24.1.3 弧、弦、圆心角

课件22张PPT。义务教育课程标准实验教科书九年级 上册人民教育出版社24.1.3 弧、弦、圆心角圆的对称性及特性圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.驶向胜利的彼岸圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.用旋转的方法可以得到:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 过点O作弦AB的垂线, 垂足
为M,AB 有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角，
如 , 所对的弦为AB； 则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距 ,
如图，OM为AB弦的弦心距。1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④2、下列图中弦心距做对了的是（ ）┐┐①②③④任意给圆心角，对应出现四个量：圆心角弧弦 弦心距 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．·OAB·OABA′B′A′B′因此， 重合，AB与A′B′重合．这样，我们就得到下面的定理：弧、弦与圆心角的关系定理定理（等对等定理）在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等吗?由条件:
①∠AOB=∠A′O′B′③AB=A′B′④ OD=O′D′在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件:
①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.如由条件:③AB=A′B′④ OD=O′D′①∠AOB=∠A′O′B′推论在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,
②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,
有一组量相等,那么它们所对应的
其余各组量都分别相等.如由条件:③AB=A′B′④ OD=O′D′①∠AOB=∠A′O′B′相等相等相等结论：相等以上四句话如没有在同圆或等圆中，这个结论还会成立吗？相等相等相等相等相等练习1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
（1）如果AB=CD，那么
_____________,________,____________。
（2）如果OE=OF，那么
_____________,________,__________。
（3）如果AB=CD 那么
______________,__________,_________。
（4）如果∠AOB=∠COD，那么
_________,________,_________ 。⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF 如图，在⊙O中， , ∠ACB=60o 求 证： ∠AOB= ∠BOC = ∠AOC。
证明： ∵
∴ AB=AC △ABC是等腰三角形
又∠ACB=60o
∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA
∴ ∠AOB= ∠BOC = ∠AOCACOB例 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外，
以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。
求证：AB=CD分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON， 证明: 作 , 垂足分别为M 、 N 。.PABECDF要证AB=CD ，只需证OM=ONO.如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？思考：PBEDFO一.判断下列说法是否正确：
1、相等的圆心角所对的弧相等。（ ）
2、相等的弧所对的弦相等。（ ）
二.如图，⊙O中，AB=CD，
，则试一试你的能力 你会做吗？解：∵（已知）∴∴∴∠1=∠2=45°（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）小结:
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,
②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,
有一组量相等,那么它们所对应的
其余各组量都分别相等.
如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：弧AC=弧BD拓展训练 在⊙O中，
那么弦AB与弦CD的关系为( )
AB=2CD B.AB>2CD
C.AB<2CD D.AB=CD拓展训练 在⊙O中， AB=2CD
那么 的关系为( )
B.
C. D. AB= CDAB与 2CD3、如图，已知AD=BC、求证AB=CD变式：如图，如果弧AD=弧BC，求证：AB=CD