1.3.1函数的单调性与导函数

课件24张PPT。函数的单调性与导函数学习导数------重在应用单调性的概念对于给定区间I上的函数f(x):
1.如果对于区间I上的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在区间I上是减函数对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。说明:
1.当函数的单调增区间或减区间有多个时，
单调区间之间不能用 连接，只能分开
写，或者可用“和”连接。2.若单调区间的端点在定义域内，则单调

区间也可以写成闭区间.函数单调性与导数正负的关系 ( 教师说明：)
应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间。在（－ ∞ ，0）和
（0, ＋∞）上分别是减函数。
但在定义域上不是减函数。设函数y＝f（x）不为常数函数，
则f(x)在某个区间是增(减）函数的充要条件是注意：要验证端点说明：
1、函数 的导数 是函数单调
递增的 条件. 充分不必要3、设函数y＝f（x）不为常数函数，则f(x)在
某个区间是增(减）函数的充要条件是注意：要验证端点总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。纳1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、
单调区间较简便？2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？归已知导函数的下列信息：试画出函数 图象的大致形状。（分析题意后让学生尝试画图，并就学生中出现的两类答案进行投影分析。）2．应用导数信息确定函数大致图象B 变式 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO解： 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或
内的图象平缓.例3.（1）如果函数
在区间 上是减函数，求实数
的取值范围.（2）若函数
是 上的单调函数，则 的取值范围为 .2.已知函数 的单调区间
是 ，则m＝ .
[解析]　解法一：(区间法)
f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
解法二：(数形结合)
如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．解法三：(转化为不等式的恒成立问题)
f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，
所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a≤7.
[点评]　本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想．证明下列不等式证明下列不等式