向量减法、数乘及几何意义
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课件51张PPT。1．相反向量
我们规定，与a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向量，记作－a，零向量的相反向量仍是 ．
关于相反向量有以下结论
①－(－a)＝ ；
②a＋(－a)＝(－a)＋a＝ ；
③若a、b是互为相反的向量，则b＝－a，a＋b＝ .相等相反零向量a002．向量减法
(1)定义
我们定义a－b＝a＋ ，即减去一个向量等于加上这个向量的 ．
(2)向量减法的作图
因为(a－b)＋b＝a＋[(－b)＋b]＝a＋0＝a，所以求a－b就是求这样一个向量，它与b的和等于a，从而得到a－b的作图法．相反向量(－b)3．向量数乘
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.它的长度及方向规定如下：
(1)|λa|＝ ；
(2)λ>0时，λa的方向与a的方向 ；λ<0时，λa的方向与a的方向 ；
(3)当λ＝0时，λa＝ .
注意向量数乘的结果仍是一个向量．
向量数乘满足下列运算律，设λ、μ为实数|λ|·|a|相同相反0(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
向量的加、减、数乘运算统称为 ．
向量数乘的几何意义
向量数乘的几何意义就是把 ．当λ>0时，沿着a的方向扩大(λ>1)或缩小(0<λ<1)λ倍；当λ<0时，沿着a的反方向扩大(|λ|>1)或缩小(|λ|<1)|λ|倍．λuaλa＋μaλa＋λb向量的线性运算向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小4．共线向量定理
非零向量a与向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.重点：1.向量减法运算的应用．
2．向量的数乘运算及其几何意义．
难点：1.向量减法的几何意义．
2．向量数乘的几何意义及线性运算．1．应注意向量减法与加法的区别．作向量减法时，一是移到同一起点，二是转化为加法，要深刻领会其几何意义，千万不要弄错向量的方向．a－b与b－a的方向恰好相反．(4)注意a∥b与a＝λb并不等价，若a＝λb，则a与b一定共线，若a∥b，只有在b≠0时，才存在实数λ，使a＝λb.
3．若a与b不共线，λa＝μb，则λ＝μ＝0.[例1] 已知a，b，c，求作向量a－b＋c(如图)．[答案] 0
[例3] 计算：
①(－5)×4a；
②5(a＋b)－4(a－b)－3a；
③(3a－5b＋2c)－4(2a－b＋3c)．
[解析] ①原式＝(－5×4)a＝－20a.
②原式＝5a＋5b－4a＋4b－3a＝－2a＋9b.
③原式＝3a－5b＋2c－8a＋4b－12c＝－5a－b－10c.[分析] 依据向量加法、减法的定义和数乘向量的几何意义，将待求向量逐步向已知条件过渡．[答案] B (2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.一、选择题
1．化简 [2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果为
( )
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
[答案] B[答案] A 3．设a、b是两个非零向量，e1、e2分别是a、b方向上的单位向量，则下列命题正确的是 ( )
A．若a∥b，则e1＝e2
B．若a∥b，则|e1－e2|＝2
C．若|a|＝1，则a＝e1
D．若|a|＝|b|＝1，则e1＝e2或e1＝－e2
[答案] C
[解析] 若a∥b，则a与b同向或反向，∴e1与e2同向或反向．∴选项A，B不对．
若|a|＝|b|＝1，可知a＝e1，b＝e2，但不一定有e1＝e2或e1＝－e2，∴选项D不对，故选C.[答案] D [答案] C [答案] 13 9．若向量a与b共线，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝______.
[答案] 0或2
[解析] 当a与b同向时，|a－b|＝0，
当a与b反向时，|a－b|＝2.
我们规定，与a长度 ，方向 的向量，叫做a的相反向量，记作－a，零向量的相反向量仍是 ．
关于相反向量有以下结论
①－(－a)＝ ；
②a＋(－a)＝(－a)＋a＝ ；
③若a、b是互为相反的向量，则b＝－a，a＋b＝ .相等相反零向量a002．向量减法
(1)定义
我们定义a－b＝a＋ ，即减去一个向量等于加上这个向量的 ．
(2)向量减法的作图
因为(a－b)＋b＝a＋[(－b)＋b]＝a＋0＝a，所以求a－b就是求这样一个向量，它与b的和等于a，从而得到a－b的作图法．相反向量(－b)3．向量数乘
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.它的长度及方向规定如下：
(1)|λa|＝ ；
(2)λ>0时，λa的方向与a的方向 ；λ<0时，λa的方向与a的方向 ；
(3)当λ＝0时，λa＝ .
注意向量数乘的结果仍是一个向量．
向量数乘满足下列运算律，设λ、μ为实数|λ|·|a|相同相反0(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
向量的加、减、数乘运算统称为 ．
向量数乘的几何意义
向量数乘的几何意义就是把 ．当λ>0时，沿着a的方向扩大(λ>1)或缩小(0<λ<1)λ倍；当λ<0时，沿着a的反方向扩大(|λ|>1)或缩小(|λ|<1)|λ|倍．λuaλa＋μaλa＋λb向量的线性运算向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小4．共线向量定理
非零向量a与向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.重点：1.向量减法运算的应用．
2．向量的数乘运算及其几何意义．
难点：1.向量减法的几何意义．
2．向量数乘的几何意义及线性运算．1．应注意向量减法与加法的区别．作向量减法时，一是移到同一起点，二是转化为加法，要深刻领会其几何意义，千万不要弄错向量的方向．a－b与b－a的方向恰好相反．(4)注意a∥b与a＝λb并不等价，若a＝λb，则a与b一定共线，若a∥b，只有在b≠0时，才存在实数λ，使a＝λb.
3．若a与b不共线，λa＝μb，则λ＝μ＝0.[例1] 已知a，b，c，求作向量a－b＋c(如图)．[答案] 0
[例3] 计算：
①(－5)×4a；
②5(a＋b)－4(a－b)－3a；
③(3a－5b＋2c)－4(2a－b＋3c)．
[解析] ①原式＝(－5×4)a＝－20a.
②原式＝5a＋5b－4a＋4b－3a＝－2a＋9b.
③原式＝3a－5b＋2c－8a＋4b－12c＝－5a－b－10c.[分析] 依据向量加法、减法的定义和数乘向量的几何意义，将待求向量逐步向已知条件过渡．[答案] B (2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.一、选择题
1．化简 [2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果为
( )
A．2a－b B．2b－a
C．a－b D．b－a
[答案] B[答案] A 3．设a、b是两个非零向量，e1、e2分别是a、b方向上的单位向量，则下列命题正确的是 ( )
A．若a∥b，则e1＝e2
B．若a∥b，则|e1－e2|＝2
C．若|a|＝1，则a＝e1
D．若|a|＝|b|＝1，则e1＝e2或e1＝－e2
[答案] C
[解析] 若a∥b，则a与b同向或反向，∴e1与e2同向或反向．∴选项A，B不对．
若|a|＝|b|＝1，可知a＝e1，b＝e2，但不一定有e1＝e2或e1＝－e2，∴选项D不对，故选C.[答案] D [答案] C [答案] 13 9．若向量a与b共线，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝______.
[答案] 0或2
[解析] 当a与b同向时，|a－b|＝0，
当a与b反向时，|a－b|＝2.