2．3 平面向量的基本定理及坐标表示

课件62张PPT。2．3　平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ．不共线基底2．两向量的夹角与垂直
(1)已知两个非零向量a和b，作 ＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的 ．
显然，当θ＝0°时，a与b ；当θ＝180°时，a与b ．
(2)如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作a⊥b.夹角同向反向90°4．设e1、e2是两个不共线的向量，若向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为
(　　)
A．0　　　　 　 　 B．－1
C．－2 D．
[答案]　D重点：平面向量基本定理．
难点：平面向量基本定理的应用．关于平面向量基本定理的掌握须注意以下几点：
1．平面内任意一对不共线向量e1、e2均可作为表示这一平面内所有向量的基底．注意“不共线”的条件与“非零向量”条件的区别，不共线一定非零，非零未必不共线．
2．同一向量a，用同一基底表示的结果是惟一的．
即若e1与e2不共线，a＝λe1＋μe2，同时a＝xe1＋ye2，则必有
若a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，a∥b，则x1y2－x2y1＝0.
[例1]　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 (　　)
①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则
④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②　　　　　　 B．②③
C．③④ D．②
[分析]　应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的惟一性求解．
[解析]　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立．故选B.
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为
(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2，或λ＝0
[答案]　D[解析]　(1)若e1与e2不共线，
∵a与b共线，∴存在实数x，使a＝xb　(b≠0)，
∴e1＋λe2＝2xe1，∴(1－2x)e1＋λe2＝0，(2)若e1与e2共线，设e1＝xe2，
则a＝e1＋λe2＝(x＋λ)e2，b＝2e2，
综上知，a与b共线的条件为e1∥e2或λ＝0.
已知e1，e2是平面内两个不共线向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，用a和b表示c，则c＝________.
[答案]　a－2b[解析]　∵e1与e2不共线，∴a与b不共线，
设c＝λa＋μb，
则c＝λ(3e1－2e2)＋μ(－2e1＋e2)
＝(3λ－2μ)e1＋(μ－2λ)e2，
又∵c＝7e1－4e2，
由基底表示向量的惟一性知，
[例4]　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP?PM的值．
证明三角形的中位线定理．[例5]　已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？[解析]　∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.
故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
若a、b是两个不共线的向量(t∈R)，a、tb、 (a＋b)三向量的起点相同，若三向量的终点共线，则t＝________.[例7]　已知c＝ma＋nb，设a、b、c有公共起点，要使a、b、c的终点在一条直线上，m、n(m、n∈R)需满足的条件是
(　　)
A．m＋n＝－1
B．m＋n＝1
C．m＋n＝0
D．m＋n的值不确定[辨析]　对平面向量基本定理的条件不清．平面向量基本定理中所说的平面α内任意向量m可用平面α内的两个向量e1与e2线性表示且表示的结果是惟一的，其先决条件是 不共线．
[正解]　当a，b不共线时，同错解可得m＋n＝1；当a与b共线时，不妨设b＝λa，则c＝(m＋λn)a，于是a，b，c的起点相同时，终点始终在同一条直线上，与m、n、λ的值无关，综上可知m＋n的值不确定，故选D.一、选择题
1．设O是?ABCD两对角线的交点，下列向量组：
其中可作为这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底的是
(　　)
A．①，②　　 B．①，③　　
C．①，④　　 D．③，④
[答案]　B2．a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则
(　　)
A．a＝b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．以上都不对
[答案]　C
[解析]　由向量加法的平行四边形法则知，若a＋b平分a与b的夹角，则对应的四边形是菱形，因此|a|＝|b|.3．已知e1，e2不共线，a＝λ1e1＋e2，b＝λ2e1＋3e2，且a，b共线，则下列各式正确的是
(　　)
A．λ2＝3λ1 B．λ2＝λ1
C．λ2＝2λ1 D．λ2＝4λ1
[答案]　A[答案]　A 6．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．
[答案]　{λ∈R|λ≠4}[解析]　假设b与a共线，则存在实数x，使b＝xa(a≠0)，即2e1＋λe2＝x(e1＋2e2)，
∴(2－x)e1＋(λ－2x)e2＝0，
由条件知a，b能作为基底的基向量，
∴a与b不共线，∴x≠2，即λ≠4.7．已知向量a与b不共线，实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝(4y＋7)a＋2xb，则x＝________，y＝________.