1．平面向量的正交分解
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课件51张PPT。1．平面向量的正交分解
如果e1、e2是平面内两个不共线向量，则对平面内任一向量a，由平面向量基本定理知，存在唯一一对实数λ，μ，使a＝λe1＋μe2，特别地，当e1 e2时，由e1与e2构成的基底称为正交基底．
把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解．
当正交基底的基向量e1与e2都是 向量时，是一种重要的情形．它能与平面直角坐标系建立联系，为我们研究问题带来方便．⊥两个互相垂直单位2．平面向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底，对于平面内任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由 唯一确定，我们把 叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．i，jx、y有序数对(x，y)符号(x，y)在直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为加以区分，在叙述中，常说点(x，y)，或向量(x，y)．3．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝ ；
a－b＝ ；λa＝ ．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ． (x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)4．完成下列各题
(1)已知m＝(1,2)，n＝(－2,1)，则3m－2n等于
( )
A．(7,4) B．(7,1)
C．(3,4) D．(3，－2)
(2)已知A(3,1)，B(2，－1)，则 的坐标是
( )
A．(－2，－1) B．(2,1)
C．(1,2) D．(－1，－2)(3)已知 ＝(3,4)，A＝(－2，－1)，则B点的坐标为
( )
A．(5,5) B．(－5，－5)
C．(1,3) D．(－5,5)
(4)若a＝(4,6)，且a＝2b，则b的坐标为
( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－3，－2) D．(－2，－3)
[答案] (1)A (2)C (3)C (4)B重点：平面向量的正交分解，坐标运算．
难点：对平面向量的正交分解及坐标表示的理解和应用．1．点的坐标与向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，向量的坐标才与点的坐标相同．相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却不一定相同．
2．用坐标表示的平面向量的线性运算，其推导可依据向量坐标的意义和向量线性运算的运算律进行．请自己写出推导过程．
3．向量的坐标运算为我们研究问题带来了方便，为我们用数形结合方法研究问题拓展了空间．要很好的体会总结，如何将几何问题向量化，并由向量运算的结果解释几何意义．[分析] 根据三角函数的定义，可求点A的坐标，即可得出 的坐标．[点评] 本题体现了三角函数在向量中的应用，随着学习的深入，不断总结相关知识的联系，形成有机的整体．
在上例中，其它条件不变，若∠xOA＝150°，225°，300°，则向量 的坐标依次为________、________、________.[分析] 的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标．[点评] 要搞清点的坐标，向量坐标的意义． [答案] (2,4)，(－3,9)，(－5,5)
已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，向量
(1)t为何值时，点P在x轴上？
(2)t为何值时，点P在第二象限？
(3)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．[例5] 已知平行四边形的三个顶点坐标为A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)．求第四个顶点D的坐标．[辨析] 平行四边形四个顶点按逆时针顺序排列有三种可能，即ACDB、ACBD、ADCB.而错解只考虑了ACDB一种情形，而疏漏了另两种情况．[点评] 注意本例与教材97页例5的区别，你能找出这两例有何不同吗？[答案] A 2．已知a＝(－1,2)，b＝(－1,1)，c＝(3，－2)，用a、b作基底，可将向量c表示为c＝pa＋qb，则
( )
A．p＝4，q＝1 B．p＝1，q＝－4
C．p＝0，q＝4 D．p＝1，q＝4
[答案] B
[解析] ∵c＝pa＋qb＝(－p－q,2p＋q)，[答案] C [答案] (－18,18)，(－3，－3) 6．以a＝(1,1)，b＝(－2,3)为一组基底，表示c＝(2,1)，则c＝________.
如果e1、e2是平面内两个不共线向量，则对平面内任一向量a，由平面向量基本定理知，存在唯一一对实数λ，μ，使a＝λe1＋μe2，特别地，当e1 e2时，由e1与e2构成的基底称为正交基底．
把一个向量分解为 的向量，叫做把向量正交分解．
当正交基底的基向量e1与e2都是 向量时，是一种重要的情形．它能与平面直角坐标系建立联系，为我们研究问题带来方便．⊥两个互相垂直单位2．平面向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底，对于平面内任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由 唯一确定，我们把 叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．i，jx、y有序数对(x，y)符号(x，y)在直角坐标系中有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为加以区分，在叙述中，常说点(x，y)，或向量(x，y)．3．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝ ；
a－b＝ ；λa＝ ．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝ ． (x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)4．完成下列各题
(1)已知m＝(1,2)，n＝(－2,1)，则3m－2n等于
( )
A．(7,4) B．(7,1)
C．(3,4) D．(3，－2)
(2)已知A(3,1)，B(2，－1)，则 的坐标是
( )
A．(－2，－1) B．(2,1)
C．(1,2) D．(－1，－2)(3)已知 ＝(3,4)，A＝(－2，－1)，则B点的坐标为
( )
A．(5,5) B．(－5，－5)
C．(1,3) D．(－5,5)
(4)若a＝(4,6)，且a＝2b，则b的坐标为
( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－3，－2) D．(－2，－3)
[答案] (1)A (2)C (3)C (4)B重点：平面向量的正交分解，坐标运算．
难点：对平面向量的正交分解及坐标表示的理解和应用．1．点的坐标与向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，向量的坐标才与点的坐标相同．相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却不一定相同．
2．用坐标表示的平面向量的线性运算，其推导可依据向量坐标的意义和向量线性运算的运算律进行．请自己写出推导过程．
3．向量的坐标运算为我们研究问题带来了方便，为我们用数形结合方法研究问题拓展了空间．要很好的体会总结，如何将几何问题向量化，并由向量运算的结果解释几何意义．[分析] 根据三角函数的定义，可求点A的坐标，即可得出 的坐标．[点评] 本题体现了三角函数在向量中的应用，随着学习的深入，不断总结相关知识的联系，形成有机的整体．
在上例中，其它条件不变，若∠xOA＝150°，225°，300°，则向量 的坐标依次为________、________、________.[分析] 的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标．[点评] 要搞清点的坐标，向量坐标的意义． [答案] (2,4)，(－3,9)，(－5,5)
已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，向量
(1)t为何值时，点P在x轴上？
(2)t为何值时，点P在第二象限？
(3)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．[例5] 已知平行四边形的三个顶点坐标为A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)．求第四个顶点D的坐标．[辨析] 平行四边形四个顶点按逆时针顺序排列有三种可能，即ACDB、ACBD、ADCB.而错解只考虑了ACDB一种情形，而疏漏了另两种情况．[点评] 注意本例与教材97页例5的区别，你能找出这两例有何不同吗？[答案] A 2．已知a＝(－1,2)，b＝(－1,1)，c＝(3，－2)，用a、b作基底，可将向量c表示为c＝pa＋qb，则
( )
A．p＝4，q＝1 B．p＝1，q＝－4
C．p＝0，q＝4 D．p＝1，q＝4
[答案] B
[解析] ∵c＝pa＋qb＝(－p－q,2p＋q)，[答案] C [答案] (－18,18)，(－3，－3) 6．以a＝(1,1)，b＝(－2,3)为一组基底，表示c＝(2,1)，则c＝________.