七 图形变换
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七、图形变换
一、学习目标
1、能识别轴对称图形和中心对称图形2、能利用图形的平移以及旋转变换的知识求作图形、设计图案等问题3、建立适当的直角坐标系描述物体的位置、图形的变换与坐标的变化、用不同的方式确定物体的位置
二、知识要点1．图形的轴对称2．图形的平移3．图形的旋转4．图形变换与坐标、函数
三、考点再现
1．如图1所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片镜子里的影像是下列各图中的（ ）．
图1 A． B． C． D．
2．如果将一个图形的各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，则所得的图案和原图案相比，其变化为（ ）
A. 关于x轴轴对称 B. 关于y轴轴对称
C. 关于原点中心对称 D. 无法确定
3．在下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（ ）
4．（2009 ·山东烟台）如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
5. （2009·湖南株州）如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形拼成的．测得，，，，则的度数是 （ ）
A． B．
C． D．
6. （2009·四川泸州）如图，P是正△ABC内的一点，若将绕点B旋转到，则的度数是
A．45° B．60°
C．90° D．120°
四、典例剖析
例1 （2009郴州） 下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
分析：把图形沿某一直线对折，若直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形；若把图形绕某一点旋转 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 后能与自身重合，则该图形为中心对称图形，因此，可知（C）是中心对称图形，它不是轴对称图形；（B）、（D）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
解：选（A）．
例2 （2009长沙）如图1是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
（1）作出关于直线的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点逆时针旋转 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ；
（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让图案变得更加美丽．
分析：本题综合考查了图形变换的几个知识点．无论作轴对称图形，还是旋转作图，画出关键点变化以后的位置，再连线，是解决这类问题的基本方法．
解：略．
五、达标训练
一、选择题
1．（2010福建福州）下面四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（2010浙江宁波）下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是
3．（2010四川凉山）下列图案中，只要用其中一部分平移一次就可以得到的是
A． B． C． D．
4．下列的说法中,正确的是……………………………………( ).
A. 中心对称图形必是轴对称图形.
B. 长方形是中心对称图形,也是轴对称图形.
C. 菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形.
D. 角是轴对称图形也是中心对称图形.
5．如图，△ABC平移到△DEF的位置，下列结论不成立的是（ ）
A. AC=DF. B. AD=BE C. AB=EF. D. ∠C＝∠F
6..将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为( )
A y=(x-2)2-2 B y=(x-2)2+2 C y=(x-2)2-3 D y= (x-2)2+3
7．如果一个图形绕着一个点至少需要旋转72°才能与它本身重合，则下列说法正确的是（ ）
A. 这个图形一定是中心对称图形 B. 这个图形可能是中心对称图形
C. 这个图形旋转216°后能与它本身重合 D. 以上都不对
8．以下几种位似图形的画法，其中正确的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第8题图
二、填空题
9．如图，△DEF是由△ABC平移得到的，若∠1＝60°，∠2＝50°，则
∠F=_____.
第9题图 第11题图
10．通过平移把点A（2，－3）移到点（4，－2），按同样的方式，点B（3，1）移动到点,则点的坐标是____________.
11．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠B=60°，△ABC顺时针旋转后与△ADE重合。则旋转中心是 ，旋转了 度。
12．请你写出既是轴对称又是中心对称的两个几何图形是
13．如下图，如果我们给中国象棋建立一个平面直角坐标系，假设马的位置是图中的P点，如果马所在的位置为（2，1），则下一步马的可能的坐标为_____________________________________.(写出4个即可)
第13题图 第14题图
14．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______________.
三、解答题
15．如下图，在直角坐标系中，
（1）描出下列各点，并将这些点用线段依次连结起来（－5，0），（－5，4），（－8，7）,（－8，3）；
（2）连结后的四边形是怎样的四边形？
（3）把（1）中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案，并写出平移后各个顶点的坐标，这些坐标在原来的基础上发生了怎样的变化？
16．如图，已知△ABC，D为BC边的中点。
（1） 将△ABC绕着点D旋转180°，画出旋转后的△EBC；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2） 四边形ABEC是怎样的四边形？为什么？
17．（2009·湖南益阳） 如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，
巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的
轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC
相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，
求出x的值．
18.（2010四川眉山）如图，Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC =，
试探索、满足什么关系时，
△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
六、学习感悟
七、图形变换 参考答案
达标训练1——8 C C B B C A C D
9. 700, 10. (5,2) ,11. A, 30,12. 答案不唯一，如矩形，圆等 13 .答案不唯一，如（0，0），（4，0）（0，2）（1，3）等 ，14. 1-，15．略 ，16.略,
17．（1）
证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF
∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF
∴四边形AEGF是正方形
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x
∵BD＝2，DC＝3
∴BE＝2 ，CF＝3
∴BG＝x－2，CG＝x－3
在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2
∴（x－2）2＋（x－3）2＝52
化简得，x2－5x－6＝0
解得x1＝6，x2＝－1（舍）
所以AD＝x＝6
18.（1）证明：∵Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB
∴∠CAC =∠BAB
∴∠ACC =∠ABB 又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE
（3） 解：当时，△ACE≌△FBE．
在△ACC中，∵AC=AC ，
∴
在Rt△ABC中，
∠ACC+∠BCE=90°，即，
∴∠BCE=．
∵∠ABC=，
∴∠ABC=∠BCE
∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．
C
A
O
B
(A)
(D)
(B)
(C)
A
B
C
D
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4
B
C
A
E
G
D
F
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七、图形变换
一、学习目标
1、能识别轴对称图形和中心对称图形2、能利用图形的平移以及旋转变换的知识求作图形、设计图案等问题3、建立适当的直角坐标系描述物体的位置、图形的变换与坐标的变化、用不同的方式确定物体的位置
二、知识要点1．图形的轴对称2．图形的平移3．图形的旋转4．图形变换与坐标、函数
三、考点再现
1．如图1所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片镜子里的影像是下列各图中的（ ）．
图1 A． B． C． D．
2．如果将一个图形的各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以－1，则所得的图案和原图案相比，其变化为（ ）
A. 关于x轴轴对称 B. 关于y轴轴对称
C. 关于原点中心对称 D. 无法确定
3．在下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（ ）
4．（2009 ·山东烟台）如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
5. （2009·湖南株州）如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形拼成的．测得，，，，则的度数是 （ ）
A． B．
C． D．
6. （2009·四川泸州）如图，P是正△ABC内的一点，若将绕点B旋转到，则的度数是
A．45° B．60°
C．90° D．120°
四、典例剖析
例1 （2009郴州） 下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
分析：把图形沿某一直线对折，若直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形；若把图形绕某一点旋转 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 后能与自身重合，则该图形为中心对称图形，因此，可知（C）是中心对称图形，它不是轴对称图形；（B）、（D）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
解：选（A）．
例2 （2009长沙）如图1是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：
（1）作出关于直线的轴对称图形；
（2）将你画出的部分连同原图形绕点逆时针旋转 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ；
（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让图案变得更加美丽．
分析：本题综合考查了图形变换的几个知识点．无论作轴对称图形，还是旋转作图，画出关键点变化以后的位置，再连线，是解决这类问题的基本方法．
解：略．
五、达标训练
一、选择题
1．（2010福建福州）下面四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（2010浙江宁波）下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是
3．（2010四川凉山）下列图案中，只要用其中一部分平移一次就可以得到的是
A． B． C． D．
4．下列的说法中,正确的是……………………………………( ).
A. 中心对称图形必是轴对称图形.
B. 长方形是中心对称图形,也是轴对称图形.
C. 菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形.
D. 角是轴对称图形也是中心对称图形.
5．如图，△ABC平移到△DEF的位置，下列结论不成立的是（ ）
A. AC=DF. B. AD=BE C. AB=EF. D. ∠C＝∠F
6..将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为( )
A y=(x-2)2-2 B y=(x-2)2+2 C y=(x-2)2-3 D y= (x-2)2+3
7．如果一个图形绕着一个点至少需要旋转72°才能与它本身重合，则下列说法正确的是（ ）
A. 这个图形一定是中心对称图形 B. 这个图形可能是中心对称图形
C. 这个图形旋转216°后能与它本身重合 D. 以上都不对
8．以下几种位似图形的画法，其中正确的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第8题图
二、填空题
9．如图，△DEF是由△ABC平移得到的，若∠1＝60°，∠2＝50°，则
∠F=_____.
第9题图 第11题图
10．通过平移把点A（2，－3）移到点（4，－2），按同样的方式，点B（3，1）移动到点,则点的坐标是____________.
11．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠B=60°，△ABC顺时针旋转后与△ADE重合。则旋转中心是 ，旋转了 度。
12．请你写出既是轴对称又是中心对称的两个几何图形是
13．如下图，如果我们给中国象棋建立一个平面直角坐标系，假设马的位置是图中的P点，如果马所在的位置为（2，1），则下一步马的可能的坐标为_____________________________________.(写出4个即可)
第13题图 第14题图
14．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______________.
三、解答题
15．如下图，在直角坐标系中，
（1）描出下列各点，并将这些点用线段依次连结起来（－5，0），（－5，4），（－8，7）,（－8，3）；
（2）连结后的四边形是怎样的四边形？
（3）把（1）中的图案向右平移10个单位，作出平移后的图案，并写出平移后各个顶点的坐标，这些坐标在原来的基础上发生了怎样的变化？
16．如图，已知△ABC，D为BC边的中点。
（1） 将△ABC绕着点D旋转180°，画出旋转后的△EBC；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2） 四边形ABEC是怎样的四边形？为什么？
17．（2009·湖南益阳） 如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，
巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的
轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC
相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，
求出x的值．
18.（2010四川眉山）如图，Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC =，
试探索、满足什么关系时，
△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
六、学习感悟
七、图形变换 参考答案
达标训练1——8 C C B B C A C D
9. 700, 10. (5,2) ,11. A, 30,12. 答案不唯一，如矩形，圆等 13 .答案不唯一，如（0，0），（4，0）（0，2）（1，3）等 ，14. 1-，15．略 ，16.略,
17．（1）
证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF
∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF
∴四边形AEGF是正方形
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x
∵BD＝2，DC＝3
∴BE＝2 ，CF＝3
∴BG＝x－2，CG＝x－3
在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2
∴（x－2）2＋（x－3）2＝52
化简得，x2－5x－6＝0
解得x1＝6，x2＝－1（舍）
所以AD＝x＝6
18.（1）证明：∵Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC ，AB=AB ，∠CAB=∠C AB
∴∠CAC =∠BAB
∴∠ACC =∠ABB 又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE
（3） 解：当时，△ACE≌△FBE．
在△ACC中，∵AC=AC ，
∴
在Rt△ABC中，
∠ACC+∠BCE=90°，即，
∴∠BCE=．
∵∠ABC=，
∴∠ABC=∠BCE
∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．
C
A
O
B
(A)
(D)
(B)
(C)
A
B
C
D
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B
C
A
E
G
D
F
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