1．2 任意角的三角函数
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课件68张PPT。1．2 任意角的三角函数一、阅读教材P11～14回答
1．单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以 为圆心，以 为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意大小的角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即 ；
(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即 ；原点单位长度sinα＝ycosα＝x(3) 叫做α的正切，记作tanα，即 ．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成自变量为 的函数．实数3．正弦、余弦、正切函数的定义域4．三角函数值在各象限的符号5．诱导公式(一)
根据三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同名三角函数的值 ．
由此得到诱导公式(一)．
sin(α＋k·2π)＝ ，
cos(α＋k·2π)＝ ，
tan(α＋k·2π)＝ .
其中k∈Z.相等sinαcosαtanα二、解答下列问题
1．sin0＝ ，cosπ＝ ，sin ＝ ， tan
＝ ．
2．(1)如果sinα>0，且cosα<0，则α是第 象限的角；
(2)如果tanα>0，且cosα<0，则α是第 象限的角；
(3)如果sinα<0，且tanα<0，则α是第 象限的角；
(4)如果cosα>0，且sinα<0，则α是第 象限的角．0－1－1不存在二三四四重点：①任意角三角函数的定义与正弦、余弦、正切函数的定义域．
②三角函数值的符号的判定和诱导公式(一)．
难点：①根据三角函数的定义求三角函数值．
②正切函数定义域．1．对三角函数定义的理解
(1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如下图所示．
这样，三角函数就像前面研究的其它基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了．2．各象限三角函数值的符号可只记忆正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．
在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一，即给定一个角，它的各个三角函数值是惟一确定的(不存在的情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应，如：α＝0时，sinα＝0，但当sinα＝0时，α＝kπ，k∈Z.4．判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在象限的确定，不要忽略终边落在坐标轴上的情况．
5．要重视单位圆在理解三角函数定义、定义域及三角函数值的符号中的作用．由于P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，∴当点P落在x轴上时sinα＝0，tanα＝0，cosα＝±1，当点P落在y轴上时，cosα＝0，tanα无意义，sinα＝±1.当点P落在第二象限时，x<0，y>0，∴cosα<0，sinα>0，tanα<0等等．当角的终边相同时，点P的坐标相同，从而各三角函数值对应相等．这就是诱导公式(一)．
[例1] 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求sinα，cosα，tanα的值．[点评] 本题易错点是开方时，忽视x的符号讨论，得出r＝2x致误．
[分析] 计算r时，由于含有cosθ，应据角θ的象限确定cosθ的符号，再求r.[点评] 根据三角函数定义的要求，在角α终边上任取一点P(x，y)，应有r＝|OP|>0，故P与原点不重合；求已知角的三角函数值时，先在角的终边上取点P(x，y)探求x、y与r的关系，然后据定义求三角函数值．[答案] (1)< (2)< (3)<[分析] 先把角α表达成α＝k·360°＋β k∈Z,0°≤β<360°或α＝2kπ＋β k∈Z,0≤β<2π的形式，再套用诱导公式，然后结合象限定符号．选择题
1．若三角形的两内角α、β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为
( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都有可能[答案] B
[解析] ∵sinαcosβ<0，∴cosβ<0，
∴β是钝角，故选B.2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( )
A．sinαtanα>0 B．cosαtanα>0
C．sinαcosα>0 D．sinαcosα<0
[答案] C
[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，
∴sinαcosα>0，故选C.3．角α满足条件sinα·cosα>0，sinα＋cosα<0，则α在
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] ∵sinαcosα>0，sinα＋cosα<0
∴sinα<0，cosα<0，∴α是第三象限角．[答案] B[答案] B[答案] D7．(2010·深圳中学)若sin2α>0且cosα<0，则α是
( )
A．第二象限角
B．第一或第三象限角
C．第三象限角
D．第二或第三象限角
[答案] C[点评] 要熟记三角函数值的符号与角终边位置的关系．[答案] B
[解析] 当θ在第一象限时，sinθ>0，cosθ>0，tanθ>0，排除A、D；当θ在第四象限时，sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0，排除C，故选B.
1．单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以 为圆心，以 为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意大小的角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即 ；
(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即 ；原点单位长度sinα＝ycosα＝x(3) 叫做α的正切，记作tanα，即 ．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成自变量为 的函数．实数3．正弦、余弦、正切函数的定义域4．三角函数值在各象限的符号5．诱导公式(一)
根据三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同名三角函数的值 ．
由此得到诱导公式(一)．
sin(α＋k·2π)＝ ，
cos(α＋k·2π)＝ ，
tan(α＋k·2π)＝ .
其中k∈Z.相等sinαcosαtanα二、解答下列问题
1．sin0＝ ，cosπ＝ ，sin ＝ ， tan
＝ ．
2．(1)如果sinα>0，且cosα<0，则α是第 象限的角；
(2)如果tanα>0，且cosα<0，则α是第 象限的角；
(3)如果sinα<0，且tanα<0，则α是第 象限的角；
(4)如果cosα>0，且sinα<0，则α是第 象限的角．0－1－1不存在二三四四重点：①任意角三角函数的定义与正弦、余弦、正切函数的定义域．
②三角函数值的符号的判定和诱导公式(一)．
难点：①根据三角函数的定义求三角函数值．
②正切函数定义域．1．对三角函数定义的理解
(1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如下图所示．
这样，三角函数就像前面研究的其它基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了．2．各象限三角函数值的符号可只记忆正的：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．
在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一，即给定一个角，它的各个三角函数值是惟一确定的(不存在的情况除外)；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应，如：α＝0时，sinα＝0，但当sinα＝0时，α＝kπ，k∈Z.4．判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在象限的确定，不要忽略终边落在坐标轴上的情况．
5．要重视单位圆在理解三角函数定义、定义域及三角函数值的符号中的作用．由于P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，∴当点P落在x轴上时sinα＝0，tanα＝0，cosα＝±1，当点P落在y轴上时，cosα＝0，tanα无意义，sinα＝±1.当点P落在第二象限时，x<0，y>0，∴cosα<0，sinα>0，tanα<0等等．当角的终边相同时，点P的坐标相同，从而各三角函数值对应相等．这就是诱导公式(一)．
[例1] 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求sinα，cosα，tanα的值．[点评] 本题易错点是开方时，忽视x的符号讨论，得出r＝2x致误．
[分析] 计算r时，由于含有cosθ，应据角θ的象限确定cosθ的符号，再求r.[点评] 根据三角函数定义的要求，在角α终边上任取一点P(x，y)，应有r＝|OP|>0，故P与原点不重合；求已知角的三角函数值时，先在角的终边上取点P(x，y)探求x、y与r的关系，然后据定义求三角函数值．[答案] (1)< (2)< (3)<[分析] 先把角α表达成α＝k·360°＋β k∈Z,0°≤β<360°或α＝2kπ＋β k∈Z,0≤β<2π的形式，再套用诱导公式，然后结合象限定符号．选择题
1．若三角形的两内角α、β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为
( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上三种情况都有可能[答案] B
[解析] ∵sinαcosβ<0，∴cosβ<0，
∴β是钝角，故选B.2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( )
A．sinαtanα>0 B．cosαtanα>0
C．sinαcosα>0 D．sinαcosα<0
[答案] C
[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，
∴sinαcosα>0，故选C.3．角α满足条件sinα·cosα>0，sinα＋cosα<0，则α在
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] ∵sinαcosα>0，sinα＋cosα<0
∴sinα<0，cosα<0，∴α是第三象限角．[答案] B[答案] B[答案] D7．(2010·深圳中学)若sin2α>0且cosα<0，则α是
( )
A．第二象限角
B．第一或第三象限角
C．第三象限角
D．第二或第三象限角
[答案] C[点评] 要熟记三角函数值的符号与角终边位置的关系．[答案] B
[解析] 当θ在第一象限时，sinθ>0，cosθ>0，tanθ>0，排除A、D；当θ在第四象限时，sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0，排除C，故选B.