最大面积是多少
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最大面积是多少
教学目标
经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利润数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值
能够分析和表达不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大值
能够对解决问题的基本策略进行反思
教学重点和难点
重点：运用二次函数的知识解决实际问题中的最大值
难点：解决此类问题的基本思路
教学过程设计
2．王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其他用途，其图形和数据如图所示，请你计算王师傅所取得最大矩形料的面积________，这时CE = ________，CF = ________．
1．某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金．经市场调查，如果1间客房的日租金每提高5元，则客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
2．某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为多少？
(2)设月销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，写出y与x之间的函数关系式．
5．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元；市场调研表明，当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆；设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．
(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
6．小店张老板批发进货，其中有一种商品进价为每件9元，按每件15元出售，每天可销售40件；现在他想采用降价促销的办法来增加利润，已知这种商品每件每降价1元，日销售量就增加10件，那么他把售价定为多少时，才能使每天获利最大？每天最大利润是多少？
例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
[本课课外作业]
A组
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？
2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
B组
4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．
5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
1．当炮弹从炮口以30 角射出后，飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间的函数关系式是h =v0t 5t2，其中v0是炮弹发射的初速度，当v0 = 300米/秒时，炮弹飞行的最大高度是________．
答案：1125米
解答题：
分析：这是函数知识在日常生活中的实际应用题，本题中各量之间的等量关系为：每天客房日租金的总收入 = 每间客房的日租金×客房每天出租的间数．
解：设每间客房的日租金提高x个5元(即5x元)，则每天客房出租数会减少6x间，根据题意可得y = (50+5x)(120 6x)，即y = 30(x 5)2+6750．
∴当x = 5时，y最大 = 6750．
解：(1)月销售利润为：[500 (55 50)×10]×(55 40) = 6750(元)
(2)y = [500 (x 50)×10]×(x 40)，即y = 10x2+1400x 4000
3．已知矩形的周长为16cm，若把矩形绕它的一条边旋转一周形成一个圆柱，求矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
解：设矩形的长为xcm，则矩形的宽为= (8 x)cm，由圆柱侧面积公式得
S侧 = 2πx (8 x) = 16πx 2πx2 (0 配方得S侧 = 2π(x 4)2+32π (0 当x = 4时，S侧最大 = 32π
所以矩形的长、宽为4cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，为32πcm2．
4．火车进站刹车滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式是s = 30t 1.5t2；火车离站台多远开始刹车，才能使火车票刚好停在站台位置上？
解：由s = 30t 1.5t2得s = (t 10)2+150
所以当t = 10时，s最大 = 150
所以当火车从离站台150米处开始刹车，火车才能刚好在站台停下．
解：(1)y = 29 25 x = x+4 (0≤x≤4)
(2)z = (8+×4) y = (8x+8)( x+4) = 8x2+24x+32
(3)由z = 8x2+24x+32，配方得z = 8(x )2+50
所以当x =时，z最大 = 50
所以当定价为29 1.5 = 27.5(万元)时，有最大利润，最大利润为50万元．
解：设降价x元，则零售价为(15 x)元，日销量为(40+10x)件
设每日利润为y元，则由题意得：y = (15 x 9)(40+10x) = 10x2+20x+240，
配方得y = 10(x 1)2+250
所以当x = 1时，y最大 = 250，这时15 x = 14
所以把售价定为每件14元时，每天获利最大，最大利润是250元．
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经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利润数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值
能够分析和表达不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大值
能够对解决问题的基本策略进行反思
教学重点和难点
重点：运用二次函数的知识解决实际问题中的最大值
难点：解决此类问题的基本思路
教学过程设计
2．王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其他用途，其图形和数据如图所示，请你计算王师傅所取得最大矩形料的面积________，这时CE = ________，CF = ________．
1．某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金．经市场调查，如果1间客房的日租金每提高5元，则客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
2．某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为多少？
(2)设月销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，写出y与x之间的函数关系式．
5．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元；市场调研表明，当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆；设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．
(1)求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
6．小店张老板批发进货，其中有一种商品进价为每件9元，按每件15元出售，每天可销售40件；现在他想采用降价促销的办法来增加利润，已知这种商品每件每降价1元，日销售量就增加10件，那么他把售价定为多少时，才能使每天获利最大？每天最大利润是多少？
例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
[本课课外作业]
A组
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？
2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
B组
4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．
5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
1．当炮弹从炮口以30 角射出后，飞行高度h(米)与飞行时间t(秒)之间的函数关系式是h =v0t 5t2，其中v0是炮弹发射的初速度，当v0 = 300米/秒时，炮弹飞行的最大高度是________．
答案：1125米
解答题：
分析：这是函数知识在日常生活中的实际应用题，本题中各量之间的等量关系为：每天客房日租金的总收入 = 每间客房的日租金×客房每天出租的间数．
解：设每间客房的日租金提高x个5元(即5x元)，则每天客房出租数会减少6x间，根据题意可得y = (50+5x)(120 6x)，即y = 30(x 5)2+6750．
∴当x = 5时，y最大 = 6750．
解：(1)月销售利润为：[500 (55 50)×10]×(55 40) = 6750(元)
(2)y = [500 (x 50)×10]×(x 40)，即y = 10x2+1400x 4000
3．已知矩形的周长为16cm，若把矩形绕它的一条边旋转一周形成一个圆柱，求矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
解：设矩形的长为xcm，则矩形的宽为= (8 x)cm，由圆柱侧面积公式得
S侧 = 2πx (8 x) = 16πx 2πx2 (0
所以矩形的长、宽为4cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，为32πcm2．
4．火车进站刹车滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式是s = 30t 1.5t2；火车离站台多远开始刹车，才能使火车票刚好停在站台位置上？
解：由s = 30t 1.5t2得s = (t 10)2+150
所以当t = 10时，s最大 = 150
所以当火车从离站台150米处开始刹车，火车才能刚好在站台停下．
解：(1)y = 29 25 x = x+4 (0≤x≤4)
(2)z = (8+×4) y = (8x+8)( x+4) = 8x2+24x+32
(3)由z = 8x2+24x+32，配方得z = 8(x )2+50
所以当x =时，z最大 = 50
所以当定价为29 1.5 = 27.5(万元)时，有最大利润，最大利润为50万元．
解：设降价x元，则零售价为(15 x)元，日销量为(40+10x)件
设每日利润为y元，则由题意得：y = (15 x 9)(40+10x) = 10x2+20x+240，
配方得y = 10(x 1)2+250
所以当x = 1时，y最大 = 250，这时15 x = 14
所以把售价定为每件14元时，每天获利最大，最大利润是250元．
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