十、相似形
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十、相 似 形
一、学习目标
1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段、黄金分割；2、通过具体实例认识图形的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件；4、了解图形的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题.
二、知识要点
1、比例的基本性质、线段的比、成比例线段、黄金分割；
2、三角形相似的概念和性质，三角形的相似的条件；
3、相似多边形的性质；
4、图形的放大与缩小.
三、考点再现
１、（2010南通）若△ABC∽△DEF， △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为 ．
２、（2010淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，
则A，B两地间的实际距离为 m．
３、（2010德化）下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ）
A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、3、5、9、13 D、1、2、2、3
4、（2010潍坊）如图1所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）．A．0．618 B. C． D．2
5、（2010上海）如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，
若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.
6、在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为 ．
四、典例剖析
【例1】（2010 衢州）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1) 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
【答案】解：(1) △ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得 ，，BC=5 ；
，，．
∵ ，
∴ △ABC∽△DEF．
(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
【例2】（2010 广东）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1) 求证：△ADF∽△DEC
(2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴ ∴ AF=
五、达标训练
(一)、选择题
1．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（ ）.
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．如图，已知在△ABC，P为AB上一点，连结CP，以下各条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
.A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． ＝ D． ＝
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36 ，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在
下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（ ）.
A．△ABC B．△DAB C．△ADE D．△BDC
4．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（ ）.
A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处
1题 2题 3题
5．在等腰△ABC和等腰△DEF中，∠A与∠D是顶角，下列判断正确的是（ ）.
①∠A=∠D时，两三角形相似； ②∠A=∠E时，两三角形相似；
③时，两三角形相似； ④∠B=∠E时，两三角形相似.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度（ ）.
A．变短3.5米 B．变长1.5米 C．变长3.5米 D．变短1.5米
8．如图，梯形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若SΔAOD：SΔACD=1：4，则SΔAOD：SΔBOC的值为（ ）.
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：1
6题 8题
(二)、填空题
1、若，则 ．
2、若如图所示的两个四边形相似，则的度数是_________.
3、（2010 重庆）已知△与△相似且对应中线的比为，则△与△的周长比为 ．
4.如图，一油桶高0.8 m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油的高度为_________.
5题 4题
5、（2010兰州） 如上图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.
6．把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较短线段的长是________cm；
.
(三)、解答下列各题
1．（2010 山东滨州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；
(2)请分别说明两对三角形相似的理由．
2．（2010 台州）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：AB2＝AE AC．
3．如图,正方形ABCD中,E是CD的中点,EF⊥AE.求证:(1)EF平分∠AFC；(2)BF=3FC.
4.如图，正方形MNPQ的顶点在三角形ABC的边上，当边BC=a与高AD=h
满足什么条件时，正方形MNPQ的面积是三角形ABC面积的一半？
5．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上
种植花木（如图所示），他们想在地带种植单价为10元/米2的太阳花，
当地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在地带种植
同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
6．（2010江苏淮安）如(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．
(1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；
(2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值
时，S最大；
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如(b)图，若点E与点D同时
出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以
点A．O为对应顶点的情况)：
题6(a)图 题6(b)图
六、学习感悟
十、相似形 参考答案
考点再现： 1∶2; 9; B；B； DB=3；（4，6）或（-4，-6）
达标训练
一 C; D; B; C; C; C; A; C
二 5/3; 87°； 2：3； 0.64m; 6米;
三 （1）【答案】解： (1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE．
(2)①证△ABC∽△ADE．
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE．
又∵∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
②证△ABD∽△ACE．
∵△ABC∽△ADE，∴
又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE
（2）【答案】
证明：（1）在△ADE和△ACD中
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE
∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE
∠ADC＝180°－∠DAE－∠C
∴∠AED=∠ADC
∵∠AED+∠DEC=180°
∠ADB+∠ADC=180°
∴∠DEC=∠ADB
又∵AB=AD
∴∠ADB=∠B
∴∠DEC=∠B
（2）在△ADE和△ACD中
由（1）知∠ADE＝∠C，∠DAE=∠DAE
∴△ADE∽△ACD
∴
即AD2=AE AC
又∵AB=AD
∴AB2＝AE AC
（3） 略（4） 略（5） 略
（6）【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）
（2）当D在OA上运动时，（0＜t＜6）；
当D在AB上运动时，过点O作OE⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E和F，过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，如图：
设D点运动的时间为t秒，所以DA=2t-12，BD=22-2t，
又因为C为OB的中点，
所以BF为△BOE的中位线，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为BN⊥OA，DM⊥OA，
所以△ADM∽△ABN，
所以，
所以，
又因为，
所以，
即（6≤t＜11），
所以当t=6时，△OCD面积最大，为；
当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0（11≤t≤16）.
（3）设当运动t秒时，△OCD∽△ADE，则，即，所以t=3.5；
设当运动t秒时，△OCD∽△AED，则，即，所以，所以，（舍去），
所以当t为3.5秒或秒时两三角形相似.
图2
图1
A
C
B
F
E
D
P1
P2
P3
P4
P5
A
C
B
F
E
D
P1
P2
P3
P4
P5
4题
4题
O
D
C
B
A
O
B
N
A
M
7题
2题
10米
20米
B
M
D
A
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十、相 似 形
一、学习目标
1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段、黄金分割；2、通过具体实例认识图形的相似，理解相似图形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；3、了解两个三角形相似的概念，理解两个三角形的相似的条件；4、了解图形的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；5、灵活运用图形的相似解决一些实际问题.
二、知识要点
1、比例的基本性质、线段的比、成比例线段、黄金分割；
2、三角形相似的概念和性质，三角形的相似的条件；
3、相似多边形的性质；
4、图形的放大与缩小.
三、考点再现
１、（2010南通）若△ABC∽△DEF， △ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为 ．
２、（2010淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，
则A，B两地间的实际距离为 m．
３、（2010德化）下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ）
A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、3、5、9、13 D、1、2、2、3
4、（2010潍坊）如图1所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）．A．0．618 B. C． D．2
5、（2010上海）如图2，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，
若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.
6、在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为 ．
四、典例剖析
【例1】（2010 衢州）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1) 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
【答案】解：(1) △ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得 ，，BC=5 ；
，，．
∵ ，
∴ △ABC∽△DEF．
(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
【例2】（2010 广东）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1) 求证：△ADF∽△DEC
(2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，DE=
∵△ADF∽△DEC
∴ ∴ AF=
五、达标训练
(一)、选择题
1．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（ ）.
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．如图，已知在△ABC，P为AB上一点，连结CP，以下各条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
.A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． ＝ D． ＝
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36 ，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在
下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（ ）.
A．△ABC B．△DAB C．△ADE D．△BDC
4．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（ ）.
A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处
1题 2题 3题
5．在等腰△ABC和等腰△DEF中，∠A与∠D是顶角，下列判断正确的是（ ）.
①∠A=∠D时，两三角形相似； ②∠A=∠E时，两三角形相似；
③时，两三角形相似； ④∠B=∠E时，两三角形相似.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）.
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度（ ）.
A．变短3.5米 B．变长1.5米 C．变长3.5米 D．变短1.5米
8．如图，梯形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若SΔAOD：SΔACD=1：4，则SΔAOD：SΔBOC的值为（ ）.
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：1
6题 8题
(二)、填空题
1、若，则 ．
2、若如图所示的两个四边形相似，则的度数是_________.
3、（2010 重庆）已知△与△相似且对应中线的比为，则△与△的周长比为 ．
4.如图，一油桶高0.8 m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油的高度为_________.
5题 4题
5、（2010兰州） 如上图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.
6．把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较短线段的长是________cm；
.
(三)、解答下列各题
1．（2010 山东滨州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；
(2)请分别说明两对三角形相似的理由．
2．（2010 台州）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点．且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：AB2＝AE AC．
3．如图,正方形ABCD中,E是CD的中点,EF⊥AE.求证:(1)EF平分∠AFC；(2)BF=3FC.
4.如图，正方形MNPQ的顶点在三角形ABC的边上，当边BC=a与高AD=h
满足什么条件时，正方形MNPQ的面积是三角形ABC面积的一半？
5．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上
种植花木（如图所示），他们想在地带种植单价为10元/米2的太阳花，
当地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在地带种植
同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.
6．（2010江苏淮安）如(a)图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．
(1)点C坐标是( ， )，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是( ， )；
(2)设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值
时，S最大；
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如(b)图，若点E与点D同时
出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以
点A．O为对应顶点的情况)：
题6(a)图 题6(b)图
六、学习感悟
十、相似形 参考答案
考点再现： 1∶2; 9; B；B； DB=3；（4，6）或（-4，-6）
达标训练
一 C; D; B; C; C; C; A; C
二 5/3; 87°； 2：3； 0.64m; 6米;
三 （1）【答案】解： (1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE．
(2)①证△ABC∽△ADE．
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE．
又∵∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
②证△ABD∽△ACE．
∵△ABC∽△ADE，∴
又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE
（2）【答案】
证明：（1）在△ADE和△ACD中
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE
∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE
∠ADC＝180°－∠DAE－∠C
∴∠AED=∠ADC
∵∠AED+∠DEC=180°
∠ADB+∠ADC=180°
∴∠DEC=∠ADB
又∵AB=AD
∴∠ADB=∠B
∴∠DEC=∠B
（2）在△ADE和△ACD中
由（1）知∠ADE＝∠C，∠DAE=∠DAE
∴△ADE∽△ACD
∴
即AD2=AE AC
又∵AB=AD
∴AB2＝AE AC
（3） 略（4） 略（5） 略
（6）【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）
（2）当D在OA上运动时，（0＜t＜6）；
当D在AB上运动时，过点O作OE⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E和F，过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，如图：
设D点运动的时间为t秒，所以DA=2t-12，BD=22-2t，
又因为C为OB的中点，
所以BF为△BOE的中位线，
所以，
又因为，
所以，
所以，
因为BN⊥OA，DM⊥OA，
所以△ADM∽△ABN，
所以，
所以，
又因为，
所以，
即（6≤t＜11），
所以当t=6时，△OCD面积最大，为；
当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0（11≤t≤16）.
（3）设当运动t秒时，△OCD∽△ADE，则，即，所以t=3.5；
设当运动t秒时，△OCD∽△AED，则，即，所以，所以，（舍去），
所以当t为3.5秒或秒时两三角形相似.
图2
图1
A
C
B
F
E
D
P1
P2
P3
P4
P5
A
C
B
F
E
D
P1
P2
P3
P4
P5
4题
4题
O
D
C
B
A
O
B
N
A
M
7题
2题
10米
20米
B
M
D
A
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