)，则AB边上中线所在直线的方程是 ( )
A． B．
C． D．
(3) 直线（t为参数，n≠0）与两坐标轴围成的面积是 ( )
A． B．
C． D．
(4) 过点P ( 6，m )和点Q (m，3)的直线与直线x－2y+ 5 = 0平行，则m的值是 ( )
A．9 B．5 C．4 D．0
(5) 过两直线和y = 3x的交点，并与原点相距为1的直线有 ( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
二、填空题：（每小题6分，共18分）．
(6) 已知点A（3，－5），B（－1，3），则线段AB的垂直平分线方程是________．
(7) 过点（0，3）与直线2x + y－7 = 0的夹角为的直线方程是______________．
(8) △ABC的面积等于3，且A（1，1），B（3，5），则点C所在直线方程为_____
___________．
三、解答题：（每小题13分，共52分）．
(9) 一条直线过点（0，－2），倾斜角的正弦是方程6x2 + x+2 = 0的根，求这条直线的方程．
(10) 直线l过点P（－4，3），与x轴、y轴分别交于A、B，当直线的倾斜角为锐角时，求△ABO（O为原点）的面积的最小值和此时的直线l的方程．
(11) 在直角坐标系中，A（0，8），B（0，4），在第一象限的角平分线上是否存在一点C，使∠ACB最大，若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．
(12) 某厂使用两种零件A、B装配两种产品x、y，该厂的生产能力是月产x最多2500件，月产y最多1200件，而组装一件x需4个A，2个B；组装2件y需6个A，8个B．某个月，该厂能用的A最多有14000个，B最多有12000个，已知产品x每件利润1000元，y每件利润2000元，欲使该月利润最高，需组装x、y产品各多少件？最高利润多少万元？
答 案
一、选择题
(1) B (2) A (3) D (4) C (5) C
提示：
(1) 由tanα =－，．选B．
(2) 线段AB的中点为M（－1，4），直线CM的方程选A．
(3) 直线化为普通方程mx + ny = 1，在x轴、y轴上交点为 ，三角形面积为：．选D．
(4) 由，得m = 4．选C．
(5) 两条直线的交点为（1，3），若斜率不存在，则直线为x = 1，若斜率存在，设方程为y－3 = k (x－1)．由 ，得，有2条．选C．
二、填空题
(6) 线段AB的中点为（1，－1），kAB =－2，则，由点斜式求得方程为
x－2y－3 = 0．
(7) 斜率存在，设为k，由，得 ，k = 3，直线的方程依次为：x + 3y－9 = 0，或 3x－y+3 = 0．
(8) △ABC中BC边上的高为 ．kAB =2，设C所在直线l的方程为 y = 2x + b，由点A（1，1）．到l的距离，解之，得b = 2，或b =－4，方程为2x－y+2 = 0 或 2x－y－4 = 0 ．
三、解答题
(9)
方程6x2+x－2 = 0的根为或，由0≤α<180 ，
∴
∴ α = 90 或150 ，则 ，或，
方程为 ，或 ．
即 或
(10)
设 l：y－3 = k (x + 4 )（k > 0），则 ，B（0，3+4k）．
．
当且仅当 ，即（k > 0）时取等号
所以最小值为24，此时方程为3x－4y +24 = 0．
(11)
假设存在点C（x，x）（x > 0），使∠ACB最大（0<∠ACB < 90 ）．
∵
由 =16，当且仅当 ，x = 4时取等号，
则的最小值为16－12 = 4>0
∴ tan∠ACB，即∠ACB有最大值，点C坐标为（4，4）．
(12)
设需组装x、y产品分别为x件、y件，依题意得：
且 Z = 1000x + 2000y ．
画出相应的平面区域和直线l：
1000x + 2000y = 0，将直线l向右上方平移，当l在M位置时，原点到直线比的距离最大．（如图7-1-3）．解方程组：
得
即组装x产品2000件、y产品1000件时，该月利润最高，为1000×2000+2000×1000 = 4000000元，即400万元．教学素材/简单的线性规划
教学素材/简单的线性规划
习题
1．求Z＝416＋8x＋4y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
2．甲乙两矿生产相同的矿石，每月产量分别不超过12万吨和8万吨．A、B两厂每月需要的矿石分别是6万吨和10万吨．已知甲矿到A、B两厂的路程分别是8公里和12公里的平路，运输成本每吨位·公里3元；乙矿到A、B两厂的路程分别是4公里和8公里的山路，运输成本每吨·公里4元．问应当怎样调运才能使两厂既满足需要的量又使总运输成本最低（答案：A厂从乙矿调6吨，B厂分别从甲、乙两矿调8吨和2吨）．
练习的目的是检查是否掌握求目标函数在约束条件下的最大值和最小值的方法和步骤，是否会把实际中的整体最优指标问题转化为用线性规划问题解决．应光练习解线性规划问题．再练习解应用问题，对练习中出现的问题应及时指出并矫正．
