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第3章 圆复习（2）
湖南省新邵县酿溪中学王军旗
1.直线和圆有哪些位置关系？数量特征怎样？
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知识要点
图形
交点个数 １个 ２个
数量特征
位置关系 相离 相切 相交
直线名称 无 切线 割线
无交点
若ｄ＞ｒ
若ｄ＝ｒ
若ｄ＜ｒ
想一想
２、切线有什么性质？
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切线垂直于过切点的半径。
如图直线ＣＤ切⊙Ｏ于Ａ,
则ＯＡ⊥ＣＤ
3.怎样判断一条直线是圆的切线？
（1） 从交点个数判：如果直线和圆只有一个交点，这条直线是圆的切线。
（2） 从圆心和直线的距离判：圆心到直线的距离等于圆的半径，这条直线是圆的切线。
（3） 利用切线判定定理：经过半径外端，垂直于半径的直线是圆的切线。
有两种题型：一是直线和圆有公共点，连接圆心交点，证明直线和半径垂直。
二是直线和圆没有公共点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于圆的半径。
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4．圆与圆有哪些位置关系？数量特征怎样？
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图形
交点个数 ０ １ ２ １ ０
数量特征 ｄ＞r1+r2, ｄ＝r1+r2, ｄ ＝r2-r1 ｄ＜
r2-r1
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
r2-r1<
d助你记忆
圆与圆的位置关系
【例1】. (2010年安徽省芜湖市)若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．
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【解】设另一圆的半径为r,
∵10>7, ∴两圆外切不可能，当r<10时，两圆内切时，10-r=7,r=3,
当r>10时，两圆内切，r-10=7,r=17
∴另一圆的半径为3或17.
3或17
1、(2009年滨州)已知两圆半径分别为2和3，圆心距为 ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）
A．05
C．05 D．0≤d<1或d>5
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【解】当两圆外切时，d>2+3=5,
当两圆内含时，0≤d<3-2=1
选D.
变式练习
D
与切线的性质有关的问题
【例2】. (2009年潍坊)已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30 ，则BD的长为（ ）
【分析】连接OC,利用切线的性质
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【解】：连接OC, ∵OA=OC,
∴ ∠A=∠OCA=30 ,∴∠DOC=∠A+∠OCA=60 , ∵DC是圆O的切线，
∴OC⊥CD, ∴∠D=90 -60 =30 . ∴OD=2OC=2R。∴BD=OD-BO=2R-R=R.
C
【点评】已知切线和切点，要想到切线的性质，连接圆心和切点构造直角。
变式练习
1、如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线, 点C在⊙上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为______
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【解】∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90
∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD=90 =∠C
∵BC∥OD, ∴∠B=∠AOD
∴△ACB∽△DAO,
∴BC:AB=AO:OD,
即：BC:2=1:3，BC=2/3
BC=2/3
2、如图，AB是⊙O的直径，延长AB到P，使BP=0.5AB，PC切⊙O于点C，点D在 上和点C不重合的一点，则∠D的度数为___.
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【分析】连接OC，则∠D=0.5∠COB,因此只要求∠COB的度数
【解】连接OC，BC,∵PC切⊙O于C， ∴ ∠OCP=90
∵ OB=0.5AB,BP=0.5AB，∴OB=BP, ∴CB=OB=OC,∴∠COB=60
∴∠D=0.5∠COB=30
与切线判定有关的问题。
【例3】（福建德化）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB= ，BC=2，求⊙O的半径．
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【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EC,
可以考虑证明∠ECO+∠EOC=90
或∠DEC+∠AEO=90 .
(2)设圆O的半径为r,在△OEC中，利用勾股
定理建立关于r的方程，求出r,也可以考虑
作OM⊥AE,利用△AMO∽△ADC求r.
M
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【例3】∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB= ，BC=2，求⊙O的半径
【解】(1）直线CE与⊙O相切。
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC ，
又 ∵∠ACB=∠DCE
∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90
∴∠AE0+∠DEC=90 ∴∠OEC=90 ∴直线CE与⊙O相切。
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【点评】
如果一条直线和圆有交点，要证明这条直线是圆的切线，只需要连接圆心和直线与圆的交点，证明这条直线垂直半径。
变式练习：
3、在Rt△AOB 中，∠AOB=90 ，AO=3 ,BO=6 ，以O 为圆心，6 为半半径作圆，求证:AB 是⊙O 的切线。
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小结
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1、已知直线和圆相切，连接圆心和切点可以得直角。
2、证明直线是圆的切线，先要考察这条直线与圆有没有交点，如果有交点就连接圆心和交点，证明这条直线垂直半径，如果不知道这条直线和圆有交点，就过圆心作已知直线的切线，证明垂线段等于圆的半径。
作业
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4.如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OE∥AC交AB于E，求证：DE是半圆O的切线。
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第3章 圆复习（2）
教学目标
【知识与技能】
1.掌握直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系。
2.会利用直线与圆相切的性质解决简单的几何问题，会判断一条直线是圆的切线。
3.会利用圆与圆的位置解决简单几何问题。
【过程与方法】通过切线性质和判定的应用，圆与圆的位置关系的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过线的判定
教学过程
一 知识要点
1.直线和圆有哪些位置关系？数量特征怎样？
2.切线有什么性质？
切线垂直于过切点的半径。
3.怎样判断一条直线是圆的切线？
（1） 从交点个数判：如果直线和圆只有一个交点，这条直线是圆的切线。
（2） 从圆心和直线的距离判：圆心到直线的距离等于圆的半径，这条直线是圆的切线。
（3） 利用切线判定定理：经过半径外端，垂直于半径的直线是圆的切线。
有两种题型：一是直线和圆有公共点，连接圆心这点，证明直线和半径垂直。
二是直线和圆没有公共点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于圆的半径。
4．圆与圆有哪些位置关系？数量特征怎样？
二 知识运用
1.圆与圆的位置关系。
【例1】. (2010年安徽省芜湖市)若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．
【解】设另一圆的半径为r, ∵10>7, ∴两圆外切不可能，当r<10时，两圆外切时，10-r=7,r=3,
当r>10时，r-10=7,r=17
∴另一圆的半径为3或17.
练习：(2009年滨州)已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．或 D．或
【解】当两圆外切时，d>2+3=5,当两圆内含时，0≤d<3-2=1
选D.
2.与切线的性质有关的问题
【例2】. (2009年潍坊)已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【解】：连接OC, ∵OA=OC, ∠A=∠OCA=30 ,∴∠DOC=∠A+∠OCA=60 , ∵DC是圆O的切线，∴OC⊥CD, ∴∠D=90 -60 =30 . ∴OD=2OC=2R。∴BD=OD-BO=2R-R=R.
【点评】已知切线和切点，要想到切线的性质，连接圆心和切点构造直角。
练习：
1、 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线, 点C在⊙上，BC∥OD，AB=2，OD=3，则BC的长为______
【解】∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90
∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD=90 =∠C
∵BC∥OD, ∴∠B=∠AOD
∴△ACB∽△DAO, ∴BC:AB=AO:OD,即：BC:2=1:3，BC=2/3
2、 如图，AB是⊙O的直径，延长AB到P，使BP=0.5AB，PC切⊙O于点C，点D在上和点C不重合的一点，则∠D的度数为___.
【分析】连接OC，则∠D=0.5∠COB,因此只要求∠COB的度数。
【解】连接OC，BC,∵PC切⊙O于C，∵∠OCP=90
∵OB=0.5AB,BP=0.5AB，∴OB=BP, ∴CB=OB=OC,∴∠COB=60
∴∠D=0.5∠COB=30
1. 与切线判定有关的问题。
【例3】（福建德化）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EC,可以考虑证明∠ECO+∠EOC=90
或∠DEC+∠AEO=90 .
(2)设圆O的半径为r,在△OEC中，利用勾股定理建立关于r的方程，求出r,也可以考虑作OM⊥AE,利用△AMO∽△ADC求r.
【解】1）直线CE与⊙O相切。
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴BD∥AD，∠ACB=∠DAC ，
又 ∵∠ACB=∠DCE
∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90
∴∠AE0+∠DEC=90 ∴∠OEC=90 ∴直线CE与⊙O相切。
（2）∵tan∠ACB=，BC=2 ∴AB=BC∠ACB= AC=
又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= ∴DE=DC tan∠DCE=1
在Rt△CDE中，CE=，
连接OE，设⊙O的半径为r，
则在Rt△COE中，即 解得：r=
【点评】如果一条直线和圆有交点，要证明这条直线是圆的切线，只需要连接圆心和直线与圆的交点，证明这条直线垂直半径。
变式练习：
1、 在Rt△AOB中，∠AOB=90 ，AO=,BO=6，以O为圆心，6为半径作圆，求证:AB是⊙O的切线。
【证明】作OC⊥AB于C。
在Rt△AOB中,由勾股定理得：
AB=
根据三角形的面积公式得：OC×AB=OA×OB
∴OC=6，
∴AB是⊙O的切线。
【说明】若不知道直线和圆有交点，要证明这条直线是圆的切线，可以过圆心作这条直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径。
2、(2009年本溪)如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若．
（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；
（2）当时，求的长．
解：（1）∵OD⊥AB, ∴∠OFB=90 , ∴∠BOF+∠OBF=90
∵∠AEC=∠OBF=∠D, ∴∠D+∠BOF=90 ,又DB经过直径AB外端，
∴DB是圆O的切线。
（2）由垂径定理得：BF=FC=BC=4
OB=5, ∴
∵∠OBF=∠D,∠DOB=∠BOF, ∴△BOF∽△DOB. ∴,∴,∴DB=.
三 总结反思，拓展升华
这节课复习了哪些知识要点？
作业：
1．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2（2009年衢州）外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是
A．11 B．7 C．4 D．3
3. （09湖南邵阳）如图，是圆的直径，是圆的切线，为切点，连结交圆于点，连结，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OE∥
AC交AB于E，求证：DE是半圆O的切线。
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