函数（二 ）
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函数（二）
一、考点梳理
1、 形如_________________（a,b,c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是函数的表达式的_________、__________、___________。
2、二次函数的图像及性质。
y＝ax2 (a≠0) y＝ax2＋c (a≠0) y＝a(x＋m)2 (a≠0) y＝a(x＋m)2＋n (a≠0) y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
开口方向 a＞0
a＜0
顶点坐标
对称轴方程
增减性 a＞0
a＜0
最值 a＞0
a＜0
3、二次函数的解析式的两种形式。
（1）一般式：_____________________（a,b,c为常数，a≠0），其顶点坐标为（_____,_____）。
（2）顶点式：_____________________（a,b,c为常数，a≠0），其顶点坐标为（_____,_____）。
4、二次函数图像的平移。
y＝ax2 y＝ax2＋c
y＝a(x＋m)2 y＝a(x＋m)2＋n
5、抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与x轴的位置关系。
（1）当b2－4ac＜0，抛物线与x轴_________公共点。
（2）当b2－4ac＝0，抛物线与x轴_________公共点。
（3）当b2－4ac＞0，抛物线与x轴__________交点，抛物线与x轴交点横坐标是方程_____________的根。
二、考点在线
1、（2008,长春）抛物线y＝(x＋2)2＋3的顶点坐标是（ ）
A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3）
2、（2008,潍坊）若一次函数y＝(m＋1)x＋m的图象过第一、三、四象限，则函数y＝mx2－mx（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
3、（2008,长春）二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
4、（2008,长春）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－x＋k2的图象大致为（ ）
5、（2008,长沙）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A、a＜0 B、abc＞0 C、a＋b＋c＞0 D、b2－4ac＞0
三、经典剖析
例1.（2008,长春）将抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y＝－2x2－4x＋5，则原抛物线的顶点坐标是 .
解读：本题考查了二次函数的图像的平移与解析式的关系。y＝－2x2－4x＋5＝－2(x＋1)2＋7其顶点坐标为（－1,7），由抛物线的平移规律知：抛物线的平移即时顶点坐标的平移，在平面直角坐标系内把点（－1,7）向右平移4个单位，再向上平移3个单位，即得到原抛物线的顶点坐标(3,0)。
例2.（2008,安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图。
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
解：（1）y＝－x2＋3x＋1＝－(x－) 2 ＋ ∵，∴函数的最大值是。
答：演员弹跳的最大高度是米。
（2）当x＝4时，＝3.4＝BC，所以这次表演成功。
解读：本题通过建立二次函数模型解决实际问题。（1）y＝－x2＋3x＋1的最大值即为所求；（2）利用点是否在函数图像上进行判断。
四、直击中考
1、选择题
（1）（2007,陕西）抛物线y＝x2－4x－7的顶点坐标是（ ）
A．（2,－11） B．（－2,7） C．（2,11） D．（2，－3）
（2）（2008,山西）抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移得到y＝－2x2，平移方法是( )
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
（3）（2007,兰州）二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则点A(ac，bc)在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（4）（2008,福州）已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2－m＋2008的值为( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
（5）（2008,泰安）在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和y＝－mx2＋2x＋2（是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
（6）（2006,陕西）如图，抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝x2－x＋2 B．y＝－x2－x＋2 C．y＝x2＋x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
（7）（2008,德州）若A（,y1），B（,y2），C（,y3）为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
2、 填空题
（8）（2008,兰州）在同一坐标平面内，下列4个函数①y＝2(x+1)2－1，②y＝2x2＋3，③y＝－2x2－1，④y＝0.5x2－1的图象不可能由函数y＝2x2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是________．
（9）（2007,江西）已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为 ．
（10）（2006,黑龙江）请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为－1，且经过点（1,3）的抛物线的解析式_________________.
（11）（2008,庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．
（12）（2006,浙江绍兴）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是________.
（13）(2007,成都) 如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2－3x＋a2－1的图象，那么的值是 ．
3、解答题
（14）（2007,天津）已知一抛物线与x轴的交点是A(－2,0)、B（1，0），且经过点C（2，8）。
①求该抛物线的解析式；
②求该抛物线的顶点坐标。
（15）（2008,哈尔滨）小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
①求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
（16）（2008年,青岛）某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
①求与之间的函数关系式；
②设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？
(17)（2008,金华）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地 面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.
①求该抛物线的解析式；
②如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
③如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写出t自由取值范围_________。
（18）（2008,温州）一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B．
①求点A，B的坐标，并画出一次函数y＝x－3的图象；
②求二次函数的解析式及它的最小值．
（19）（2008,上海）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像经过点A(－1,0)，顶点为．
①求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；
②如果点的坐标为(4,0)，AE⊥BC，垂足为点，点在直线上，DE＝1，求点的坐标．
(20)(2008,重庆)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
五、方法感悟
函数
性质
向上（c＞0）或向下（c＜0）平移︱c︱单位长度
向左或 向右
（m＞0）
（m＜0）
平移 个单位长度
︱m︱
向左或 向右
（m＞0）
（m＜0）
平移 个单位长度
︱m︱
向上（n＞0）或向下（n＜0）平移︱n︱单位长度
A．
B．
C．
D．
.
.
5题图
3题图
6题图
x
y
O
Ａ．
x
y
O
Ｂ．
x
y
O
Ｃ．
x
y
O
Ｄ．
9题图
O
y
x
11题图
12题图
13题图
400
300
60
70
Ｏ
y(件)
x(元)
16题图
17题图
x
y
19题图
A
20题图
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函数（二）
一、考点梳理
1、 形如_________________（a,b,c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是函数的表达式的_________、__________、___________。
2、二次函数的图像及性质。
y＝ax2 (a≠0) y＝ax2＋c (a≠0) y＝a(x＋m)2 (a≠0) y＝a(x＋m)2＋n (a≠0) y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
开口方向 a＞0
a＜0
顶点坐标
对称轴方程
增减性 a＞0
a＜0
最值 a＞0
a＜0
3、二次函数的解析式的两种形式。
（1）一般式：_____________________（a,b,c为常数，a≠0），其顶点坐标为（_____,_____）。
（2）顶点式：_____________________（a,b,c为常数，a≠0），其顶点坐标为（_____,_____）。
4、二次函数图像的平移。
y＝ax2 y＝ax2＋c
y＝a(x＋m)2 y＝a(x＋m)2＋n
5、抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与x轴的位置关系。
（1）当b2－4ac＜0，抛物线与x轴_________公共点。
（2）当b2－4ac＝0，抛物线与x轴_________公共点。
（3）当b2－4ac＞0，抛物线与x轴__________交点，抛物线与x轴交点横坐标是方程_____________的根。
二、考点在线
1、（2008,长春）抛物线y＝(x＋2)2＋3的顶点坐标是（ ）
A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3）
2、（2008,潍坊）若一次函数y＝(m＋1)x＋m的图象过第一、三、四象限，则函数y＝mx2－mx（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
3、（2008,长春）二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
4、（2008,长春）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－x＋k2的图象大致为（ ）
5、（2008,长沙）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A、a＜0 B、abc＞0 C、a＋b＋c＞0 D、b2－4ac＞0
三、经典剖析
例1.（2008,长春）将抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线y＝－2x2－4x＋5，则原抛物线的顶点坐标是 .
解读：本题考查了二次函数的图像的平移与解析式的关系。y＝－2x2－4x＋5＝－2(x＋1)2＋7其顶点坐标为（－1,7），由抛物线的平移规律知：抛物线的平移即时顶点坐标的平移，在平面直角坐标系内把点（－1,7）向右平移4个单位，再向上平移3个单位，即得到原抛物线的顶点坐标(3,0)。
例2.（2008,安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图。
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
解：（1）y＝－x2＋3x＋1＝－(x－) 2 ＋ ∵，∴函数的最大值是。
答：演员弹跳的最大高度是米。
（2）当x＝4时，＝3.4＝BC，所以这次表演成功。
解读：本题通过建立二次函数模型解决实际问题。（1）y＝－x2＋3x＋1的最大值即为所求；（2）利用点是否在函数图像上进行判断。
四、直击中考
1、选择题
（1）（2007,陕西）抛物线y＝x2－4x－7的顶点坐标是（ ）
A．（2,－11） B．（－2,7） C．（2,11） D．（2，－3）
（2）（2008,山西）抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移得到y＝－2x2，平移方法是( )
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
（3）（2007,兰州）二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则点A(ac，bc)在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（4）（2008,福州）已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2－m＋2008的值为( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
（5）（2008,泰安）在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和y＝－mx2＋2x＋2（是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
（6）（2006,陕西）如图，抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝x2－x＋2 B．y＝－x2－x＋2 C．y＝x2＋x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
（7）（2008,德州）若A（,y1），B（,y2），C（,y3）为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
2、 填空题
（8）（2008,兰州）在同一坐标平面内，下列4个函数①y＝2(x+1)2－1，②y＝2x2＋3，③y＝－2x2－1，④y＝0.5x2－1的图象不可能由函数y＝2x2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是________．
（9）（2007,江西）已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为 ．
（10）（2006,黑龙江）请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为－1，且经过点（1,3）的抛物线的解析式_________________.
（11）（2008,庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．
（12）（2006,浙江绍兴）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是________.
（13）(2007,成都) 如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2－3x＋a2－1的图象，那么的值是 ．
3、解答题
（14）（2007,天津）已知一抛物线与x轴的交点是A(－2,0)、B（1，0），且经过点C（2，8）。
①求该抛物线的解析式；
②求该抛物线的顶点坐标。
（15）（2008,哈尔滨）小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
①求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
（16）（2008年,青岛）某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
①求与之间的函数关系式；
②设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？
(17)（2008,金华）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地 面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.
①求该抛物线的解析式；
②如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；
③如果身高为1.4米的小丽站在OD之间，且离点O的距离为t米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图像，写出t自由取值范围_________。
（18）（2008,温州）一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B．
①求点A，B的坐标，并画出一次函数y＝x－3的图象；
②求二次函数的解析式及它的最小值．
（19）（2008,上海）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像经过点A(－1,0)，顶点为．
①求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；
②如果点的坐标为(4,0)，AE⊥BC，垂足为点，点在直线上，DE＝1，求点的坐标．
(20)(2008,重庆)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
五、方法感悟
函数
性质
向上（c＞0）或向下（c＜0）平移︱c︱单位长度
向左或 向右
（m＞0）
（m＜0）
平移 个单位长度
︱m︱
向左或 向右
（m＞0）
（m＜0）
平移 个单位长度
︱m︱
向上（n＞0）或向下（n＜0）平移︱n︱单位长度
A．
B．
C．
D．
.
.
5题图
3题图
6题图
x
y
O
Ａ．
x
y
O
Ｂ．
x
y
O
Ｃ．
x
y
O
Ｄ．
9题图
O
y
x
11题图
12题图
13题图
400
300
60
70
Ｏ
y(件)
x(元)
16题图
17题图
x
y
19题图
A
20题图
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