1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质（一）》

课件27张PPT。1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、朝花夕拾3.二项式系数规律：2.二项展开式的通项:1. 二项式定理 二、探索研究… … … … … … … … …1 1… … … … … … … 1 2 1
… … … … … … 1 3 3 1… … … … … 1 4 6 4 1… … … … … 1 5 10 10 5 1… … … … 1 6 15 20 15 6 1… … … … … … … … …( a + b )1( a + b )2( a + b )3( a + b )4( a + b )5( a + b )6“1”以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和杨辉三角《九章算术》杨辉杨辉三角《详解九章算法》中记载的表 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的
《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似右面的表： 在欧洲，人们认为这个表是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal. 1623—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。然而，类似这样的表，早在我国宋朝数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已出现，我们称它为杨辉三角。杨辉指出此方法出自《释锁》，且我国北宋数学家贾宪(约11世纪)已经用过它。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。1112113311464115101051 当n= 6时,其图象是7个孤立点其定义域是{0, 1, 2, … ,n} 当n= 7时呢？20103035Onrn是偶数n是奇数(4)增减性与最大值 先增后减当n是偶数时，中间的一项 取得最大值当n是偶数时，中间的两项 取得最大值(5)区分“二项式系数”，“项的系数”、“项”三个概念（2）增减性与最大值的证明 二项式系数的增减性由与1的大小决定 二项式系数前半部分是逐渐增大的， 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 二项式系数的性质（3）各二项式系数的和 证明：在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和四、应用性质例1. (1)(1+2x)6展开式中二项式系数最大的项是第 项;(2)(1+2x)7展开式中二项式系数最大的项是第 项;(3)求(1+2x)7展开式中系数最大的项.4(4)求(1-2x)7展开式中系数最大的项和系数最小的项.4、5解: (3), 设第r+1项系数最大, 则故系数最大项为(4)求(1-2x)7展开式中系数最大的项和系数最小的项.分析：，设第r+1项系数最大，则需讨论r的奇偶约分，麻烦！(4)求(1-2x)7展开式中系数最大的项和系数最小的项.解：展开式中系数正负相间，研究系数绝对值由第（3）题可知，r从0到5 ，系数的绝对值增大,r从5到7 ，系数的绝对值减小.故当r=5时，系数最小项为得当r=4时，系数最大项为五、归纳总结(1)对称性 与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。(2)增减性与最值 先增后减当n是偶数时，中间的一项 取得最大值当n是偶数时，中间的两项 同时取得最大值(3)注意区分“二项式系数”，“项的系数”、“项”三个概念1. 知识点： 2. 数学方法： ——利用不等式研究数列增减性和最值的思想对数列{an}，有①{an}递增 ；{an}递减② 若ak是最大项，则若ak是最小项，则 课堂练习：
1）已知 ，那么 = ；
2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ；
3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n= ； 例3： 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。例4、若 展开式中前三项系数成等差

数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
（3）展开式中系数最大的项。2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（　　　）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知(1+　)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值. 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的项是( ).1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).A课堂练习:A.第6项 B.第7项C.第6项和第7项 D.第5项和第7项CA.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项3 (1)已知 展开式中只有第10项系数最大，求第五项；(2)若将“只有第10项”改为“第10项”呢？试求此时n值. 解：由于不含非1常数，展开式的系数即二项式系数(2)若 n 为偶数，同上得n=18若 n 为奇数，则解得n=19或n=173 (1)已知 展开式中只有第10项系数最大，求第五项；(2)若将“只有第10项”改为“第10项”呢？试求此时n值. (1)依题意, n 为偶数，当r=n/2时，系数最大故n=17，n=18或n=19五、施展才华 除了运用组合数公式展开以外，你能利用二项式系数的对称性和增减性，解不等式 吗？解：由C20r对称性和增减性得