五、函数（二）（专题复习）
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五、函数（二）
一、学习目标
1、掌握二次函数的相关知识及综合运用；2、理解用函数来解决实际问题的这一数学思想；
3、感受二次函数的意义，从而体会数学的广泛联系和应用价值.
二、知识要点
1、二次函数的定义、图象、平移规律及系数a、b、c对图象的影响；
2、二次函数和一元二次方程的联系，注重函数、方程的数学思想的运用；
3、二次函数表达式的求法（一般式、顶点式），二次函数与其它几何知识的综合运用.
4、用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积等问题）.
三、考点再现
1、当ｍ 时，函数y=（ｍ－３）ｘｍ２－２ｍ－１＋（m + 1）x＋m是二次函数.
2、二次函数的图象如图所示，则 ，，
这3个式子中， 值为正数的有（ ）
A．0个 B．3 C．2个 D．1个
3、下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）
6.17 6.18 6.19 6.20
A． B．
C． D．
4、将抛物线y=x＋2x＋1向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的最小值是（ ）
A．－3 B．1 C．2 D．3
5、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点.
⑴二次函数的解析式为 ．
⑵当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大．
⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值．
⑷当自变量 时，两函数的函数值的积小于0．
四、典例剖析
例1、已知二次函数的图象与轴相交于A、B两点，与轴交于C点（如图所示），点D在二次函数的图象上，且D与C关于对称轴对称，一次函数的图象过点B、D；
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围.
解析：（1）由得到C（0，3），由A、B坐标可知对称轴为，因此由抛物线的对称性知： D（，3）
（2）设过点B（1，0）、D（，3）的一次函数为∴解析式为：
（3）由点D、B坐标及图像得：或；
例2(2010·荆州)国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1＝170－2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．
(1)直接写出y2与x之间的函数关系式；
(2)求月产量x的范围；
(3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元)最大？最大利润是多少？
【解答】(1)y2＝500＋30x
(2)依题意，得，解得25≤x≤40.
(3)W＝x·y1－y2＝x(170－2x)－(500＋30x)
＝－2x2＋140x－500＝－2(x－35)2＋1 950.
∵25<35<40，∴当x＝35时，W最大＝1950.故月产量为35套时，利润最大，最大利润为1950万元．
五、达标训练
（一）选择题
1、若二次函数的图象经过原点，则的值必为 ( )
A． 0或2 B． 0 C． 2 D． 无法确定
2、关于没有实数根，则的图象的顶点在 （ ）
A 第一象限 B 第二象限
C 第三象限 D 第四象限
3、在同一直角坐标系中，函数与的图象大致如图 （ ）
４、已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
6、抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点在y轴上，且过（－1，3），（－2，6）两点，则表达式为（ ）
A．y=x－2 B．y=x＋2 C．y=－x＋2 D．y=－x－x
7、小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t－4.9t（t的单位：秒；h的单位：米）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．0.71秒 B．0.70秒 C．0.63秒 D．0.36秒
8、在一个直角三角形的空地上要挖一长方形的水池，要求水池的两个边在直角三角形空地的直角边上，若测量出直角三角形的三边长分别为30m，40m，50m，则水池的最大面积可以为（ ）
A．300m B．325m C．400m D．285m
（二）填空题
1、已知一个二次函数的顶点为（1，2），且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式
2、将变为的形式，则=________
3、 有下列函数：①y = 3x；②y =x – 1：③y = （x < 0）；④y = x2 + 2x + 1.其中当x在各自的自变量取值范围内取值时，y随着x的增大而增大的函数有 （填序号）
4、如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .
5．二次函数的图象如图所示，则函数值y＜0时
x的取值范围是
6、下面是一个二次函数y=ax＋bx＋c的自变量x和函数y的对应值表：
根据表中提供的信息解答下列各题：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 12 5 0 －3 －4 －3 0 …
抛物线与y轴的交点坐标 ；
抛物线与x轴两个交点分别为A ，B ，抛物线的对称轴是 顶点为C .
（三）解答题
1、（09滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）请画出上述函数的大致图象．
2、（08兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中，求抛物线的解析式；
（2）求支柱的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
3、（10日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ．
4、(2010·潍坊)学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米．图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖．
(1)要使铺白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
(2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？
六、学习感悟
五、函数(二) 参考答案
（一）1.C 2.A 3.C 4.Ｂ 5.C 6.B 7.C 8.A
（二）1、不唯一 2、（2，7） 3、 ①③ 4、（4，5）（-2，5） 5、6 6、（0，-3）（-1，0）（3，0）X=1 （1，-4）
（三）1、解：（1）．因为降价要确保盈利，所以，解得．
（2）当x=2.5时， 有最大值6125，即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．
（3）函数的大致图象为（注：右侧终点应为圆圈，左侧终点两种情况均可．）
2、解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．所以抛物线的表达式是．
（2）可设，于是
从而支柱的长度是米．
（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
解：（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30 o ，OA=8，
∴AC=OA·sin30o=8×=，
OC=OA·cos30o=8×=12．
∴点A的坐标为（12，）． 设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：
=12k ，
∴k= ，
∴OA的解析式为y=x；
(2) ∵顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）
∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，
把点O的坐标代入得：
0=a（0-9）+12，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= (x-9)+12
及y= x+ x；
(3) ∵当x=12时，y= ，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
４、解：(1)设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意，得
4x2＋(100－2x)(80－2x)＝5 200，
整理，得x2－45x＋350＝0，
解得x1＝35，x2＝10.
经检验，x1＝35，x2＝10均符合题意．
所以，要使铺白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米．
(2)设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30×[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20×[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]，
即y＝80x2－3 600x＋240 000，
配方，得y＝80(x－22.5)2＋199 500.
当x＝22.5时，y的值最小，最小值为199 500元．
所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．
O
x
y
-1
1
1
－1
－3
3
x
y
O
A
B
C
A
-1
O
x=1
y
x
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ａ
第5题图
y
x
O
－1
2
20
1222
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五、函数（二）
一、学习目标
1、掌握二次函数的相关知识及综合运用；2、理解用函数来解决实际问题的这一数学思想；
3、感受二次函数的意义，从而体会数学的广泛联系和应用价值.
二、知识要点
1、二次函数的定义、图象、平移规律及系数a、b、c对图象的影响；
2、二次函数和一元二次方程的联系，注重函数、方程的数学思想的运用；
3、二次函数表达式的求法（一般式、顶点式），二次函数与其它几何知识的综合运用.
4、用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积等问题）.
三、考点再现
1、当ｍ 时，函数y=（ｍ－３）ｘｍ２－２ｍ－１＋（m + 1）x＋m是二次函数.
2、二次函数的图象如图所示，则 ，，
这3个式子中， 值为正数的有（ ）
A．0个 B．3 C．2个 D．1个
3、下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）
6.17 6.18 6.19 6.20
A． B．
C． D．
4、将抛物线y=x＋2x＋1向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的最小值是（ ）
A．－3 B．1 C．2 D．3
5、如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（－1，0）、点B（3，0）和点C（0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点.
⑴二次函数的解析式为 ．
⑵当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大．
⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值．
⑷当自变量 时，两函数的函数值的积小于0．
四、典例剖析
例1、已知二次函数的图象与轴相交于A、B两点，与轴交于C点（如图所示），点D在二次函数的图象上，且D与C关于对称轴对称，一次函数的图象过点B、D；
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围.
解析：（1）由得到C（0，3），由A、B坐标可知对称轴为，因此由抛物线的对称性知： D（，3）
（2）设过点B（1，0）、D（，3）的一次函数为∴解析式为：
（3）由点D、B坐标及图像得：或；
例2(2010·荆州)国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1＝170－2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．
(1)直接写出y2与x之间的函数关系式；
(2)求月产量x的范围；
(3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元)最大？最大利润是多少？
【解答】(1)y2＝500＋30x
(2)依题意，得，解得25≤x≤40.
(3)W＝x·y1－y2＝x(170－2x)－(500＋30x)
＝－2x2＋140x－500＝－2(x－35)2＋1 950.
∵25<35<40，∴当x＝35时，W最大＝1950.故月产量为35套时，利润最大，最大利润为1950万元．
五、达标训练
（一）选择题
1、若二次函数的图象经过原点，则的值必为 ( )
A． 0或2 B． 0 C． 2 D． 无法确定
2、关于没有实数根，则的图象的顶点在 （ ）
A 第一象限 B 第二象限
C 第三象限 D 第四象限
3、在同一直角坐标系中，函数与的图象大致如图 （ ）
４、已知二次函数（）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
6、抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点在y轴上，且过（－1，3），（－2，6）两点，则表达式为（ ）
A．y=x－2 B．y=x＋2 C．y=－x＋2 D．y=－x－x
7、小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t－4.9t（t的单位：秒；h的单位：米）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．0.71秒 B．0.70秒 C．0.63秒 D．0.36秒
8、在一个直角三角形的空地上要挖一长方形的水池，要求水池的两个边在直角三角形空地的直角边上，若测量出直角三角形的三边长分别为30m，40m，50m，则水池的最大面积可以为（ ）
A．300m B．325m C．400m D．285m
（二）填空题
1、已知一个二次函数的顶点为（1，2），且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式
2、将变为的形式，则=________
3、 有下列函数：①y = 3x；②y =x – 1：③y = （x < 0）；④y = x2 + 2x + 1.其中当x在各自的自变量取值范围内取值时，y随着x的增大而增大的函数有 （填序号）
4、如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .
5．二次函数的图象如图所示，则函数值y＜0时
x的取值范围是
6、下面是一个二次函数y=ax＋bx＋c的自变量x和函数y的对应值表：
根据表中提供的信息解答下列各题：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 12 5 0 －3 －4 －3 0 …
抛物线与y轴的交点坐标 ；
抛物线与x轴两个交点分别为A ，B ，抛物线的对称轴是 顶点为C .
（三）解答题
1、（09滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）请画出上述函数的大致图象．
2、（08兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中，求抛物线的解析式；
（2）求支柱的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
3、（10日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ．
4、(2010·潍坊)学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米．图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖．
(1)要使铺白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
(2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？
六、学习感悟
五、函数(二) 参考答案
（一）1.C 2.A 3.C 4.Ｂ 5.C 6.B 7.C 8.A
（二）1、不唯一 2、（2，7） 3、 ①③ 4、（4，5）（-2，5） 5、6 6、（0，-3）（-1，0）（3，0）X=1 （1，-4）
（三）1、解：（1）．因为降价要确保盈利，所以，解得．
（2）当x=2.5时， 有最大值6125，即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．
（3）函数的大致图象为（注：右侧终点应为圆圈，左侧终点两种情况均可．）
2、解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．所以抛物线的表达式是．
（2）可设，于是
从而支柱的长度是米．
（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
解：（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30 o ，OA=8，
∴AC=OA·sin30o=8×=，
OC=OA·cos30o=8×=12．
∴点A的坐标为（12，）． 设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：
=12k ，
∴k= ，
∴OA的解析式为y=x；
(2) ∵顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）
∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，
把点O的坐标代入得：
0=a（0-9）+12，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= (x-9)+12
及y= x+ x；
(3) ∵当x=12时，y= ，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
４、解：(1)设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意，得
4x2＋(100－2x)(80－2x)＝5 200，
整理，得x2－45x＋350＝0，
解得x1＝35，x2＝10.
经检验，x1＝35，x2＝10均符合题意．
所以，要使铺白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米．
(2)设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30×[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20×[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]，
即y＝80x2－3 600x＋240 000，
配方，得y＝80(x－22.5)2＋199 500.
当x＝22.5时，y的值最小，最小值为199 500元．
所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．
O
x
y
-1
1
1
－1
－3
3
x
y
O
A
B
C
A
-1
O
x=1
y
x
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ａ
第5题图
y
x
O
－1
2
20
1222
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