1．3 三角函数的诱导公式
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课件55张PPT。1．3 三角函数的诱导公式1．诱导公式二～四
(1)公式二
sin(π＋α)＝ ；
cos(π＋α)＝ ；
tan(π＋α)＝ .
(2)公式三
sin(－α)＝ ；
cos(－α)＝ ；
tan(－α)＝ .－sinα－cosαtanα－sinαcosα－tanα(3)公式四
sin(π－α)＝ ；
cos(π－α)＝ ；
tan(π－α)＝ .sinα－cosα－tanα2．公式一～四可以概括为
2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的 函数值，前面加上一个 ．同名把α看成锐角时原函数值的符号重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．
难点：从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法．
1．诱导公式的记忆方法
诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数中角所在的象限．2．公式的推导过程应借助单位圆重点领会π±α，－α与角α的终边的对称关系，从而找出其终边与单位圆的交点的坐标关系．进而利用任意角的三角函数的定义导出公式．3．应用诱导公式把任意角的三角函数化为锐角的三角函数的步骤．一般遵循：负化正→正化主→主化锐→求值(习惯上称[0,2π)为主区间)，即
还要注意灵活运用．
4．通过诱导公式的学习，要深刻领会化归与转化的思想．
(3)tan(－855°)＝－tan855°
＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°
＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.
[点评] 要养成解题前分析，解题后反思的习惯，以提高灵活应用诱导公式的能力．[答案] (1)0 (2)0(2)原式
＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin114°
＝sin66°－sin(180°－66°)
＝sin66°－sin66°＝0.[分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．[答案] －1
[分析] 由于k的奇偶性影响到sin(kπ－α)，cos(kπ＋α)等的结果，故应对k分奇偶讨论．[分析] 由已知出发可求出tanα的值，利用诱导公式可把被求式转化为含sinα与cosα的齐次式，这样进行适当的变形后可将其表示为关于tanα的表示式，代入值即可求解．[点评] 已知某式的三角函数值，求其它式子的三角函数值，关键是寻求已知式与被求式的内在联系，恰当选择公式，体现了把未知问题转化为已知问题的数学思想．
若cos165°＝a，则tan195°＝________.[分析] 题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用平方关系消去α(或β)解方程可求出角α与β的一个三角函数值和其范围，进一步求出角．[辨析] 应用平方关系sin2α＋cos2α＝1，由sinα＝a，求cosα的值时，应依据角α的范围判定cosα的符号．[答案] D[答案] C[答案] A4．cos1030°等于
( )
A．cos50° B．－cos50°
C．sin50° D．－sin50°
[答案] A
[解析] cos1030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos50°.[答案] B
[解析] 在使用诱导公式求三角函数值时，一般可按以下步骤进行：先化负角为正角，再去掉圆周角k·360°，k∈Z，最后化0°～360°间的角为锐角．7．已知tan(π＋α)＝3，则sin(π＋α)·cos(π－α)＝________.8．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos180°＝________.
[答案] －1
[解析] 原式＝(cos1°＋cos179°)＋(cos2°＋cos178°)＋…＋(cos89°＋cos91°)＋cos90°＋cos180°
＝0＋0＋…＋0＋0＋0＋(－1)＝－1.
(1)公式二
sin(π＋α)＝ ；
cos(π＋α)＝ ；
tan(π＋α)＝ .
(2)公式三
sin(－α)＝ ；
cos(－α)＝ ；
tan(－α)＝ .－sinα－cosαtanα－sinαcosα－tanα(3)公式四
sin(π－α)＝ ；
cos(π－α)＝ ；
tan(π－α)＝ .sinα－cosα－tanα2．公式一～四可以概括为
2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的 函数值，前面加上一个 ．同名把α看成锐角时原函数值的符号重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．
难点：从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法．
1．诱导公式的记忆方法
诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数中角所在的象限．2．公式的推导过程应借助单位圆重点领会π±α，－α与角α的终边的对称关系，从而找出其终边与单位圆的交点的坐标关系．进而利用任意角的三角函数的定义导出公式．3．应用诱导公式把任意角的三角函数化为锐角的三角函数的步骤．一般遵循：负化正→正化主→主化锐→求值(习惯上称[0,2π)为主区间)，即
还要注意灵活运用．
4．通过诱导公式的学习，要深刻领会化归与转化的思想．
(3)tan(－855°)＝－tan855°
＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°
＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.
[点评] 要养成解题前分析，解题后反思的习惯，以提高灵活应用诱导公式的能力．[答案] (1)0 (2)0(2)原式
＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin114°
＝sin66°－sin(180°－66°)
＝sin66°－sin66°＝0.[分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．[答案] －1
[分析] 由于k的奇偶性影响到sin(kπ－α)，cos(kπ＋α)等的结果，故应对k分奇偶讨论．[分析] 由已知出发可求出tanα的值，利用诱导公式可把被求式转化为含sinα与cosα的齐次式，这样进行适当的变形后可将其表示为关于tanα的表示式，代入值即可求解．[点评] 已知某式的三角函数值，求其它式子的三角函数值，关键是寻求已知式与被求式的内在联系，恰当选择公式，体现了把未知问题转化为已知问题的数学思想．
若cos165°＝a，则tan195°＝________.[分析] 题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用平方关系消去α(或β)解方程可求出角α与β的一个三角函数值和其范围，进一步求出角．[辨析] 应用平方关系sin2α＋cos2α＝1，由sinα＝a，求cosα的值时，应依据角α的范围判定cosα的符号．[答案] D[答案] C[答案] A4．cos1030°等于
( )
A．cos50° B．－cos50°
C．sin50° D．－sin50°
[答案] A
[解析] cos1030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos50°.[答案] B
[解析] 在使用诱导公式求三角函数值时，一般可按以下步骤进行：先化负角为正角，再去掉圆周角k·360°，k∈Z，最后化0°～360°间的角为锐角．7．已知tan(π＋α)＝3，则sin(π＋α)·cos(π－α)＝________.8．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos180°＝________.
[答案] －1
[解析] 原式＝(cos1°＋cos179°)＋(cos2°＋cos178°)＋…＋(cos89°＋cos91°)＋cos90°＋cos180°
＝0＋0＋…＋0＋0＋0＋(－1)＝－1.