四、函数（一）
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四、函数（一）
一、学习目标
1、掌握平面直角坐标系的相关知识
2、理解函数的定义，并能判断函数式自变量的取值范围，并能理解图像与实际问题之间的关系
3、熟练掌握正比例函数、反比例函数、及一次函数的定义、函数表达式、图像形状、y随x的变化规律及k、b的符号判别方法.
二、知识要点及考点
（一）、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系的四个象限的符号特征.
2、P（a，b）关于x轴的对称点 ,关于y轴的对称点 关于原点的对称点 .
（二）、函数的有关概念
1、求自变量x的取值范围要注意：① ② ③函数与实际问题相结合时，取值范围要使实际问题有意义.
2、结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析
（三）、三种函数的相关知识
函数名称 函数表达式 图像形状 y随x变化规律 k、b符号的判断方法 备注 综合
正比例函数 k＞0时 k＜0时 K的符号根据图像 函数图像交点坐标的求解方法
一次函数 k＞0时 k＜0时 K的符号根据图像 b的符号根据图像 与x轴y轴交点坐标的求法
反比例函数 可变形为 图像的对称性 k＞0时 k＜0时 K的符号根据图像 双曲线上的点向两坐标轴作垂线段产生的矩形的面积等于
三、考点再现
1、在平面直角坐标系内，把点P（－2，1）向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是
A、 （－2，2） （B）（－1，1） （C）（－3，1） （D）（－2，0）
2、下列函数：① ② ③ ④，其中的值随值的增大而增大的函数有
A、4个 B．3个 C．2个 D．1个
3、在平面直角坐标系中，把直线y=2x向右平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）
A、y=2x+1 Ｂ．y=2x－1 Ｃ．y=2x+2 Ｄ．y=2x－2
4、如图，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则 ．
5、如图所示的计算程序中，y与x的函数关系所对应的图像应为 （ ）
6、在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）
随时间x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是
A、甲先到达终点
B．前30分钟，甲在乙的前面
C．第48分钟时，两人第一次相遇
D．这次比赛的全程是28千米
四、典例剖析
例1、如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，
乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水.
在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为，瓶中水位的高度为，
下列图象中最符合故事情景的是：
析：注意随时间发展的关键词 ；沉思（水位不变）、衔来石子（水位上升）、喝水（水位下降）、最终水位要高于开始水位.
例2、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点
⑴根据图像，写出两交点坐标并指出当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
⑵求出两函数的解析式
⑶求两交点与原点构成的三角形的面积
析：观察图像易知，A（-6、-2）B(4、3)；一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，x取相同的值时，直线的图像应在双曲线的上面，可以观察出范围为-6＜x＜0或x ＞4;点A、B在一次函 数图像上，所以把两点坐标代入即可求出一次函数解析式，求反比例函数只需图像上的已知一点坐标即可；求△AOB的面积时，可借助坐标轴将△AOB分解成两个底与高易求得的三角形△AOC与△COB进而求面积.
五、达标训练
（一）、选择题
1、在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ）
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、四象限
2、函数y＝＋中自变量x的取值范围是
A．x≤2 B．x＝3 C． x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
3、如图，直线y=mx与双曲线交与A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值是 （ ）
A．2 B．m-2 C．m D．4
4、已知反比例函数y= 图像上三个点的坐标分别是A(2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是 （ ）
A． y1>y2>y3 B． y1>y3>y2 C． y2>y1>y3 D． y2>y3>y1
5、若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
6、某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内
气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象
如图所示．当气球内气体的气压大于120kPa时，气球将爆炸．
为了安全，气体的体积应该（ ）
A．不大于m3 B．小于m3
C．不小于m3 D．小于m3
7、函数y1＝x(x≥0)，y2＝ (x＞0)的图象如图所示，下列结论：
① 两函数图象的交点坐标为A（2，2）；
② 当x＞2时，y2＞y1；
③ 直线x＝1分别与两函数图象交于B、C两点，则线段BC的长为3；
④ 当x逐渐增大时，y1的值随着x的增大而增大，y2的值随着x的增大而减小．则其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①③ C．只有②④ D．只有①③④
（二）、填空题
1、已知直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（－1，－2）。则它们的另一个交点坐标是 。
2、若一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是____。
3、 (2010年江西省统一考试样卷)若直线y=2x＋b与x轴交于点A（－3，0），则方程2x＋b=0的解是 ．
4、一个函数具有下列性质：①它的图像经过点（－1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．
5、设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________
6、假定甲、乙两人的一次赛跑中路程S与时间关系之间如图，那么可以知道：
（1）这是一次_______米赛跑;
（2）甲、乙两人中先到达终点的是________ ；
（3）乙在这次赛跑中平均速度为_________米/秒.
（三）、解答题
1、某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A、B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地。两班同时出发，相向而行。设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为y1千米、y2千米，y1、y2与x的函数关系图像如图所示，根据图像解答下列问题：
(1) 直接写出，y1、y2与x的函数关系式；
(2) 求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？
(3) 甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时？(10分)
2、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A﹙-2，-5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 连接OA，OC．求△AOC的面积．
3、已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套.已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：
布料 时装 甲 乙
A种（米） 0.6 1.1
B种（米） 0.9 0.4
若销售一套甲种型号的时装可获利润45元，销售一套乙种型号的时装可获利润50元.设生产乙种型号的时装为x套，用这批布料生产这两种型的时装所为y元.
(1)写出y（元）与x（套）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大？最大利润是多少元？
六、学习感悟
函数一答案
三、考点再现
一：1、B 2、B 3、D 4、-6 5、D 6、D
五、达标训练
一：1、D 2、A 3、A 4、C 5、B 6、C 7、D
二：1、(1,2) 2、-1＜M＜3 3、x=﹣3； 5、y2 大于y1大于y3 6、100 甲 8
三：1、 [解] (1) y1=4x (0x2.5)， y2= 5x10 (0x2)；
(2) 根据题意可知：两班相遇时，甲、乙离A地的距离相等，即y2=y1，
由此得一元一次方程 5x10=4x，解这个方程，得x=(小时)，当x=时， y2= 510=(千米)。
答：甲、乙两班相遇时的时间为小时，相遇时乙班离A地千米。
(3) 根据题意，得y2y1=4，即5x104x=4，解这个方程，得x=(小时)。
答：甲，乙两班首次相距4千米时所用时间是小时。
2、解：(1)∵ 反比例函数的图象经过点A﹙-2，-5﹚，
∴ m=(-2)×( -5)＝10．
∴ 反比例函数的表达式为． ∵ 点C﹙5，n﹚在反比例函数的图象上，
∴ ．
∴ C的坐标为﹙5，2﹚．
∵ 一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入，得
解得 ∴ 所求一次函数的表达式为y＝x-3．
(2) ∵ 一次函数y=x-3的图像交y轴于点B，
∴ B点坐标为﹙0，-3﹚． ∴ OB＝3．
∵ A点的横坐标为-2，C点的横坐标为5，
∴ S△AOC= S△AOB+ S△BOC=．
3、（1）的整数
（2） 得,当x=24时，利润最大是3880
-2
0
Y
X
-4
A、
0
Y
X
4
-2
B
0
Y
X
-4
2
C
0
Y
X
4
2
D
O
14
12
10
96
86
66
30
x/分
y/千米
A
B
C
D
（第6题图）
乙
甲
y
x
O
C．
y
x
O
A．
y
x
O
D．
y
x
O
B．
O
(1.6，60)
P/kPa
V/m3
60
1.6
第11题
B
C
A
x
y
1
O
y1＝x
y2＝ eq \F(4,x)
y1
O
10
y/千米
x/小时
2
2.5
y2
O
A
B
C
x
y
D
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四、函数（一）
一、学习目标
1、掌握平面直角坐标系的相关知识
2、理解函数的定义，并能判断函数式自变量的取值范围，并能理解图像与实际问题之间的关系
3、熟练掌握正比例函数、反比例函数、及一次函数的定义、函数表达式、图像形状、y随x的变化规律及k、b的符号判别方法.
二、知识要点及考点
（一）、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系的四个象限的符号特征.
2、P（a，b）关于x轴的对称点 ,关于y轴的对称点 关于原点的对称点 .
（二）、函数的有关概念
1、求自变量x的取值范围要注意：① ② ③函数与实际问题相结合时，取值范围要使实际问题有意义.
2、结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析
（三）、三种函数的相关知识
函数名称 函数表达式 图像形状 y随x变化规律 k、b符号的判断方法 备注 综合
正比例函数 k＞0时 k＜0时 K的符号根据图像 函数图像交点坐标的求解方法
一次函数 k＞0时 k＜0时 K的符号根据图像 b的符号根据图像 与x轴y轴交点坐标的求法
反比例函数 可变形为 图像的对称性 k＞0时 k＜0时 K的符号根据图像 双曲线上的点向两坐标轴作垂线段产生的矩形的面积等于
三、考点再现
1、在平面直角坐标系内，把点P（－2，1）向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是
A、 （－2，2） （B）（－1，1） （C）（－3，1） （D）（－2，0）
2、下列函数：① ② ③ ④，其中的值随值的增大而增大的函数有
A、4个 B．3个 C．2个 D．1个
3、在平面直角坐标系中，把直线y=2x向右平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）
A、y=2x+1 Ｂ．y=2x－1 Ｃ．y=2x+2 Ｄ．y=2x－2
4、如图，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则 ．
5、如图所示的计算程序中，y与x的函数关系所对应的图像应为 （ ）
6、在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）
随时间x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是
A、甲先到达终点
B．前30分钟，甲在乙的前面
C．第48分钟时，两人第一次相遇
D．这次比赛的全程是28千米
四、典例剖析
例1、如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，
乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水.
在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为，瓶中水位的高度为，
下列图象中最符合故事情景的是：
析：注意随时间发展的关键词 ；沉思（水位不变）、衔来石子（水位上升）、喝水（水位下降）、最终水位要高于开始水位.
例2、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点
⑴根据图像，写出两交点坐标并指出当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
⑵求出两函数的解析式
⑶求两交点与原点构成的三角形的面积
析：观察图像易知，A（-6、-2）B(4、3)；一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，x取相同的值时，直线的图像应在双曲线的上面，可以观察出范围为-6＜x＜0或x ＞4;点A、B在一次函 数图像上，所以把两点坐标代入即可求出一次函数解析式，求反比例函数只需图像上的已知一点坐标即可；求△AOB的面积时，可借助坐标轴将△AOB分解成两个底与高易求得的三角形△AOC与△COB进而求面积.
五、达标训练
（一）、选择题
1、在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ）
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、四象限
2、函数y＝＋中自变量x的取值范围是
A．x≤2 B．x＝3 C． x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
3、如图，直线y=mx与双曲线交与A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值是 （ ）
A．2 B．m-2 C．m D．4
4、已知反比例函数y= 图像上三个点的坐标分别是A(2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是 （ ）
A． y1>y2>y3 B． y1>y3>y2 C． y2>y1>y3 D． y2>y3>y1
5、若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
6、某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内
气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象
如图所示．当气球内气体的气压大于120kPa时，气球将爆炸．
为了安全，气体的体积应该（ ）
A．不大于m3 B．小于m3
C．不小于m3 D．小于m3
7、函数y1＝x(x≥0)，y2＝ (x＞0)的图象如图所示，下列结论：
① 两函数图象的交点坐标为A（2，2）；
② 当x＞2时，y2＞y1；
③ 直线x＝1分别与两函数图象交于B、C两点，则线段BC的长为3；
④ 当x逐渐增大时，y1的值随着x的增大而增大，y2的值随着x的增大而减小．则其中正确的是（ ）
A．只有①② B．只有①③ C．只有②④ D．只有①③④
（二）、填空题
1、已知直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（－1，－2）。则它们的另一个交点坐标是 。
2、若一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是____。
3、 (2010年江西省统一考试样卷)若直线y=2x＋b与x轴交于点A（－3，0），则方程2x＋b=0的解是 ．
4、一个函数具有下列性质：①它的图像经过点（－1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．
5、设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________
6、假定甲、乙两人的一次赛跑中路程S与时间关系之间如图，那么可以知道：
（1）这是一次_______米赛跑;
（2）甲、乙两人中先到达终点的是________ ；
（3）乙在这次赛跑中平均速度为_________米/秒.
（三）、解答题
1、某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A、B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地。两班同时出发，相向而行。设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为y1千米、y2千米，y1、y2与x的函数关系图像如图所示，根据图像解答下列问题：
(1) 直接写出，y1、y2与x的函数关系式；
(2) 求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？
(3) 甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时？(10分)
2、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A﹙-2，-5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式；
(2) 连接OA，OC．求△AOC的面积．
3、已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套.已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：
布料 时装 甲 乙
A种（米） 0.6 1.1
B种（米） 0.9 0.4
若销售一套甲种型号的时装可获利润45元，销售一套乙种型号的时装可获利润50元.设生产乙种型号的时装为x套，用这批布料生产这两种型的时装所为y元.
(1)写出y（元）与x（套）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)雅美服装厂在生产这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大？最大利润是多少元？
六、学习感悟
函数一答案
三、考点再现
一：1、B 2、B 3、D 4、-6 5、D 6、D
五、达标训练
一：1、D 2、A 3、A 4、C 5、B 6、C 7、D
二：1、(1,2) 2、-1＜M＜3 3、x=﹣3； 5、y2 大于y1大于y3 6、100 甲 8
三：1、 [解] (1) y1=4x (0x2.5)， y2= 5x10 (0x2)；
(2) 根据题意可知：两班相遇时，甲、乙离A地的距离相等，即y2=y1，
由此得一元一次方程 5x10=4x，解这个方程，得x=(小时)，当x=时， y2= 510=(千米)。
答：甲、乙两班相遇时的时间为小时，相遇时乙班离A地千米。
(3) 根据题意，得y2y1=4，即5x104x=4，解这个方程，得x=(小时)。
答：甲，乙两班首次相距4千米时所用时间是小时。
2、解：(1)∵ 反比例函数的图象经过点A﹙-2，-5﹚，
∴ m=(-2)×( -5)＝10．
∴ 反比例函数的表达式为． ∵ 点C﹙5，n﹚在反比例函数的图象上，
∴ ．
∴ C的坐标为﹙5，2﹚．
∵ 一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入，得
解得 ∴ 所求一次函数的表达式为y＝x-3．
(2) ∵ 一次函数y=x-3的图像交y轴于点B，
∴ B点坐标为﹙0，-3﹚． ∴ OB＝3．
∵ A点的横坐标为-2，C点的横坐标为5，
∴ S△AOC= S△AOB+ S△BOC=．
3、（1）的整数
（2） 得,当x=24时，利润最大是3880
-2
0
Y
X
-4
A、
0
Y
X
4
-2
B
0
Y
X
-4
2
C
0
Y
X
4
2
D
O
14
12
10
96
86
66
30
x/分
y/千米
A
B
C
D
（第6题图）
乙
甲
y
x
O
C．
y
x
O
A．
y
x
O
D．
y
x
O
B．
O
(1.6，60)
P/kPa
V/m3
60
1.6
第11题
B
C
A
x
y
1
O
y1＝x
y2＝ eq \F(4,x)
y1
O
10
y/千米
x/小时
2
2.5
y2
O
A
B
C
x
y
D
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