三角形

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八 三角形
一、考点梳理
1. 三角形的定义 --------------------------
2. 三角形的分类----------------------------
3. 三角形与三边关系-----------------------
4. 三角形内角和，内角与外角关系
5. 三角形的中位线 的定义与性质
6. 全等三角形的性质与判定
7. 等腰三角形的性质（1）----------------(2)---------------------(3)------------------------.
8. 等腰三角形的判定（1）-----------------(2)---------------------(3)------------------------
9. 直角三角形的性质（1）------------------（2）-----------------(3)-----------------------(4)-----------------------
10. 角平分线的性质与判定
11. 线段垂直平分线的性质与判定
二、考点在线
1.（08山西太原）如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．15 B．16 C．8 D．7
2、（08山东潍坊）如图，中，，，平分，交于，，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3.（08黑龙江鸡西）如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：①且；②；
③；
④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4、（08山东滨州）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．
5、（08山东济南）如图，在ABC中，EF为ABC的中位线，Ｄ为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点Ｏ，连接DE、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件　　　　　　　　．(只添加一个条件)
三、精典剖析
1、(08福建龙岩)如图，∠A=36°，∠DBC=36°，
∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.
我找的等腰三角形是： .
证明：
解析：本题考查学生掌握“黄金三角形”的基础上，熟悉基本图形运用性质进行解题。
可以找出的等腰三角形有：△ABC（或△BDC或△DAB）
证明：在△ABC中，
∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°－（72°＋36°）=72°.
∵∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
2、（08年江苏徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求证：∠A＝∠C.
（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠C，求证：AD＝CD.
分析：本题考查学生三角形全等的判定及性质，在交换命题的题设和结论后验证真命题。
证明：（A）
连结AC，因为AB＝AC，
所以∠BAC＝∠BCA，同理AD＝CD
得∠DAC＝∠DCA
所以∠A＝∠BAC＋∠DAC＝∠BCA＋∠DCA＝∠C
（B）如（A）只须反过来即可.
3、（08湖南郴州）如图8，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．
分析： 本题借助翻折变换，找出图形全等，继而利用性质进行解题。
解：四边形ABCD为菱形
理由是：
由翻折得△ABC≌△DBC．所以
因为△ABC为等腰三角形，
所以
所以AC＝CD＝AB＝BD，
故四边形ABCD为菱形
【方法总结】
图形翻折、平移、旋转变换，是常见的三种全等变换，三角形的全等常和特殊的平行四边形，联系在一起，要体会图形的变化。
四、直击中考
(一)填空题
1、（08黑龙江鸡西）如图，，请你添加一个条件： ，
2、（08辽宁大连）如图7，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P′AB，则∠PAP′的度数为________．
3、（08湖北天门）如图，已知AE＝CF，∠A＝∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件______________________(只需写一个)．
二、选择题
4、（08湖南邵阳）如图（四），点是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
5、（08贵州遵义）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=500，∠D=350，则∠AEC等于 ( )
A．600 B．500 C．450 D．300
6、（08四川成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）
(A)∠B=∠E,BC=EF （B）BC=EF，AC=DF
(C）∠A=∠D，∠B=∠E （D）∠A=∠D，BC=EF
7、（08黑龙江大庆）如图，将非等腰的纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若点为边的中点，则下列结论：①是等腰三角形；②；③是的中位线，成立的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8、（08山东泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
1、（08湖北宜昌）如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD．设点E是BC的中点，点F是BD的中点．
（1）请你在图中作出点E和点F；(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明）
（2）连接AE，AF．若∠ABC＝∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．
2、（08湖南益阳）如图2，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.
(1)求∠EDB的度数；
(2)求DE的长.
3. 已知：ABC中，B和C的平分线相交于D，过D作BC的平行线交AB,AC于E，F（图20），求证：EF=BE+CF
4.已知：如图21，ABC中，D是BC中点，AN平分BAC，BNAN于N，AB=10，AC=16，求：ND的长.
5. 已知：如图22，在ABC中，A=90，AB=AC，1=2，CEBE于E，求证：BD=2CE.
6.已知：如图23，在ABC中，A=2B，CD是C的平分线，求证：BC=AC+BD.
7. 已知：如图24，ABC中，AB>AC，AD平分BAC，EFAD于G，交AB于E，AC于F，交BC的延长线于M，求证：M=(ACB-B).
8.（08新疆区卷）如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B．
求证：AB=AC+CD．
9.（08山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片和．将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点．
（1）当旋转至如图②位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 ．
（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接，探索与之间有怎样的位置关系，并证明．
方法感悟
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【考点在线答案】
1、A2A、3、B4、①②③⑤ 5、BD=CD，OE=OF，DE∥AC等　。
【直击中考参考答案】
一、填空题
1、使（只添一个即可）．或或或 2、60 3、AD＝CB等
2、 选择题
4、B 5、A 6、D 7、D 8、C
三、解答题
1、解：(1)能看到“分别以B，C为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，交BC于E”的痕迹，能看到用同样的方法“作出另一点F(或以B为圆心，BE为半径画弧交BD于点F)”的痕迹
(2)∵BC＝BD，E，F分别是BC，BD的中点，
∴BE＝BF，∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD,∴△ABE≌△ABF.
2、解：（1）∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝
（2）∵AB＝BC， BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点
　　∵DE∥BC，∴E为AB的中点，
∴DE＝
3. 证BE=DE，CF=DF，则EF=DE+CF=BE+CF.
4. 延长BN交AC于M，证ABN≌AMN，则AB=AM，BN=MN，证DN是BCM中位线，∴ND=CM=3
5. 延长BA交CE的延长线于F，由AB=AC，BAC=FAC=90，EDC=F=ADB；可证ABD≌ACF ∴BD=CF 又∵BE是 ABC的平分线 BEC=BEF=90，BE=BE，可证BEC≌BEF ∴EF=EC ∴CF=2CE ∴BD=2CE
6. 延长CA到 E，使CE=CB，连结ED，可证CBD≌CED ∴B=E ∵BAC=2B∴BAC=2E=EDA+E ∴EDA=E ∴AD=AE ∴BC=CE=CA+AE=AC+AD
7. 可证AEG≌AFG，AEF是等腰三角形 ∴AEG=AFG ∵AFG=CFM ∴AEG=CFM ∵ACB是CFM的外角 ∴M=ACB-CFM 同理可证M=AEG-B ∴2M=ACB-CFM+AEG-B=ACB-B ∴M=(ACB-B)
8、证明：
∵∠1=∠B
∴∠AED=2∠B，DE=BE∴∠C=∠AED在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED
∴AC=AE，CD=DE，∴CD=BE．
∴AB=AE+EB=AC+CD．
9.解：（1）∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝
（2）∵AB＝BC， BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点
　　∵DE∥BC，∴E为AB的中点，
∴DE＝
2、解：（1）（或相等）．
（2）（或成立），理由如下：
方法一：由，得
（或），．
，．
在和中，
．
．
，
．
方法二：连接．同方法一．
由，得．
在，
，．
（3）如图，．
方法一：由，点与点重合，
得．
点在的垂直平分线上，
且．
，
，
．
，点在的垂直平分线上．
直线是的垂直平分线，．
方法二：延长交于点，同方法一，．
在和中，
．
在和中，
，．．
E
A
B
D
F
C
A
D
B
F
C
E
第3题图
A
B
C
E
D
O
P
Q
A
E
B
C
F
O
第5题图
D
（第21题图）
图8
D
O
C
B
AB
第1题图
A
B
C
D
E
F
(第3题图)
C
A
D
P
B
图（四）
A
B
D
E
C
F
（第7题）
6
8
C
E
A
B
D
（第8题）
(第1题)
A
B
C
D
E
图2
图23
图22
图21
图24
C
A
E
F
D
B
C
D
O
A
F
B(E)
A
D
O
F
C
B(E)
图①
图②
图③
A
D
O
F
C
B(E)
G
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